2025年江西省贛州市高考數(shù)學模擬試卷

一、單選題

1.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)（已按從小到大的順序排列）:

甲組：27、28、39、40、加、50；

乙組：24、n、34、43、48、52.

?71

若這兩組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)、80百分位數(shù)分別相等，則一等于（）

n

121047

A.—B.—C.一D.

7734

2.與橢圓97+4/=36有相同焦點，且滿足短半軸長為2遍的橢圓方程是（）

41

3.已知等比數(shù)列｛斯｝中所有項均為正數(shù)，若口血冊=送（血，nCN*）,則一+一的最小值為（

mn

4.如圖，在正方體48CD-481C1D1中，E,尸分別為棱N5,的中點，過E,F,G三點作該正方體

的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B./iC_L平面CiEF

C.平面平面。跖

D.該截面與棱BBi的交點是棱BBi的一個三等分點

5.加強學生心理健康工作已經(jīng)上升為國家戰(zhàn)略，為響應國家號召，沙區(qū)心理協(xié)會派遣具有社會心理工作

資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生.若要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助

兩名學生，則不同的安排方法共有（）種.

A.90B.125C.180D.243

第1頁（共20頁）

6.如圖，在等腰梯形48CD中，AB//CD,AB=5,AD=4,DC=\,￡是線段4B上一點，且/￡=4即,

—>—>

動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上，則DP-4C的最大值為()

A.V3-VHB.2V3-6C.V21-6D.-V3

7.設銳角△/3C的三個內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=l,N=2C,則△45。周長的取值范

圍為()

A.(0,2+V2)B.(0,3+V3)C.(2+V2,3+b)D.(2+V2,3+何

8.已知雙曲線E：l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為八，F(xiàn)2,過點尸2的直線與雙曲線E的右

支交于4,2兩點，若|48|=|/乃|,且雙曲線E的離心率為企，貝！Icos/BN為=()

A3"口301?1

A.--g-B,-4C,-D.-g

二、多選題

(多選)9.已知函數(shù)/(x)=4sin(a)x+(p)(4>0,a)>0,0<(p<n)的部分圖象如圖所示，則下列判斷

正確的是()

卜4

A.3=耳

97r

B-0=而

C.點G，0)是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心

D.直線x=—(兀是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸

(多選)10.已知，為虛數(shù)單位，復數(shù)z=彳義打，下列說法正確的是()

i(3+W)

第2頁(共20頁)

AI—IJ10

A.\z\=—

B.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

3.

C.-i-z<0

D.z+看為純虛數(shù)

(多選)11.已知曲線G：f(x)=勿(2x7)在點M(xi，yi)處的切線與曲線C2：g(x)=e2>i相切

于點N(X2,”)，則下列結論正確的是()

A.函數(shù)h(x)=/g(x)-1有2個零點

21

B.函數(shù)血。)=訝?/。)一在(2，1)上單調(diào)遞減

1

cg(%2)=2/一1

1

D.-------+2x=0

X\一1?-

三、填空題

9_1

12.已知集合4={用r皆fW0},全集U=R,貝1JCU/=.

13.在正四面體尸-48C中，M為山邊的中點，過點M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑

為R,最小的截面半徑為廠，則營=;若記該正四面體和其外接球的體積分別

為V\和Vi,貝U/2=?

14.已知函數(shù)/。)=愛訂(a>0且aWl),若3x6(0,3),/(x2+3)+f(.-ax-a)-220是假命題，

則實數(shù)q的取值范圍是.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=alnx-x.

(1)當°=1時，求函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>0時，求函數(shù)/(x)的最大值.

16.“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多

名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、

物理、化學學科夏令營活動.

(I)若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自/中學，從這7名學員中選取3人，彳表示選取的人中來自

A中學的人數(shù)，求己的分布列和數(shù)學期望；

第3頁(共20頁)

(II)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪

競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組，

甲、乙答對每道題的概率分別為P1，P2.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當P1+P2=*

時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.

17.已知在多面體尸Q48CD中，平面平面48CD,四邊形4BCD為梯形，且四邊形以。0

為矩形，其中M和N分別為和/尸的中點，AB=?BC=5,AD=DC=2.

