必修四平面向量專題必修四平面向量專題必修四平面向量專題平面向量的基本概念與線性運算__________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共線向量等概念;2、掌握向量、向量的相等、共線向量等概念．3、熟練掌握向量的線性運算法則:加法法則，減法法則，數乘法則。＊創設情境興趣導入如圖7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎?圖7－1平面向量的概念：1、平面向量：在數學與物理學中,有兩種量．只有大小，沒有方向的量叫做數量（標量)，例如質量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上帶有指向的線段(有向線段）叫做平面向量，線段的指向就是向量的方向,線段的長度表示向量的大小．如圖7—2所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點．以A為起點,B為終點的向量記作．也可以使用小寫英文字母,印刷用黑體表示,記作a；手寫時應在字母上面加箭頭，記作．aaAB圖7－2向量的模長：向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作，．3、零向量：長度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的．4、單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規定：0與任一向量平行．6、相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規定零向量的相反向量仍是零向量．平面向量的基本運算：一般地，a＋b叫做a，b的一個線性組合（其中,均為系數）．如果l＝a＋b,則稱l可以用a,b線性表示．向量的加法、減法、數乘運算都叫做向量的線性運算．三角形法則:位移叫做位移與位移的和,記作=+．圖圖7－7ACBaba+bab一般地，設向量a與向量b不共線,在平面上任取一點A（如圖7－6），依次作=a,=b,則向量叫做向量a與向量b的和，記作a＋b，即a＋b=＋=（7．1)求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．2、平行四邊形法則：如圖7－9所示,ABCD為平行四邊形，由于=，根據三角形法則得圖7－9圖7－9ADCB＋=＋=這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；（2)a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋(b＋c）．3、平面向量減法法則：與數的運算相類似，可以將向量a與向量b的負向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．設a,b，則．即=（7．2）觀察圖7－13可以得到：起點相同的兩個向量a、b,其差a－b仍然是一個向量,叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點．aaAa-bBbO圖7－13一般地，實數與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為（7．3)若0,則當＞0時，a的方向與a的方向相同，當＜0時，a的方向與a的方向相反．由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當時，有(7．4）一般地，有0a=0,0=0．數與向量的乘法運算叫做向量的數乘運算，容易驗證，對于任意向量a,b及任意實數，向量數乘運算滿足如下的法則：題型1平面向量的基本概念例1給出下列六個命題:①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|,則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6（→)）＝eq\o(DC,\s\up6（→)）,則A、B、C、D四點構成平行四邊形；④在ABCD中，一定有eq\o(AB，\s\up6(→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→)）;⑤若m＝n,n＝p，則m＝p;⑥若a∥b，b∥c，則a∥c。其中錯誤的命題有________．(填序號）例2在平行四邊形ABCD中(圖7－5），O為對角線交點．ADCBADCB圖7－5O(2）找出向量的負向量；（3）找出與向量平行的向量．練習：1．如圖，ABC中，D、E、F分別是三邊的中點,試寫出（1）與相等的向量；（2)與共線的向量．FFADBEC（練習題1．1．1第2題圖）第1題圖EFABCDO（圖1－8）第2題圖2．如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心,試寫出（1）與相等的向量；(2）的負向量；(3）與題型2向量的線性表示ABDCABDC圖7－10F1F2k圖7－11*例4用兩條同樣的繩子掛一個物體（圖7－11）．設物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為,求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力F1F2k圖7－11 練習：如圖，已知a，b，求a＋b．（圖1－15）bb（圖1－15）bbaa（1）（2）第1題圖(1）a＋b=_____________,（2）b＋c=_____________，（3）a＋b＋c=_____________．