人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.3.2二項式系數的性質課標要求素養(yǎng)要求理解二項式系數的性質并靈活運用.通過本節(jié)課的學習，進一步提升邏輯推理及數學運算素養(yǎng).自主梳理二項式系數的性質對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))增減性與最大值增減性：當k＜eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而增大；由對稱性可知，當k＞eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而減小.最大值：當n是偶數時，中間一項取得最大值；當n是奇數時，中間兩項與相等，且同時取得最大值各二項式系數的和①Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1，即在(a＋b)n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和對二項式系數性質的三點說明(1)對稱性：源于組合數的性質“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”，基礎是Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)＝1，然后從兩端向中間靠攏，便有Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，….(2)最大值：①當n是偶數時，(a＋b)n的展開式共n＋1項，n＋1是奇數，這時展開式的形式是中間一項是第eq\f(n,2)＋1項，它的二項式系數是，它是所有二項式系數中的最大值；②當n是奇數時，(a＋b)n的展開式共有n＋1項，n＋1是偶數，這時展開式的形式是中間兩項是第eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋3,2)項，它們的二項式系數是，，這兩個系數相等，并且是所有二項式系數中的最大值.(3)各二項式系數和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，源于(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn中，令a＝1，b＝1，即得到Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)二項展開式中系數最大項是中間一項(共奇數項)或中間兩項(共偶數項).(×)〖提示〗二項展開式中項的系數與二項式系數是不同的，二項式系數最大項是中間一項(共奇數項)或中間兩項(共偶數項)，但是項的系數的最大值與項其他數字因數的大小有關.(2)二項展開式的偶數項系數和等于奇數項系數和.(×)〖提示〗在二項式(a＋b)n中只有當a，b的系數相同時，展開式的偶數項系數和才等于奇數項系數和.(3)二項展開式項的系數是先增后減的.(×)〖提示〗二項式系數是隨n的增加先增后減的，二項展開式項的系數和a，b的系數有關.(4)(3x＋2)5的展開式的二項式系數和為25＝32.(√)2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中第8項是常數，則展開式中系數最大的項是()A.第8項 B.第9項C.第8項和第9項 D.第11項和第12項〖答案〗D〖解析〗二項式展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)·(x－1)k＝Ceq\o\al(k,n)·xeq\f(1,2)n－eq\f(3,2)k，令k＝7，則eq\f(1,2)n－eq\f(21,2)＝0，解得n＝21，通項可化簡為Ceq\o\al(k,21)·xeq\f(21－3k,2).由于n＝21，故展開式中一共有22項，又展開式中各項的二項式系數與項的系數相同，故系數最大的項為k＝10，11兩項，即展開式的第11項和第12項.3.在(x＋y)n的展開式中，第4項與第8項的系數相等，則展開式中系數最大的項是()A.第6項 B.第5項C.第5，6項 D.第6，7項〖答案〗A〖解析〗由題意，得第4項與第8項的系數相等，則其二項式系數也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由組合數的性質，得n＝10.∴展開式中二項式系數最大的項為第6項，它也是系數最大的項.4.若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8＝________.〖答案〗180〖解析〗由題意可知a8是x8的系數，所以a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.題型一二項展開式的系數的和問題〖例1〗已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.〖遷移1〗(變換所求)例1條件不變，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解∵(2x－1)5的展開式中偶數項的系數為負值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：〖2×(－1)－1〗5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.〖遷移2〗(變換所求)例1條件不變，求a1＋a3＋a5的值.解由上題得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，))兩式相減得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)×(1－243)＝－121.思維升華(1)賦值法是求二項展開式系數和及有關問題的常用方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項.(2)一般地，對于多項式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各項系數和為f(1)，奇次項系數和為eq\f(1,2)〖f(1)－f(－1)〗，偶次項系數和為eq\f(1,2)〖f(1)＋f(－1)〗，a0＝f(0).〖訓練1〗已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(1,2)×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x)8＝Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)×(－3x)＋Ceq\o\al(2,8)×(－3x)2＋…＋Ceq\o\al(8,8)×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.題型二二項式系數性質的應用〖例2〗已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中系數最大的項.解令x＝1，則展開式中各項系數的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數，∴展開式中二項式系數最大的項為中間的兩項，它們分別為T3＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))2·(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\f(2,3)(5＋2k)，假設Tk＋1項系數最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k－1,5)3k－1，,Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k＋1,5)3k＋1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5！,（5－k）！k！)×3≥\f(5！,（6－k）！（k－1）！)，,\f(5！,（5－k）！k！)≥\f(5！,（4－k）！（k＋1）！)×3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)≥\f(1,6－k)，,\f(1,5－k)≥\f(3,k＋1)，))∴eq\f(7,2)≤k≤eq\f(9,2).∵k∈N，∴k＝4，∴展開式中系數最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,5)xeq\f(2,3)(3x2)4＝405xeq\f(26,3).思維升華(1)二項式系數的最大項的求法求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對(a＋b)n中的n進行討論.①當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大.②當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.(2)展開式中系數的最大項的求法求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法，設展開式中各項系數分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項最大，應用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))解出k，即得出系數的最大項.〖訓練2〗求(x－y)11的展開式中：(1)二項式系數最大的項；(2)項的系數絕對值最大的項；(3)項的系數最大的項和系數最小的項；(4)二項式系數的和；(5)各項系數的和.解(1)二項式系數最大的項為中間兩項：T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(2)(x－y)11的展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,11)x11－k(－y)k＝Ceq\o\al(k,11)(－1)kx11－kyk，∴項的系數的絕對值為|Ceq\o\al(k,11)·(－1)k|＝Ceq\o\al(k,11)，∴項的系數的絕對值等于該項的二項式系數，其最大的項也是中間兩項，T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(3)由(2)知中間兩項系數絕對值相等，又∵第6項系數為負，第7項系數為正，故項的系數最大的項為T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6，項的系數最小的項為T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5.(4)展開式中，二項式系數的和為Ceq\o\al(0,11)＋Ceq\o\al(1,11)＋Ceq\o\al(2,11)＋…＋Ceq\o\al(11,11)＝211.(5)令x＝