(1)證明：平面皿W_L平面QDC；

(2)若二面角N-8M-C的余弦值為一學，求直線80與平面所成角的正弦值.

18.已知尸為拋物線及產(chǎn)=2?；5>0)的焦點，O為坐標原點，M為E的準線/上一點，直線板的斜

1

率為-1,△OEW的面積為7.已知P(3,1),Q(2,1),設過點尸的動直線與拋物線E父于/、2

兩點，直線/。，30與E的另一交點分別為C,D.

(I)求拋物線E的方程；

(II)當直線與CD的斜率均存在時，討論直線CD是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是,

19.若數(shù)列｛即｝滿足|*1-翊=1(后=1,2,3,???,n-1(心2)),則稱數(shù)列｛斯｝為口數(shù)列.記的=41+°2+。3+

…■'ran?

(1)寫出一個滿足。1=。5=1，且$5=5的T］數(shù)列；

第4頁(共20頁)

(2)若ai=24,“=2000,證明：口數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列的充要條件是斯=2023；

(3)對任意給定的整數(shù)〃(〃23),是否存在首項為1的n數(shù)列｛外｝，使得5=1?如果存在，寫出一個

滿足條件的T］數(shù)列｛斯｝;如果不存在，說明理由.

第5頁(共20頁)

2025年江西省贛州市高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)（已按從小到大的順序排列）：

甲組：27、28、39、40、m、50；

乙組：24、n、34、43、48、52.

m

若這兩組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)、80百分位數(shù)分別相等，則一等于（）

n

12104:

A.—B.—C.-D.■

773,

【解答】解：因為6X30%=1.8,6X80%=4.8,

所以乙組的30百分位數(shù)為〃=28,甲組的80百分位數(shù)為冽=48,

m4812

則—=——=—.

n287

故選：A.

2.與橢圓9x2+4/=36有相同焦點，且滿足短半軸長為2代的橢圓方程是（）

【解答】解：???橢圓方程97+4/=36可化為：+

???所求橢圓與橢圓9f+4歹2=36有相同焦點，

???所求橢圓的焦點在y軸上，且。=回7=遮，又6=2祈,

a1=b2+c2=20+5=25,

、、V2/

故所求橢圓方程為焉+茄=1.

故選：B.

41

3.已知等比數(shù)列｛斯｝中所有項均為正數(shù)，若Qm冊=城（血，nEN*）,則一+一的最小值為（）

mn

【解答】解：若Qm。九二談（血，nCN*）,

則冽+〃=6,可知｛二工，或｛:二：或｛；二;或｛:二j或代入可得：3+；=￡或;或，或T或春

413

所以當加=4,〃=2時，一+一取最小值二.

mn2

第6頁（共20頁）

故選：A.

4.如圖，在正方體48CD-/I8ICLDI中，E,尸分別為棱N5,的中點，過E,F,G三點作該正方體

的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.小。_1_平面CiEF

C.平面《以功〃平面Ci所

D.該截面與棱BBi的交點是棱BBi的一個三等分點

【解答】解：對/：如圖，將線段跖向兩邊延長，分別與棱C2的延長線，棱CD的延長線交于點G,

H,

連接CiG,CiH,分別與棱8小，交于點尸，Q,得到截面G尸所。是五邊形，故/錯誤;

對2：因為出國工面BCCLBI，8cIU面BCCiBi,故ZLBULBCI；

XBCiA.B1C,BiCC\AiBi—B\,B\C,/iBiu面/iBC,故8。_1_面/1囪。,

又4Cu面4bBe故8c山1C;

假設41clei尸,又CiPnBCi=Ci,CiP,BCiu面BCCiBi,故4G面BCCM

又出用，面BCCiBi，顯然過一點作一個平面的垂直只能有一條，假設不成立，即4C與。尸不垂直;

又GPu平面Ci￡凡所以/C與平面不垂直，故3錯誤；

對C：。。_1面小囪。1。1，BAU面/由Ci。，故又mMCi,

AiCinCCi=Ci,AiCi,CCiu面41clC,故81n，面4clC,又4Cu面41clC,

第7頁（共20頁）

故囪D_L4C,同理可得NiC_L4Di,XAD\^B\D\^D\,AD\,BLDIU面48m1,

故4C_L平面/BiDi,又NiC與平面CLEF不垂直，

所以平面/Bid與平面Ci即不平行，故C錯誤；

,…I1…，BPBG1

對D：易知BG=5BC=亍丸的，所以Q「=77,

乙乙rD^81cliZ

所以截面CiPEFQ與棱BBi的交點尸是棱Affi的一個三等分點，故。正確.