3．計算:（1)＋＋；（2)＋＋．例5已知如圖7－14（1）所示向量a、b,請畫出向量a－b．BBbOaAba（1）（2）圖7－14練習：1．填空：(1）=_______________，（2）=______________,（3）=______________．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，設=a，=b，試用a，b表示向量、、．圖7－16例6在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖7－16，＝a,＝b，試用a,b表示向量、．圖7－16練習:1．計算：（1）3（a?2b)－2（2a＋b)；(2）3a?2（3a?4b)＋3(a?b）．圖7－162．設a,b不共線，求作有向線段，使＝(a＋b）．圖7－16解：例7平行四邊形OADB的對角線交點為C，eq\o(BM,\s\up6（→））＝eq\f(1,3）eq\o(BC,\s\up6（→)），eq\o（CN，\s\up6（→）)＝eq\f（1,3)eq\o（CD,\s\up6(→）），eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB,\s\up6(→））＝b，用a、b表示eq\o（OM，\s\up6(→））、eq\o(ON,\s\up6(→））、eq\o(MN,\s\up6（→）)。練習：練習：在△ABC中，E、F分別為AC、AB的中點，BE與CF相交于G點,設eq\o（AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（AC，\s\up6（→）)＝b，試用a,b表示eq\o(AG,\s\up6(→)）。題型3共線向量例8設兩個非零向量a與b不共線．(1）若eq\o(AB,\s\up6(→）)＝a＋b,eq\o(BC，\s\up6(→)）＝2a＋8b，eq\o(CD，\s\up6（→）)＝3（a－b）．求證：A、B、D三點共線；（2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．練習：已知a、b是不共線的向量,eq\o(AB，\s\up6(→）)＝λa＋b，eq\o（AC，\s\up6（→）)＝a＋μb（λ、μ∈R），當A、B、C三點共線時λ、μ滿足的條件為________．題型4向量共線的應用例4如圖所示，設O是△ABC內部一點，且eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6（→））＝－2eq\o（OB，\s\up6(→)），則△AOB與△AOC的面積之比為________．練習：如圖,△ABC中，在AC上取一點N，使AN＝eq\f(1，3）AC；在AB上取一點M，使得AM＝eq\f(1,3)AB;在BN的延長線上取點P，使得NP＝eq\f（1，2）BN；在CM的延長線上取點Q,使得eq\o(MQ,\s\up6（→)）＝λeq\o（CM，\s\up6(→）)時，eq\o（AP,\s\up6(→）)＝eq\o(QA，\s\up6(→）),試確定λ的值．一、選擇題1．在下列判斷中,正確的是（)①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤2．向量(eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（MB，\s\up6（→)））＋(eq\o（BO,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→))）＋eq\o(OM,\s\up6(→)）等于()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o（AB，\s\up6（→))C．eq\o（AC，\s\up6（→)) D．eq\o(AM,\s\up6（→））3．若a、b為非零向量，則下列說法中不正確的是（)A．若向量a與b方向相反，且|a|〉｜b｜，則向量a＋b與a的方向相同B．若向量a與b方向相反，且|a|<｜b|，則向量a＋b與a的方向相同C．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與a的方向相同D．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與b的方向相同4．已知下列各式：①eq\o(AM,\s\up6（→))＋eq\o(MB，\s\up6(→)）＋eq\o（BA，\s\up6(→）);②eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)）＋eq\o（BD，\s\up6(→)）＋eq\o(DC，\s\up6(→）)；③eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o（BO，\s\up6（→）)＋eq\o(CO，\s\up6(→)）.其中結果為零向量的個數為()A．0 B．1C．2 D．3二、填空題5．等腰梯形ABCD兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→)）與eq\o(DC，\s\up6(→))的關系是________．6．如圖所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，則eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6（→））＝________.