PAGE14-第2節電場能的性質一、電勢能和電勢1．電勢能(1)電場力做功的特點：電場力做功與路徑無關，只與初、末位置有關。(2)電勢能①定義：電荷在電場中具有的勢能，數值上等于將電荷從該點移到零勢能位置時電場力所做的功。②電場力做功與電勢能改變的關系：電場力做的功等于電勢能的削減量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。2．電勢(1)定義：摸索電荷在電場中某點具有的電勢能與它的電荷量的比值。(2)定義式：φ＝eq\f(Ep,q)。(3)矢標性：電勢是標量，有正、負之分，其正(負)表示該點電勢比零電勢高(低)。(4)相對性：電勢具有相對性，同一點的電勢因選取零電勢點的不同而不同。3．等勢面(1)定義：電場中電勢相等的各點組成的面。(2)四個特點①等勢面肯定與電場線垂直。②在同一等勢面上移動電荷時電場力不做功。③電場線方向總是從電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面。④等差等勢面越密的地方電場強度越大，反之越小。二、電勢差1．定義：電荷在電場中由一點A移到另一點B時，電場力做功與移動電荷的電荷量的比值。2．定義式：UAB＝eq\f(WAB,q)。3．電勢差與電勢的關系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。三、勻強電場中電勢差與電場強度的關系1．電勢差與電場強度的關系：勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場線方向的距離的乘積。即U＝Ed，也可以寫作E＝eq\f(U,d)。2．公式U＝Ed的適用范圍：勻強電場。1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)電場中電場強度為零的地方電勢肯定為零。 (×)(2)沿電場線方向電場強度越來越小，電勢漸漸降低。 (×)(3)A、B兩點間的電勢差等于將正電荷從A點移到B點時靜電力所做的功。 (×)(4)A、B兩點的電勢差是恒定的，所以UAB＝UBA。 (×)(5)等差等勢線越密的地方，電場線越密，電場強度越大。 (√)(6)電場中電勢降低的方向，就是電場強度的方向。 (×)2．(人教版選修3－1P22T3改編)某電場的電場線和等勢面如圖所示，下列說法不正確的是()A．B點的電勢高于A點的電勢B．把負電荷從A移到B，靜電力做正功，電勢能削減C．負電荷從B移到A時，靜電力做負功D．UAB＝UBA[答案]D3．(人教版選修3－1P23思索探討改編)如圖所示，在E＝500V/m的勻強電場中，a、b兩點相距d＝2cm，它們的連線跟電場強度方向的夾角是60°，則Uab等于()A．5VB．10VC．－5VD．－10V[答案]C4．(人教版選修3－1P20T7改編)電場中某三條等勢線如圖中實線a、b、c所示。一電子僅在電場力作用下沿直線從P運動到Q，已知電勢φa>φb>φc，這一過程電子運動的v-t圖象可能是下圖中的()ABCDA[結合φa>φb>φc，由題圖等勢線的特點可確定此電場為非勻強電場，且Q點處電場強度小于P點處電場強度，電子僅在電場力作用下沿直線從P運動到Q，做加速度越來越小的加速運動，選項A正確。]電勢凹凸和電勢能大小的推斷eq\o([依題組訓練])1．電勢凹凸常用的兩種推斷方法(1)沿電場線方向電勢漸漸降低。(2)若UAB>0，則φA>φB；若UAB<0，則φA<φB。2．電勢能大小的推斷方法推斷角度推斷方法做功推斷法電場力做正功，電勢能減小；電場力做負功，電勢能增大電荷電勢法正電荷在電勢高的地方電勢能大，負電荷在電勢低的地方電勢能大公式法由Ep＝qφp，將q、φp的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大；Ep的負值的肯定值越小，電勢能越大能量守恒法在電場中，若只有電場力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉化，動能增大，電勢能減小；反之，電勢能增大[題組訓練]1．(2024·江蘇高考改編)如圖所示，ABC為等邊三角形，電荷量為＋q的點電荷固定在A點。先將一電荷量也為＋q的點電荷Q1從無窮遠處(電勢為0)移到C點，此過程中，電場力做功為－W。再將Q1從C點沿CB移到B點并固定。最終將一電荷量為－2q的點電荷Q2從無窮遠處移到C點。下列說法不正確的有()A．Q1移入之前，C點的電勢為eq\f(W,q)B．Q1從C點移到B點的過程中，所受電場力做的功為0C．Q2從無窮遠處移到C點的過程中，所受電場力做的功為2WD．