故選：D.

5.加強學生心理健康工作已經(jīng)上升為國家戰(zhàn)略，為響應國家號召，沙區(qū)心理協(xié)會派遣具有社會心理工作

資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生.若要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助

兩名學生，則不同的安排方法共有（）種.

A.90B.125C.180D.243

【解答】解：根據(jù)題意，具有社會心理工作資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生,

要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩名學生,

則把五位同學分3組，且三組人數(shù)為2、2、1,然后分配給3位專家,

所以不同的安排方法共有丁?=90種.

故選：A.

6.如圖，在等腰梯形45cZ）中，AB//CD,AB=5,40=4,DC=\,￡是線段45上一點，且4￡=4防,

—>—>

動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上,則DP-AC的最大值為（)

C.V21-6D.-V3

【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則：4（-4,0）,C(—l,2V3),。(—2,2b)，設P

(cosa,sina),

第8頁（共20頁）

DC

Bx

AC—(3,2-\/3),DP=(coscr+2,sina—2V3),

DP-AC=3cosa+6+2y/3sina-12=V21stn(a+<p)—6,其中tan"=等.

/.sin(a+(p)=1時，DP?力C取最大值值一6.

故選：C.

7.設銳角△/BC的三個內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=l,N=2C,則△/3C周長的取值范

圍為()

A.(0,2+V2)B.(0,3+V3)C.(2+V2,3+V3)D.(2+&,3+V3]

【解答】解：銳角△NBC可得0°<A<90°,即0°<2C<90°,

5=180°-A-C=180°-3C,而0°<180°-3C<90°,

可得30°<C<45°,

7sinBsin3CsinZCcosC+coslCsinC

b=.7；=—------------------------------

stnCstnCsine

=2cos2C+cos2C=4cos2C-1,

貝I」a+b+c=4COS2C+2COSC

-11

=4(cosC+^)

由30。<C<45°,可得今-VcosCV苧,

即有cosC=孝時，可得a+6+c=2+VL

cosC=孚時，可得a+6+c=3+V^,

則a+b+c的范圍是(2+3+V^).

故選：C.

第9頁（共20頁）

8.已知雙曲線￡-l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為為，F(xiàn)i,過點正2的直線與雙曲線E的右

支交于/,8兩點，若=且雙曲線E的離心率為加，則cosNB/6=（）

A.-挈B.C.-D.

。48o

【解答】解：根據(jù)對稱性，不妨設4點在第一象限，

?：\AB\=\AFi\,

：.\BF2\=\AB\-\AF^\=\AFx\-\AFi\=2a,

：.\BFi\=\BF2\+2a=4af

，?,雙曲線￡的離心率e==V2,\F\F2\=2C=2V2a,

在45回尸2中，由余弦定理可得:

16a2+4Q2-8a2_3

COSZFI5F2=2-4a-2a-4'

cosZBAF\=cos(a-2NF1BF2)

=-cos(2/F1BF2)=-(2COS2ZFIBF2-1)

91

=一(2x正—1)=-g.

故選：D.

二、多選題

（多選）9.已知函數(shù)/（x）=/sin（oox+（p）（4〉0,a）>0,0<（p<ir）的部分圖象如圖所示，則下列判斷

AA.3=54

9TT

B.「訪

C.點/，0）是函數(shù)/（x）圖象的一個對稱中心

D.直線X=—（兀是函數(shù)/（X）圖象的一條對稱軸

T3TT5TT

【解答】解：根據(jù)圖象和題目條件可知/=1,-=27T--=—,

244

第10頁（共20頁）

所以「=苧==,解得3/正確；

Z60□

將％=苧代入，可得三X丁+8=―,解得0=需，B正確；

所以/(%)=sin^x+,

7T47197r71

由于f(7)=sin(-x-+—)=-sin—WO,故C錯誤；

4541010

由于/(一爺)=sin[-X(一竽)+y^-]=-sin-=-l,可得直線％=-彳兀是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱

軸，故。正確.