三、解答題7．如圖所示,O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中：(1）分別寫出eq\o(AO,\s\up6（→）),eq\o（BO，\s\up6（→）)相等的向量；(2)寫出與eq\o(AO，\s\up6（→)）共線的向量;(3)寫出與eq\o（AO，\s\up6(→））的模相等的向量；（4)向量eq\o（AO,\s\up6（→)）與eq\o(CO，\s\up6（→))是否相等？8.梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD，M、N分別是CD和AB的中點，若=a，=b，試用a、b表示和,則=________，=______。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固一、選擇題1．把平面上一切單位向量平移到共同始點，那么這些向量的終點構成的圖形是（)A．一條線段 B．一段圓弧C．兩個孤立的點 D．一個圓2．把所有相等的向量平移到同一起點后,這些向量的終點將落在（)A．同一個圓上 B．同一個點上C．同一條直線上 D．以上都有可能4．有下列說法:①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數；③相等向量一定是平行向量；④共線向量一定在同一直線上．其中，正確說法的個數是（）A．0 B．1C．2 D．35．下列說法錯誤的是()A．作用力與反作用力是一對大小相等、方向相反的向量B．向量可以用有向線段表示,但有向線段并不是向量C．只有零向量的模等于0D．零向量沒有方向6．如圖所示，圓O上有三點A、B、C,則向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o（OC,\s\up6(→）)、eq\o(OA,\s\up6（→)）是（）A．有相同起點的相等向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量9．a、b、a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則()A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝｜b| D．以上都不對10．△ABC中,D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，則下面結論正確的是（)A．eq\o(AE，\s\up6（→))＝eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o（FA，\s\up6(→)） B．eq\o(DE，\s\up6（→））＋eq\o（AF,\s\up6(→)）＝0C．eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→））＋eq\o（CA，\s\up6（→))≠0 D．eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(BC，\s\up6(→））＋eq\o（AC，\s\up6(→））≠012．在四邊形ABCD中,eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→)),則四邊形ABCD一定是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四邊形二、填空題12．若D、E、F分別是△ABC的三邊AB、BC、AC的中點,則與向量eq\o（EF，\s\up6（→））相等的向量為________．16．根據右圖填空：b＋c＝________；a＋d＝________；b＋c＋d＝________；f＋e＝________；e＋g＝________。三、解答題17．某人從A點出發,向東走到B點，然后,再向正北方向走了60m到達C點．已知|eq\o(AC，\s\up6(→)）｜＝120m，求eq\o（AC,\s\up6（→))的方向和A、B的距離．18．兩個力F1和F2同時作用在一個物體上，其中F1＝40N，方向向東,F2＝40eq\r(3）N，方向向北，求它們的合力．能力提升一、選擇題1．若a為任一非零向量,b為其單位向量，下列各式：①|a|〉｜b|；②a∥b；③｜a｜>0;④|b｜＝±1；⑤eq\f(a，|a|)＝b.其中正確的是（）A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤2．如圖四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關系不一定成立的是()A．｜eq\o（AB，\s\up6(→)）|＝|eq\o(EF,\s\up6（→)）|B．eq\o(AB,\s\up6（→)）與eq\o(FH，\s\up6(→)）共線C．eq\o(BD,\s\up6(→)）＝eq\o(EH,\s\up6（→））D．eq\o(DC,\s\up6（→)）與eq\o（EC,\s\up6（→）)共線3．如圖所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°，則下列說法中錯誤的是（）A．圖中所標出的向量中與eq\o(AB,\s\up6（→))相等的向量只有1個(不含eq\o(AB，\s\up6(→））本身）B．圖中所標出的向量中與eq\o（AB,\s\up6（→）)的模相等的向量有4個（不含eq\o（AB,\s\up6(→)）本身）C．