通州區2023—2024學年第一學期高一年級期末質量檢測數學試卷2024年1月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，，則（）A B.C.或 D.或2.下列函數中，在區間上為增函數的是（）A. B. C. D.3.若且，則（）A. B. C. D.4.下列函數中，其定義域和值域分別與函數定義域和值域相同的是（）A. B. C. D.5.已知，，，則（）A. B. C. D.6.已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是（）A. B. C. D.7.若函數是奇函數，則可取一個值為（）A. B. C. D.8.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件9.國家標準對數視力表是由我國第一個眼科光學研究室的創辦者繆天榮發明設計的，如圖是5米測距下的標準對數視力表的一部分.圖中左邊一列數據為標準對數記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對應右邊一列數據為小數記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標準對數記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足（K為常數）.某同學測得視力的小數記錄法數據為0.6，則其標準對數記錄法的數據約為（參考數據：，）（）標準對數視力表A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.110.設函數，，，，則下列結論正確的是（）A.函數和的圖象有且只有兩個公共點B.，當時，使得恒成立C.，使得成立D.當時，方程有解第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是__________.12.計算：__________．13.函數零點個數為__________.14.在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊經過點，當時，則__________；當由變化到時，線段掃過的面積是__________.15.設函數（且）.給出下列四個結論：①當時，方程有唯一解；②當時，方程有三個解；③對任意實數a（且），的值域為；④存在實數a，使得在區間上單調遞增；其中所有正確結論的序號是__________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于點，.（1）求，的值；（2）求的值.17.某同學用“五點法”畫函數（，，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入部分數據，如下表：0

02

0（1）求函數的解析式；（2）將函數圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到函數的圖象，求函數的單調遞增區間.18.若函數.從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在.（1）求解析式與最小正周期；（2）求在區間上的最值.條件①：，條件②：，恒成立；條件③：函數的圖象關于點對稱.注：如果選擇條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.19.函數，.（1）若為偶函數，求的值及函數的最小值；（2）當時，函數的圖象恒在軸上方，求實數的取值范圍.20.某城市2024年1月1日的空氣質量指數（簡稱AQI）與時間（單位：小時）的關系滿足如圖連續曲線，并測得當天AQI的取大值為106.當時，曲線是二次函數圖象的一部分；當時，曲線是函數圖象的一部分.根據規定，空氣質量指數AQI的值大于或等于101時，空氣就屬于污染狀態.（1）求函數的解析式；（2）該城市2024年1月1日這一天哪個時間段的空氣屬于污染狀態？并說明理由.21.已知有個連續正整數元素的有限集合（，），記有序數對，若對任意，，，且，A同時滿足下列條件，則稱為元完備數對.條件①：；條件②：.（1）試判斷是否存在3元完備數對和4元完備數對，并說明理由；（2）試證明不存在8元完備數對.通州區2023—2024學年第一學期高一年級期末質量檢測數學試卷2024年1月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據補集的定義即可求解.【詳解】因為全集，，所以故選：C2.下列函數中，在區間上為增函數的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據初等基本函數的單調性，判斷各個選項中函數的單調性，從而得出結論.【詳解】對于A：因為函數在上是增函數，所以滿足條件，故A正確；對于B：因為函數在上是減函數，所以不滿足條件，故B錯誤；對于C：因為函數在上為減函數，所以不滿足條件，故C錯誤；對于D：因為函數在上為減函數，所以不滿足條件，故D錯誤.故選：A.3.若且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據不等式的性質及函數的單調性對選項逐一判斷即可．【詳解】因為且，對于A選項：當時不成立；對于B選項：單調遞減，所以不成立；對于C選項：在單調遞增，成立；對于D選項：舉反例，不成立．故選：C．4.下列函數中，其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數、指數函數、對數函數的定義域、值域一一判定選項即可.【詳解】易知，且，，故其定義域與值域均為.顯然A選項定義域與值域均為，故A錯誤；因為，且恒成立，即其定義域與值域均為，故B錯誤；，即其定義域為，值域為，故C錯誤；，且，故其定義域與值域均為，即D正確.故選：D5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出的范圍，再比較大小即可.【詳解】因為，所以；，；，；所以.故選：D6.已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用零點存在定理可判斷零點所在的區間.【詳解】因為在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，故函數零點的區間是.故選：C7.若函數是奇函數，則可取一個值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據誘導公式及正弦函數的性質求出的取值，從而解得.【詳解】解：根據誘導公式及正弦函數的性質可知，，令，可得的一個值為.故選：B8.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別解出、，結合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，得，由，得，又，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B9.國家標準對數視力表是由我國第一個眼科光學研究室的創辦者繆天榮發明設計的，如圖是5米測距下的標準對數視力表的一部分.圖中左邊一列數據為標準對數記錄法記錄的近似值L：4.0，4.1，4.2…對應右邊一列數據為小數記錄法記錄的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知標準對數記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足（K為常數）.某同學測得視力的小數記錄法數據為0.6，則其標準對數記錄法的數據約為（參考數據：，）（）標準對數視力表A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.1【答案】A【解析】【分析】利用公式結合對數運算法則計算函數關系式即可.【詳解】由題意可知，所以，故，故A正確.故選：A10.設函數，，，，則下列結論正確的是（）A.函數和的圖象有且只有兩個公共點B.，當時，使得恒成立C.，使得成立D.當時，方程有解【答案】D【解析】【分析】作出函數和的圖象，結合函數圖象即可判斷AB；根據指數函數和對數函數的圖象即可判斷C；根據當時，函數和的圖象都過過點，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖所示，作出函數和的圖象，由圖可知，函數和的圖象有三個公共點，故A錯誤；對于B，由A選項可知，當時，，所以不存在，當時，使得恒成立，故B錯誤；對于C，如圖，作出函數，的圖象，由圖可知，函數的圖象在的圖象的上方，函數的圖象在的圖象的下方，所以，，所以不存在，使得成立，故C錯誤；對于D，因為，，當時，函數的圖象過點，函數的圖象過點，即直線與函數圖象有交點，當時，直線斜率更小，直線與函數圖象有交點，所以當時，方程有解，故D正確.故選：D.【點睛】方法點睛：判定函數的零點個數的常用方法：（1）直接法：直接求解函數對應方程的根，得到方程的根，即可得出結果；（2）數形結合法：先令，將函數的零點個數，轉化為對應方程的根，進而轉化為兩個函數圖象的交點個數，結合圖象，即可得出結果.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】利用對數的限制條件可得答案.【詳解】由題意得，得，所以定義域.故答案為：12計算：__________．【答案】1【解析】【分析】利用分數指數冪運算和對數運算性質求解即可詳解】.故答案為：113.函數的零點個數為__________.【答案】1【解析】【分析】令，直接求解，結合函數定義域，即可得出函數零點，確定結果.【詳解】的定義域為，令，則或，解得或（舍）.故答案為：114.在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊經過點，當時，則__________；當由變化到時，線段掃過的面積是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】當時，求出點對應的坐標，即可求得的值，當時，求出點對應的坐標，即可確定扇形的圓心角，從而可以求得線段掃過的面積.【詳解】當時，，，此時點位于點，所以，此時，，當時，，，此時點位于點，此時，，所以，且，所以，所以當由變化到時，線段掃過的面積就是扇形的面積，即，故答案為：，.15.設函數（且）.給出下列四個結論：①當時，方程有唯一解；②當時，方程有三個解；③對任意實數a（且），的值域為；④存在實數a，使得在區間上單調遞增；其中所有正確結論的序號是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分類討論解方程可判定②，利用冪函數與指數函數的單調性可判定③，利用分段函數的性質可判定④.【詳解】當時，，則方程，若，若，與前提矛盾，舍去，所以當時，方程有唯一解，故①正確；當時，若，若，易知在上單調遞減，則當時,，且在上單調遞減，當時，，則，此時，作出函數與的草圖如下，可知當時，方程有三個解，故②正確；因為且，可知恒成立，若，由上可知在上單調遞減，且時，，此時；若，易知在上單調遞增，即，（i）當時，，則，（ii）當時，在時，，此時；則當時，取不到最小值，故③錯誤；由上可知和時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，故④錯誤.故答案為：①②【點睛】難點點睛：難點在第二個結論和第三個結論，需要利用指數函數的單調性與零點分類討論參數的范圍，討論容易遺漏.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于點，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數的定義計算即可；（2）利用余弦的差角公式計算即可.【小問1詳解】根據題意可知：，，則，同理，，則；【小問2詳解】易知，所以.17.某同學用“五點法”畫函數（，，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入部分數據，如下表：0