故選：ABD.

(多選)10.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=不，下列說法正確的是()

L(3+H)

A|-IJi。

A.\z\=—

B.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

3_

C.-i-z<0

D.z+看為純虛數(shù)

r冷刀比x冷刀_2_2_2(1—3i)_1—3i

【解口】解：Z=-3+/)=7(3=0=(1+30(1-30=I-)

、生T否I-I_11+3(Jl+9V10Tr#,

選項A|z|=|---1=―g—=§，正確；

1Q

選項5,復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點為(?-1),位于第四象限，正確；

選項C，1=--1<0,正確；

-4O,-*1Q*3

選項。，-5-+-=不是純虛數(shù)，錯誤.

故選：ABC.

(多選)11.已知曲線Ci：/(x)=ln(2x-l)在點M(xi，州)處的切線與曲線C2：g(x)=e2xT相切

于點N(X2,")，則下列結論正確的是()

A.函數(shù)h(x)=/g(x)-1有2個零點

Q1

B.函數(shù)zn(%)=2一在(2，1)上單調(diào)遞減

1

C.刎2)=k1

1

D.----+2x=0

勺一1?2

第11頁(共20頁)

【解答】解：對于/：h(x)=fg(x)-1=x2e2x_1-1=>/?z(x)—lx(x+1)e"i,

當x>0時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當-l<x<0時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

當x<-l時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

函數(shù)h(x)的極大值為〃(-1)=e-3-1<0,極小值為〃(0)=-1<0,

因此當x<-1時，h(x)<0,當-l<x<0時，h(x)<0,

又〃(1)=e-1>0,所以人(0)-h(1)<0,則h(x)在(0,1)上存在零點，

因此函數(shù)〃(x)只有一個零點，故/不正確；

對于B：m(x)=23/(%)—xg(x)=-^eln^x—1)—xe2x~r,

則zn(%)=2~~i—(2%+l)e2x-1,

令H(x)=—(2x+l)e2i,%e(J,1),則〃(x)=-(4x+4)e"i<0,

所以〃(x)在1)上單調(diào)遞減，又丫=篇在G，1)上單調(diào)遞減，

11

當1)時，函數(shù)M(x)單調(diào)遞減，所以當1)時，m'(x)>m'(1)=0,

Q1

所以函數(shù)m(%)=-在(2，1)上單調(diào)遞增，故5錯誤；

9

對于C：/(%)=ln(2x—1)=>/(%)=2x-[,

因此曲線(x)=ln(2x-1)在點M(xi,yi)處的切線方程為：

99r7Y4

y一)(2/-1)=一/)=丫=^i+"(2/一1)一2^，

由g(x)=e2%i=g/(%)=2e2x'1,得曲線C2：g(%)=在N(刈，y2)處的切線方程為：

2x2-12%2-12x212%2-12x2-1

y—e=2e(x—x2)=>y=2e~x+e—2e%2?

因為曲線Ci：f(x)=勿(2x-1)在點M(xi,g)處的切線，與曲線C2：g(%)=相切于點N(x2,

y2),所以

21

^^=2/犯-1,即^^=?2冷-1,

2x^—12x^—1

1

因此。(久2)=e2%2_1=2巧_1，故C正確；

=e2%2-1

對于。：由上可知：\巧一.，

22-12x2-1

^ln(2x1—1)—.二=e^—2ex2

第12頁（共20頁）

因此有一2冷+1-懸I=2^=1一肆T

1

=>2%I%2—2%2+1=0=>2%2(%I—1)=-1=>x_1+2久2=0，故。正確.

故選：CD.

三、填空題

9_11

12.已知集合4={%r|爸矣<。}，全集。=凡則CuZ=—(—8,+8)_.

9_11

【解答】解：集合4={%|爸r我40}二{%|-1〈汽〈/},全集U=R,

1

所以Cu4=(—8,+8).

i

故答案為：(-8,+8).