eq\o(BD，\s\up6(→））的長度恰為eq\o（DA，\s\up6（→））長度的eq\r（3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→)）與eq\o(DA,\s\up6(→）)不共線4．四邊形ABCD中，若eq\o(AB，\s\up6（→））與eq\o(CD,\s\up6（→））是共線向量，則四邊形ABCD是(）A．平行四邊形 B．梯形C．平行四邊形或梯形 D．不是平行四邊形也不是梯形5．已知向量a表示“向東航行1km”向量b表示“向南航行1km”則a＋b表示（)A．向東南航行eq\r（2)km B．向東南航行2kmC．向東北航行eq\r（2)km D．向東北航行2km6．在平行四邊形ABCD中,設eq\o（AB,\s\up6（→))＝a,eq\o（AD,\s\up6（→）)＝b,eq\o（AC，\s\up6（→))＝c,eq\o（BD，\s\up6(→））＝d，則下列各式中不成立的是（)A．a＋b＝cB．a＋d＝bC．b＋d＝aD．|a＋b｜＝｜c｜7．已知正方形ABCD的邊長為1,eq\o(AB,\s\up6(→））＝a、eq\o(BC，\s\up6(→))＝b、eq\o（AC,\s\up6（→)）＝c，則|a＋b＋c｜等于（)A．0B．3C．eq\r(2）D．2eq\r（2）8．下列命題中正確的個數為（）①如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a＋b的方向必與a、b之一的方向相同;②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CA，\s\up6（→))＝0；③若eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o(BC，\s\up6（→）)＋eq\o(CA，\s\up6（→））＝0，則A,B,C為一個三角形的三個頂點；④若a、b均為非零向量，則｜a＋b｜與｜a｜＋｜b|一定相等．A．0 B．1C．2 D．3二、填空題9．若｜eq\o(AB,\s\up6(→)）｜＝｜eq\o（AD,\s\up6（→))|，且eq\o(BA,\s\up6(→））＝eq\o（CD,\s\up6(→)），則四邊形ABCD的形狀為________．10．已知A、B、C是不共線的三點，向量m與向量eq\o（AB,\s\up6(→））是平行向量,與eq\o（BC，\s\up6(→）)是共線向量，則m＝________.已知｜eq\o(OA，\s\up6（→）)|＝|a｜＝3，｜eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b｜＝3，∠AOB＝90°，則|a＋b｜＝________.11．已知在菱形ABCD中,∠DAB＝60°,若|eq\o（AB，\s\up6（→)）|＝2,則|eq\o（BC，\s\up6（→）)＋eq\o（DC，\s\up6（→）)｜＝________.三、解答題8．一位模型賽車手搖控一輛賽車，沿直線向正東方向前行1m，逆時針方向旋轉α度，繼續沿直線向前行進1m,再逆時針旋轉α度，按此方法繼續操作下去．（1）按1100的比例作圖說明當α＝60°時，操作幾次賽車的位移為零．(2）按此法操作使賽車能回到出發點，α應滿足什么條件？請寫出其中兩個．9．如圖所示,在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點，已知eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o（DF,\s\up6（→））＝eq\o（BE,\s\up6(→))，試推斷向量eq\o(DE，\s\up6(→))與eq\o（AF,\s\up6（→）)是否為相等向量,說明你的理由．7．如圖所示，在△ABC中，P、Q、R分別為BC、CA、AB邊的中點，求證eq\o（AP,\s\up6(→))＋eq\o（BQ，\s\up6（→））＋eq\o（CR，\s\up6（→）)＝0.8．輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40nmile(海里）到達B處，再由B處沿正北方向行駛40nmile到達C處．求此時輪船關于A港的相對位置．9．已知下圖中電線AO與天花板的夾角為60°,電線AO所受拉力F1＝24N；繩BO與墻壁垂直，所受拉力F2＝12N。求F1和F2的合力．教師備選題目：1。如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o（AB,\s\up6(→））＝b，若eq\o(AB，\s\up6(→))＝2eq\o（DC,\s\up6(→))，則eq\o（AO,\s\up6（→）)＝________．（用向量a和b表示）2。如圖，在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O，eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（AD，\s\up6（→））＝λeq\o（AO,\s\up6(→))，則λ＝________．3。設D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，AD＝eq\f(1,2）AB，BE＝eq\f（2,3)DC，若eq\o（DE，\s\up6（→）)＝λ1eq\o（AB，\s\up6(→））＋λ2eq\o(AC，\s\up6(→))（λ1、λ2為實數），則λ1＋λ2＝________．4.