Q2在移到C點后的電勢能為－4WC[由題意可知，C點的電勢為φC＝eq\f(Ep,q)＝eq\f(W,q)，故A正確；由于B、C兩點到A點(＋q)的距離相等，所以B、C兩點的電勢相等，所以Q1從C點移到B點的過程中，電場力做功為0，故B正確；由于Q1的電荷量也為＋q，所以當在B點固定Q1后，C點的電勢為eq\f(2W,q)，所以Q2從無窮遠移到C點過程中，電場力做功為：W＝qU＝－2q×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2W,q)))＝4W，故C錯誤；由于C點的電勢為eq\f(2W,q)，所以Q2的電勢能為Ep＝－4W，故D正確。]2．(2024·揚州市江都區大橋高級中學高三月考)某電場的電場線分布如圖所示，下列說法正確的是()A．a點的電勢低于b點的電勢B．c點的電場強度大于d點的電場強度C．若將一正摸索電荷由a點移到b點，電場力做正功D．若將一負摸索電荷由c點移到d點，電勢能增加A[依據沿電場線電勢降低可知：a點的電勢低于b點的電勢，故A正確；從電場線的分布狀況可知，c處的電場線比d處的疏，所以c點的電場強度小于d點的電場強度，故B錯誤；正電荷所受電場力和場強方向相同，因此正電荷由a點移到b點時電場力做負功，故C錯誤；將一負摸索電荷由c點移到d點，電場力做正功，電勢能削減，故D錯誤。]3．(2024·山東滕州市第一中學新校高二月考)如圖所示，真空條件下正點電荷電場中a、b兩點的電場強度方向與ab連線的夾角分別為60°、30°，一帶正電粒子以某初速度僅在電場力作用下由a運動到b。以下說法正確的是()A．a、b兩點的電場強度Ea＝3EbB．a、b兩點的電勢φa＝φbC．該粒子在a、b兩點的動能Eka>EkbD．該粒子在a、b兩點的電勢能Epa<EpbA[a點到O點的距離Ra＝Labcos60°＝eq\f(1,2)Lab，b點到O點距離Rb＝Lbcos30°＝eq\f(\r(3),2)Lab依據點電荷的場強公式E＝eq\f(kQ,r2)可得eq\f(Ea,Eb)＝eq\f(r\o\al(2,b),r\o\al(2,a))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,1)；故Ea＝3Eb故A正確；在正電荷的四周越靠近場源電勢越高，故有φa＞φb，故B錯誤；a點的電勢高，正電荷在電勢高處的電勢能大，即Epa>Epb，帶正電粒子在a、b兩點的動能Eka<Ekb。故C、D錯誤。]4．(2024·江蘇高考改編)如圖所示，絕緣輕桿的兩端固定帶有等量異號電荷的小球(不計重力)。起先時，兩小球分別靜止在A、B位置。現外加一勻強電場E，在靜電力作用下，小球繞輕桿中點O轉到水平位置。取O點的電勢為0。下列說法正確的有()A．電場E中A點電勢高于B點B．轉動中兩小球的電勢能始終相等C．該過程靜電力對兩小球均做負功D．該過程兩小球的總電勢能增加B[沿著電場線方向，電勢降低，A錯誤；由于O點的電勢為0，依據勻強電場的對稱性，電勢φA＝－φB，又qA＝－qB，Ep＝qφ，所以電勢能EPA＝EPB，B正確；A、B位置的小球受到的靜電力分別水平向右、水平向左，絕緣輕桿順時針旋轉，兩小球受到的靜電力對兩小球均做正功，電場力做正功，電勢能削減，C、D錯誤。]電勢差與電場強度的關系eq\o([講典例示法])1．公式E＝eq\f(U,d)的三點留意(1)只適用于勻強電場。(2)d為某兩點沿電場強度方向上的距離，或兩點所在等勢面之間的距離。(3)電場強度的方向是電勢降低最快的方向。2．兩個推論(1)如圖甲所示，C點為線段AB的中點，則有φC＝eq\f(φA＋φB,2)。(2)如圖乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD。甲乙3．三點妙用(1)說明等差等勢面的疏密與電場強度大小的關系。當電勢差U肯定時，電場強度E越大，則沿電場強度方向的距離d越小，即電場強度越大，等差等勢面越密。(2)定性推斷非勻強電場電勢差的大小關系。如距離相等的兩點間的電勢差，E越大，U越大；E越小，U越小。(3)利用φ-x圖象的斜率推斷沿x軸方向電場強度Ex隨位置的改變規律。在φ-x圖象中斜率k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示電場強度的大小，正負表示電場強度的方向。[典例示法]如圖所示，水平面內有A、B、C、D、M、N六個點，它們勻稱分布在半徑為R＝2cm的同一圓周上，空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、M三點的電勢分別為φA＝(2－eq\r(3))V、φC＝2V、φM＝(2＋eq\r(3))V，下列推斷正確的是()A．電場強度的方向由A指向DB．電場強度的大小為1V/mC．