13.在正四面體尸-/5。中，〃為邊的中點，過點又作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑

為R,最小的截面半徑為廠，則：=_亨―；若記該正四面體和其外接球的體積分別為H和匕，則

3V3

---7T.

2--

【解答】解：將正四面體P-/2C放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外接球，如

圖,

外接球球心O為正方體的體對角線的中點，設正四面體P-/2C的棱長為2a,則正方體棱長為四a,

由外接球直徑等于正方體的體對角線，得正四面體P-ABC外接球半徑R=|V3xV2a=^a,

當過我中點M的正四面體外接球截面過球心。時，截面圓面積最大，截面圓半徑為七

當該截面到球心。的距離最大時，截面圓面積最小，此時球心。到截面距離為。用=￥小

可得最小截面圓半徑7=、R2一。用2=a,因此5=客；

正四面體P-ABC外接球體積匕=粵R3=苧.(乎a)3=V67TGL3,

正四面體p-ABC的體積匕=(V2a)3-4x|x|x(V2a)3=^a3,因此削=

第13頁(共20頁)

遼田V63V3TT

故答案為：—;~--

14.已知函數(shù)f(%)=Q%+](Q>0且),若mxE(0,3),f(，+3)+f(-ax-a}-2三0是假命題,

則實數(shù)Q的取值范圍是M)V〃V1或心31.

【解答】解：因為/(%)=篝？=3(鼠尸=3_懸了

若由于y=△單調(diào)遞減，則/(x)在R上單調(diào)遞增；

若由于y=外：1單調(diào)遞增,則/G)在R上單調(diào)遞減，

44

又/(%)+f(-％)=6--._%+1=2,故2-/(-％)=/(X),

因為(0,3),f(/+3)+f(-ax-a)-220是假命題，

故VxE(0,3),f(/+3)+f(-ax-a}-2Vo恒成立為真命題，

即不等式f(X2+3)<2-f(-ax-a)=f(ax+a)對VxC(0,3)恒成立，

-y*2_1_,2A.

當q>l時，x+3Vtz(%+1)=_-Va,即(％+1)H—匚j—2Va在VxG(0,3)恒成乂，

I.LKI-L

設t=x+l(1<?<4),即a>t+9-2在始(1,4)恒成立.

由于對勾函數(shù)八(t)=t+*-2在(1,2)單調(diào)遞減，在(2,4)單調(diào)遞增，

因為〃⑺<h(1)=h(4)=3,因此。23；

r2_l_Q

當0VaV1時，%2+3>a(x+1)=>a<'r~x^T,

4,,

即aV(%+1)+久+]—2在VxE(0,3)恒成乂，

當t=2時，函數(shù)九(t)=t+9—2有最小值/(2)=2,

即a<2,又因為0<a<l,故0<a<l.綜上可知：{a|0<a<l或a23}.

故答案為：{砸<°<1或心3}.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=alnx-x.

(1)當a=l時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當。>0時，求函數(shù)/(x)的最大值.

【解答】解：(1)/(x)的定義域為(0,+8),

11_y

當Q=1時，/(x)=Inx—x,/<%)=［一1二-^―,

第14頁(共20頁)

由y（x）=T>0,解得0Vx<1,

1_y

由f（%）=—V。，解得x>1.

：.f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+8）.

（2）/（X）的定義域為（0,+8），1=?,

當a>0時，令/（%）>0,得0<x<°；令/（%）<0時，得x>a,

：.f（x）的遞減區(qū)間為（a,+8）,遞增區(qū)間為（0,a）.

:.f（x）max=alna-a=a（Ina-1）,

16.“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多

名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、

物理、化學學科夏令營活動.

（I）若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自/中學，從這7名學員中選取3人，S表示選取的人中來自

A中學的人數(shù)，求孑的分布列和數(shù)學期望；

（II）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪

競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組，

甲、乙答對每道題的概率分別為"1，"2.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當P1+P2=1

時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.