已知點P在△ABC所在的平面內，若2eq\o（PA,\s\up6（→）)＋3eq\o(PB,\s\up6（→））＋4eq\o（PC,\s\up6（→））＝3eq\o（AB,\s\up6(→）)，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．1.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6（→）)＝λeq\o（AO，\s\up6（→）)，則λ＝________．2。已知平面內O，A,B，C四點，其中A，B，C三點共線，且eq\o（OC，\s\up6(→)）＝xeq\o(OA，\s\up6（→）)＋yeq\o（OB，\s\up6（→))，則x＋y＝________．3。設D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點，AD＝eq\f（1,2）AB，BE＝eq\f（2,3）BC，若eq\o(DE,\s\up6（→))＝λ1eq\o（AB，\s\up6(→）)＋λ2eq\o（AC，\s\up6(→))(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2＝________．4.已知點G是△ABO的重心,M是AB邊的中點．（1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o（GB,\s\up6（→）)＋eq\o（GO，\s\up6(→））；（2）若PQ過△ABO的重心G,且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma,eq\o（OQ,\s\up6（→)）＝nb,求證：eq\f(1，m)＋eq\f(1，n）＝3.平面向量基本定理與坐標運算__________________________________________________________________________________1。掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；2。會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。3.會用坐標表示平面向量共線的條件，進而解決一些相關問題。4.了解平面向量的基本定理及其意義。一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個_____不共線_____不共線向量,那么對于這一平面內的__任一__向量，有且只有_一對實數λ1,λ2使=λ1+λ2特別提醒：（1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底;(2)基底不惟一，關鍵是不共線;（3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1,λ2是被，，唯一確定的數量二、平面向量的坐標表示：如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得…………eq\o\ac(○，1）,我們把叫做向量的(直角）坐標，記作…………eq\o\ac(○，2）其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，eq\o\ac（○,2）式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，，,特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此,在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示三、平面向量的坐標運算：（1）若，，則=,=兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2)若,，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數，則實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標(4)向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1，y1)，=(x2,y2)其中∥(）的充要條件是類型一平面向量基本定理的應用如圖所示,在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若eq\o(AM,\s\up6（→）)＝λeq\o（AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6（→))，則λ＋μ＝________.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．【訓練1】如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6（→））＝xeq\o(AB,\s\up6（→）)＋yeq\o（AC,\s\up6（→））,則x＝________，y＝________。［例1]在△OAB中,，AD與BC交于點M,設=，=，用，表示。BBCAOMD練習：1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與-B．3與2C．＋與—D．與22．在△ABC中，已知AM︰AB=1︰3，AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點P，且,試用表示。