02

0（1）求函數的解析式；（2）將函數圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到函數的圖象，求函數的單調遞增區間.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）由五點法，可求周期，從而求出，代點求出，從而求出的解析式.（2）根據函數的圖象變換規律，正弦函數的單調性，即可得出.【小問1詳解】由表格知，且，即，故，由，則，故，則.【小問2詳解】由題意知，由，，所以，，即函數的單調增區間為，.18.若函數.從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在.（1）求的解析式與最小正周期；（2）求在區間上的最值.條件①：，條件②：，恒成立；條件③：函數的圖象關于點對稱.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1），（2）最大值；最小值【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，若選條件①可推得函數不存在，選擇條件②③，可求得函數的解析式，進而得到最小正周期；（2）由可得，借助正弦函數性質可求出最值.【小問1詳解】因為，，所以，若選條件①：因為的最大值為，最小值為.所以無解，故條件①不能使函數存在.若選條件②：因為，.故在處取最大值，即，，所以，因為，故，所以，最小正周期為：.若選條件③：因為函數的圖象關于點對稱.所以，所以，，即，，因為，故.所以，最小正周期為：.【小問2詳解】因為，則，故當，即時，取最大值；故當，即時，取最小值.19.函數，.（1）若為偶函數，求的值及函數的最小值；（2）當時，函數的圖象恒在軸上方，求實數的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數定義，帶入函數計算，利用換元法，結合基本不等式進行最小值的求解即可.（2）由于函數圖像恒在軸上方，所以函數，進行參數分離，得到恒成立，結合換元法進行討論即可.【小問1詳解】因為函數為偶函數.所以恒成立，即恒成立.即恒成立，解得，所以，令，，當且僅當，即時，等號成立.所以函數的最小值為.【小問2詳解】當時，函數的圖象恒在軸上方，故當時恒成立.即恒成立.令，令，.因為，對稱軸為，故當即時，取最大值4，故.20.某城市2024年1月1日的空氣質量指數（簡稱AQI）與時間（單位：小時）的關系滿足如圖連續曲線，并測得當天AQI的取大值為106.當時，曲線是二次函數圖象的一部分；當時，曲線是函數圖象的一部分.根據規定，空氣質量指數AQI的值大于或等于101時，空氣就屬于污染狀態.（1）求函數的解析式；（2）該城市2024年1月1日這一天哪個時間段的空氣屬于污染狀態？并說明理由.【答案】20.21.這一天在這個時間