【解答】解（I）由已知得胡艮從超幾何分布，己的所有可能取值為0,1,2,3,

日（苫—0）_C4_4p（LI）_1廢_18尸_4以_12_C3_1

且0p熊一°）一弓一希；P聶一1）一可一新；「熊一2）一可一新；Pp（W—3）一希，

t的分布列如下:

0123

418121

p

35353535

41R1219

E（《）=0x+1x+2x+3x=亍

（II）甲乙兩人在每輪答題中取得勝利的概率為:

22222

p=X[P1（1-Pi）p2+P2（1-p2）P11+P1P2=-3（PW2）2+蜀>2=-3（P1P2-Q+|f，

4

因為Pi+P2=w，且OWpiWLOW/22WI,

149.414

2

所以§wPi<1,則。s=@Pi—p-=一（P1--）+g,可得m/eq-],

第15頁（共20頁）

所以當P1P2=*時，Pmax=招.

17.已知在多面體PQ48CD中，平面為DQ_L平面/BCD,四邊形NBCD為梯形，且/D〃8C,四邊形力。。

為矩形，其中M和N分別為和NP的中點，AB=V7,BC=5,AD=DC=2.

(1)證明：平面平面QDC；

(2)若二面角N-2"-C的余弦值為—洛，求直線2。與平面皿W所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：,??四邊形E4。。為矩形,

J.DQLAD,又?.?平面平面/BCD,

平面BlDQri平面ABCD=AD,

.?.￡>Q_L平面ABCD,：.DQ±BM,

在邊上取點E,使CE=4D=2,連接/E,

又,：AD〃CE,二四邊形/￡CD為平行四邊形.

：.AE=2,

在AABE中，BE=BC-CE=3,

AE2+BE2-AB2_4+9-7_1

由余弦定理知

cosNAEB=2AE-BE=2x2x3=2'

故N/E2=60°,過點/作NF_L2C于R

在RtZUEF中，AF=AE-sim.AEB=V3,EF=AEcosZAEB=l,

故BF=BE-EF=2,

以NRAD、/尸所在直線分別為x軸，y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

所以B(百，-2,0),M(0,1,0),D(0,2,0),C(V3,3,0),

:.BM=(―陋,3,0),DC=(V3,L0),

TT

BM-DC=-V3XV3+3X1+0=0,

：.BMLCD,

^?：CD^DQ=D,

第16頁(共20頁)

平面QDC,又平面AW,

平面平面QDC.

(2)平面BMC的一個法向量為茄=(0,0,1),

―>

設N(0,0,h)(〃>0),則MN=(O,-1,h),

設平面3AW的法向量為n=(x,y,z),

即j-V3x+V3y=0

則?,B?=。取2=1,則％=gh,y=h,

-MN=0k—y+hz=0

???平面的一個法向量為1=(gh,h,1),

設二面角N-BM-C的平面角為a,

1

\cosa\-\cos(m,n)\-蛆曰===-4>解得h=l,

\m\-\n\V;3/i2+/i2+l5

平面3MN的一個法向量為￡=(遮，1,1),

：.Q(0,2,2),BQ=(一,，4,2),

設80與平面所成角為仇貝Us譏e=|cos〈￡訪〉|=弁9=可率

\n\-\BQ\

18.已知歹為拋物線￡：y2=2px(/?>0)的焦點，。為坐標原點，M為￡的準線/上一點，直線板的斜

1

率為-1,△0*11的面積為77.已知尸(3,1),Q(2,1),設過點尸的動直線與拋物線E交于/、8

兩點，直線N。，8。與￡的另一交點分別為C,D.

(I)求拋物線E的方程；

(II)當直線N8與C〃的斜率均存在時，討論直線⑦是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是,

請說明理由.

第17頁(共20頁)

【解答】解：（I）設準線/與X軸的交點為N,

:直線板的斜率為-1,=|兒用=p,又\0F\=

11T）11

???S/OFM=2?I。可?|MN|=2?1p=田解得p=2，

故拋物線E的方程為：?=%.

（II）設4（XI，＞1）,B（X2，＞2）,

過點P（3,1）的直線45的方程為：％-3=，（＞-1）.

則聯(lián)立歹2=%,整理得:y2-ty+t-3=0,

由韋達定理可得：yi+y2=tfy\yi=t-3.

又設。（孫歹3）,D（X4，1y4），

可得CD的直線方程為：（》+%）y=x+y3y4,

由/,。，。三點共線可得：（yi-1）（%3-2）=（?3-1）（