BBACPNM類型二平面向量的坐標運算【例2】已知A（－2,4)，B（3，－1)，C(－3，－4），且eq\o（CM,\s\up6(→)）＝3eq\o(CA,\s\up6（→）),eq\o（CN，\s\up6(→）)＝2eq\o(CB,\s\up6(→)）。求M，N的坐標和eq\o(MN，\s\up6（→)）。利用向量的坐標運算解題,主要就是根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程（組）進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標,也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標．【訓練2】在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線，若eq\o（AB，\s\up6(→））＝（2,4）,eq\o(AC,\s\up6(→））＝（1，3),則eq\o（BD，\s\up6(→)）＝（)．A．（－2,－4) B．（－3，－5）C．(3,5） D．(2，4)若A（0，1）,B（1，2)，C（3,4)則2=4．若M(3,-2)N（-5，-1)且，求P點的坐標;類型三平面向量共線的坐標運算【例3】?已知a＝（1,2)，b＝(－3,2），是否存在實數k,使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反?向量共線問題中，一般是根據其中的一些關系求解參數值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據方程求解其中的參數值．【訓練3】已知向量a＝(1,2)，b＝（2，－3），若向量c滿足（c＋a)∥b，c⊥（a＋b),則c＝()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（7，9)，\f(7,3)）) B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（7，3）,－\f(7，9）））C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（7，3），\f(7，9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7，9)，－\f(7,3））)9．已知,當實數取何值時,＋2與2—4平行？一、選擇題1．設e1、e2是平面內所有向量的一組基底,則下面四組向量中，不能作為基底的是（）A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e22．下面給出了三個命題:①非零向量a與b共線,則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當且僅當存在實數λ1、λ2,使得λ1a＝λ2b；③平面內的任一向量都可用其它兩個向量的線性組合表示．其中正確命題的個數是（）A．0 B．1C．2 D．33．給出下列結論：①若a≠b，則｜a＋b｜〈｜a｜＋|b|；②非零向量a、b共線,則|a＋b｜>0；③對任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共線且反向，則｜a－b｜>｜a｜.其中正確的有()個．（)A．1 B．2C．3 D．44．已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(x－y)e1＋（2x＋y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于（)A．3 B．－3C．6 D．－65．設一直線上三點A，B，P滿足eq\o（AP,\s\up6（→））＝λeq\o(PB，\s\up6（→））(λ≠±1)，O為平面內任意一點,則eq\o(OP,\s\up6（→))用eq\o（OA，\s\up6（→））、eq\o（OB,\s\up6（→）)表示為（)A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋λeq\o（OB,\s\up6(→)) B．eq\o（OP，\s\up6（→）)＝λeq\o（OA，\s\up6(→))＋（1＋λ）eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o（OP，\s\up6(→））＝eq\f(\o（OA，\s\up6（→))＋λ\o(OB，\s\up6（→））,1＋λ） D．eq\o（OP,\s\up6（→))＝eq\f(1,λ)eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\f（1，1－λ）eq\o（OB，\s\up6(→))6．已知向量a＝(1，2)、b＝(3,1）,則b－a＝(）A．(－2,1） B．(2，－1)C．（2，0) D．（4，3）7．若向量eq\o(BA，\s\up6（→))＝(2，3）、eq\o（CA，\s\up6(→)）＝(4，7),則eq\o（BC,\s\up6（→))＝(）A．（－2，－4) B．(2，4)C．（6,10） D．（－6，－10）8．已知向量a＝(2，4)、b＝（－1,1)，則2a－b＝（）A．（5，7) B．(5，9)C．（3，7） D．(3，9）9．已知eq\o(AB，\s\up6(→)）＝(5，－3)、C（－1，3)、eq\o（CD，\s\up6（→)）＝2eq\o（AB，\s\up6(→）),則點D的坐標是（)A．