該圓周上的點電勢最高為4VD．沿圓周將電子從D點經M點移到N點，電場力先做負功后做正功C[在勻強電場中AM連線的中點G的電勢φG＝eq\f(1,2)(φA＋φM)＝2V＝φC，所以直線COGN為等勢線，在勻強電場中等勢線相互平行，電場線與等勢線相互垂直，且由電勢高的等勢線指向電勢低的等勢線，可知直線AB、直線DM分別為等勢線，直線DB、直線MA分別為電場線，可知電場強度的方向由M指向A(或由D指向B)，故A錯誤；MA兩點間的電勢差UMA＝φM－φA＝2eq\r(3)V，沿電場方向的距離d＝eq\r(3)R＝eq\f(\r(3),50)m，電場強度E＝eq\f(UMA,d)＝100V/m，故B錯誤；過圓心O做MA的平行線，與圓的交點H處電勢最高，UHO＝E·R＝2V，由UHO＝φH－φO可得：最高電勢φH＝UHO＋φO＝4V，故C正確；沿圓周將電子從D點經M點移到N點，電場力先做正功再做負功，故D錯誤。]應用E＝eq\f(U,d)關系的解題思路[跟進訓練]利用E＝eq\f(U,d)定性分析1．如圖所示，在某電場中畫出了三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢為φA＝30V，B點的電勢為φB＝－10V，則C點的電勢()A．φC＝10V B．φC>10VC．φC<10V D．上述選項都不正確C[由于A、C之間的電場線比C、B之間的電場線密，相等距離之間的電勢差較大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<eq\f(φA＋φB,2)，即φC<10V，選項C正確。]2．(2024·山東泰安一模)如圖所示，在正點電荷Q的電場中，A、B、C為直角三角形的三個頂點，D為AC的中點，∠A＝30°，A、B、C、D四點處的電勢滿意φA＝φC，φB＝φD，點電荷Q在A、B、C三點所在平面內，則()A．點電荷Q在A、C的連線上B．點電荷Q在B、D連線的中點處C．φD>φCD．將負摸索電荷從C點搬運到B點，電場力做負功C[因φA＝φC，則點電荷Q在A、C連線的垂直平分線上；又φB＝φD，則點電荷Q又在B、D連線的垂直平分線上；如圖，則點電荷Q在A、B的連線上，則選項A、B錯誤；D點距離正點電荷的距離較C點近，可知φD>φC，選項C正確；將負摸索電荷從C點搬運到B點，電場力做正功，選項D錯誤。]利用E＝eq\f(U,d)定量計算3．如圖所示，勻強電場方向平行于xOy平面，在xOy平面內有一個半徑為R＝5m的圓，圓上有一個電荷量為q＝＋1×10－8C的摸索電荷P，半徑OP與x軸正方向的夾角為θ，P沿圓周移動時，其電勢能Ep＝2.5×10－5sinθ(J)，則()A．x軸位于零勢能面上B．電場強度大小為500V/m，方向沿y軸正方向C．y軸位于零勢能面上D．電場強度大小為500V/m，方向沿x軸正方向A[由Ep＝2.5×10－5sinθ(J)知，x軸上的勢能為零，是零勢能面，電勢沿y軸改變最快，電場線沿y軸方向，A正確，C錯誤；當θ＝90°時，Ep＝2.5×10－5J＝EqR，解得E＝500V/m，又電勢能大于零，故電場強度的方向沿y軸負方向，B、D錯誤。]4．如圖所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為()A．200V/mB．200eq\r(3)V/mC．100V/mD．100eq\r(3)V/mA[勻強電場的電場線與等勢面都是平行、等間距排列的，且電場線與等勢面到處垂直，沿著電場線方向電勢漸漸降低，取OA中點C，則C點電勢為3V，連接BC即為電場中的一條等勢線，作等勢線的垂線，即電場中的電場線，如圖所示，由幾何關系可得，E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3V,\x\to(OC)·sin30°)＝200V/m。故A正確。]電場線、等勢面及運動軌跡問題eq\o([依題組訓練])1．(2024·天津高考)如圖所示，實線表示某電場的電場線(方向未標出)，虛線是一帶負電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M點和N點時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN。下列推斷正確的是()A．vM<vN，aM<aN B．vM<vN，φM<φNC．φM<φN，EpM<EpN D．aM<aN，EpM<EpND[電場線越密，電場強度越大，同一個粒子受到的電場力越大，依據牛頓其次定律可知其加速度越大，故有aM<aN；若粒子從M運動到N點，則依據帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，可知在某點的電場力方向和速度方向如圖甲所示，故電場力做負功，電勢能增大，動能減小，即vM>vN，EpM<EpN，負電荷在低電勢處電勢能大，故φM>φN。