（11，9） B．（4，0）C．(9,3) D．(9,－3)10．已知△ABC中，點A（－2，3)、點B（－3，－5），重心M(1，－2)，則點C的坐標為()A．（－4，8) B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4，3）,－\f（4,3））)C．（8，－4） D．（7，－2)11．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點，設eq\o（OA，\s\up6（→)）＝(x2＋x＋1）i－（x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點A位于（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題12．在?ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o（AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN，\s\up6（→))＝3eq\o(NC,\s\up6（→））,M為BC的中點，則eq\o(MN，\s\up6（→)）＝________（用a、b表示）．13．已知向量a與b不共線，實數x、y滿足等式3xa＋(10－y)b＝（4y＋7）a＋2xb，則x＝________，y＝________。14．若點O（0,0）、A（1，2)、B（－1,3），且eq\o(OA′,\s\up6（→）)＝2eq\o(OA，\s\up6(→)），eq\o(OB′,\s\up6(→）)＝3eq\o(OB，\s\up6(→)），則點A′的坐標為________．點B′的坐標為________，向量eq\o（A′B′,\s\up6(→）)的坐標為________．15．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB，\s\up6（→))＝（2，4)，eq\o（AC,\s\up6（→))＝（1，3），則eq\o(BD,\s\up6（→））＝________。三、解答題16．如圖，已知△ABC中，M、N、P順次是AB的四等分點，eq\o(CB，\s\up6（→）)＝e1，eq\o（CA，\s\up6（→)）＝e2，試用e1、e2表示eq\o（CM，\s\up6(→)）、eq\o(CN，\s\up6（→))、eq\o(CP,\s\up6(→)）._________________________________________________________________________________基礎鞏固一、選擇題1．已知a＝(－1,3）、b＝(x，－1），且a∥b，則x等于(）A．－3 B．－eq\f(1，3）C．eq\f(1，3) D．32．若A(3，－6）、B(－5,2)、C（6，y）三點共線,則y＝(）A．13 B．－13C．9 D．－93．向量a＝（3,1)、b＝（1，3)、c＝(k，7)，若（a－c）∥b，則k等于（）A．3 B．－3C．5 D．－54．設e1、e2是兩個不共線的向量,向量a＝e1＋λe2（λ∈R）與向量b＝－(e2－2e1）共線，則（）A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f（1，2）5．已知向量a＝(3,4）、b＝(cosα，sinα），且a∥b，則tanα＝（）A．eq\f(3,4） B．eq\f（4，3）C．－eq\f（4，3) D．－eq\f(3,4）6．若向量b與向量a＝（2,1)平行,且｜b｜＝2eq\r(5)，則b＝(）A．(4,2） B．(－4,2）C．（6,－3） D．(4，2）或(－4，－2)二、填空題7．設i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知eq\o(OA，\s\up6（→））＝2i,eq\o(OB，\s\up6(→)）＝4i＋2j,eq\o（AB,\s\up6(→））＝－2eq\o(AC，\s\up6（→)），則點C的坐標為________．8．設向量a＝（4sinα，3）、b＝(2，3sinα),且a∥b，則銳角α＝________.三、解答題9．設向量eq\o(OA，\s\up6(→））＝(k,12）、eq\o(OB，\s\up6（→)）＝（4，5)、eq\o(OC,\s\up6(→)）＝（10,k)，當k為何值時，A、B、C三點共線．能力提升一、選擇題1．已知向量e1≠0,λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1,若向量a與b共線，則(）A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝02．已知平面向量a＝（1，2）、b＝（－2，m），且a∥b，則2a＋3b＝（）A．(－2,－4) B．(－3，－6）C．（－4，－8) D．(－5,－10）3．已知平面向量a＝（x,1)、b＝（－x，x2)，則向量a＋b(）A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸 D．平行于第二、四象限的角平分線4．已知向量a＝(1，0）、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么（)A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向二、填空題5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起點為A（1，2），終點B在坐標軸上，則B點坐標為________．6．已知點A(eq\r（3），1)、B（0,0)、C(eq\r（3）,0）．設∠BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有eq\o（BC，\s\up6(→))＝λeq\o（CE,\s\up6（→)）,其中λ等于________．三、解答題7．平面內給定三個向量a＝（3，2)、b＝(－1，2)、c＝(4,1)，(1)求滿足a＝mb＋nc的實數m、n;（2)若(a＋kc)∥（2b－a)，求實數k。8．已知A、B、C三點的坐標分別為(－1,0）、(3,－1）、(1，2)，并且eq\o(AE，\s\up6(→）)＝eq\f(1,3)eq\o(AC，\s\up6（→））,eq\o(BF,\s\up6(→）)＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6（→)),求證：eq\o（EF，\s\up6（→）)∥eq\o（AB，\s\up6（→））.9．已知直角坐標平面上四點A(1，0）、B（4,3)、C(2，4)、D(0，2),求證:四邊形ABCD是等腰梯形．平面向量的數量積__________________________________________________________________________________1掌握平面向量數量積的概念、幾何意義、性質、運算律及坐標表示。2平面向量數量積的應用.一、平面向量數量積的物理背景及定義：以物理學中的做功為背景引入問題:觀察討論做功的公式中左右兩端的量分別是什么量？什么影響了功的大小？如何精確的給出數學中的定義？力做的功:W=｜F｜|s|cos，是F與s的夾角1、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角說明：（1）當θ＝０時，與同向；(2）當θ＝π時，與反向；（3）當θ＝時,與垂直，記⊥；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0≤≤180CC2、平面向量數量積（內積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數量｜|||cos叫與的數量積，記作，即有=|｜||cos，（０≤θ≤π）并規定與任何向量的數量積為03、兩個向量的數量積的性質:設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量=1\＊GB3①==||cos=2\*GB3②=0=3\＊GB3③=｜｜2或=4\*GB3④cos==5\*GB3⑤｜|≤｜||｜4、向量數量積滿足的運算率：=1\*GB3①;=2\*GB3\＊MERGEFORMAT②;=3\＊GB3③向量數量積的坐標運算1、已知兩個向量，,則。2、設，則.3、平面內兩點間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、,那么。4、向量垂直的判定兩個非零向量,，則.5、兩向量夾角的余弦cos=（).6、向量在軸上的正射影：作圖定義：｜｜cos叫做向量在所在軸上的正射影正射影也是一個數量,不是向量;當為銳角時正射影為正值;當為鈍角時正射影為負值；當為直角時正射影為0；當=0時正射影為||；當=180時正射影為|｜類型一、平面向量數量積的運算:例題1已知下列命題:①;②;③；④其中正確命題序號是.例題2已知;(2）;(3）的夾角為,分別求.練習：已知，求類型二、夾角問題：例題3若，且,則向量與向量的夾角為()A.B.C。D.練習：①已知，求向量與向量的夾角。②已知,夾角為，則.練習：已知是兩個非零向量,同時滿足，求的夾角。類型三、向量模的問題例題4已知向量滿足,且的夾角為，求.練習:①已知向量，若不超過5,則的取值范圍（)A.B。C.D。②已知的夾角為,,,則等于（)A5B.4C.3D。1類型四、平面向量數量積的綜合應用例題5已知向量。若;（2)求的最大值。例題6已知向量，且滿足,求證;(2）將與的數量積表示為關于的函數；(3）求函數的最小值及取得最小值時向量與向量的夾角。一、選擇題1．若a·c＝b·c(c≠0），則（）A．a＝bB．a≠bC．｜a｜＝｜b|D．a在c方向上的正射影的數量與b在c方向上的正射影的數量必相等2．若｜a｜＝4，｜b｜＝3，a·b＝－6，則a與b的夾角等于（）A．150° B．120°C．60° D．30°3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夾角為30°,則a在b方向上的投影為（)A．2 B．eq\r(3）C．2eq\r（3） D．44．｜m|＝2，m·n＝8，〈m,n〉＝60°,則｜n｜＝（)A．5 B．6C．7 D．85．向量a的模為10，它與x軸的夾角為150°，則它在x軸上的投影為（)A．－5eq\r(3) B．5C．－5 D．5eq\r(3)6．若向量a、b滿足|a|＝1，|b｜＝2，a與b的夾角為60°，則b·b＋a·b等于(）A．3 B．4C．5 D．6二、填空題7．已知向量a和向量b的夾角為30°，｜a|＝2，|b|＝eq\r(3），則向量a和向量b的數量積a·b＝____.8．若|a|＝6,｜b|＝4，a與b的夾角為135°，則a在b方向上的投影為________．三、解答題9．已知正六邊形P1P2P3P4P5P6的邊長為2，求下列向量的數量積．（1）eq\o（P1P2，\s\up6（→）)·eq\o(P1P3,\s\up6（→))；(2)eq\o(P1P2，\s\up6（→））·eq\o（P1P4，\s\up6（→））