甲乙若粒子從N運動到M，則依據帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，可知在某點的電場力方向和速度方向如圖乙所示，故電場力做正功，電勢能減小，動能增大，即vM>vN，EpM<EpN，負電荷在低電勢處電勢能大，故φM>φN。綜上所述，D正確。]2．(2024·重慶市開州區陳家中學月考)如圖所示，虛線a、b、c代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之間的電勢差相等，即Uab＝Ubc，實線為一帶負電的質點僅在電場力作用下通過該區域時的運動軌跡，P、R、Q是這條軌跡上的三點，R點在等勢面b上，據此可知()A．帶電質點動能與電勢能之和不變B．帶電質點在P點的電勢能比在Q點的小C．帶電質點在R點的加速度方向與等勢面不垂直D．帶電質點在P點的加速度比在R點的加速度小A[只有電場力做功，電勢能與動能之和守恒，帶電質點的動能與電勢能之和不變，A正確；依據軌跡彎曲的方向和電場線與等勢線垂直可知負電荷所受的電場力應向下，所以電場線垂直等勢面對上，因此Q點的電勢高于P點的電勢，帶負電荷的質點在電勢高處電勢能小，P點電勢能大，B錯誤；帶電質點在R點的受力方向沿著電場線的切線方向，電場線與等勢面垂直，因此帶電質點在R點的加速度方向與等勢面垂直，C錯誤；等差等勢面P處密，所以P處的電場強度大，電場力大，帶電質點在P點的加速度比在R點的加速度大，D錯誤。]電場中“三線”問題的分析方法(1)從軌跡的彎曲方向推斷受力方向(軌跡向合外力方向彎曲)，從而分析電場方向或電荷的正負。(2)結合軌跡、速度方向與靜電力的方向，確定靜電力做功的正負，從而確定電勢能、電勢和電勢差的改變等。(3)依據動能定理或能量守恒定律推斷動能的改變狀況。電場中的四類圖象問題eq\o([講典例示法])E-x圖象1．E-x圖象反映了電場強度隨位移改變的規律。2．E-x圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢凹凸依據電場方向判定。[典例示法]靜電場在x軸上的場強E隨x的改變關系如圖所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸正方向運動，則點電荷()A．在x2和x4處電勢能相等B．由x1運動到x3的過程中電勢能先增大后減小C．由x1運動到x4的過程中電場力先增大后減小D．由x1運動到x4的過程中電場力先減小后增大C[由題圖可知，x1到x4場強先變大，再變小，則點電荷受到的電場力先增大后減小，C正確，D錯誤；由x1到x3及由x2到x4過程中，電場力做負功，電勢能增大，A、B錯誤。][跟進訓練]1．在x軸上有兩個點電荷q1和q2，其中有一個點電荷位于x＝0處，x軸上的電勢φ隨x改變的關系如圖所示，則()A．x＝x1處電場強度為0B．x＝x2處電場強度不為0C．q1、q2為不等量異種點電荷，且正電荷在x＝0處，負電荷在x<0的某處D．q1、q2為等量異種點電荷，且正電荷在x＝0處，負電荷在x>0的某處C[由題圖圖象的斜率表示電場強度可知，x＝x1處電場強度不為0，x＝x2處電場強度為0，選項A、B錯誤；在兩點電荷連線上出現電場強度為零的點有兩種狀況，一是同種電荷之間某點，該點兩側電勢改變形態基本相同，二是異種電荷連線之外；x＝0處向右電勢漸漸降低，說明電場強度方向向右，x＝0處為正電荷，負電荷應當在x<0某處，且負電荷電荷量較大，所以q1、q2為不等量異種點電荷，選項C正確，D錯誤。]φ-x圖象1．電場強度的大小等于φ-x圖線的斜率大小，電場強度為零處，φ-x圖線存在極值，其切線的斜率為零。2．在φ-x圖象中可以干脆推斷各點電勢的大小，并可依據電勢大小關系確定電場強度的方向。3．在φ-x圖象中分析電荷移動時電勢能的改變，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后作出推斷。[典例示法](2024·江蘇鹽城中學高三月考)帶電球體的半徑為R，以球心為原點O建立坐標軸x，軸上各點電勢φ隨x改變如圖所示，下列說法中正確的是()A．球體帶負電荷B．球內電場強度最大C．負電荷在B點的電勢能比C點的小D．A、B兩點電場強度相同C[從球動身向兩側電勢降低，而電場線從正電荷動身，沿著電場線電勢降低，故球帶正電荷，故A錯誤；球是等勢體，故內部隨意兩點間的電勢差為零，故場強為零，故B錯誤；從B到C，電勢降低，故負電荷電勢能上升，故C正確；A點與B點的電場強度大小相等，但方向相反，故不同，故D錯誤。][跟進訓練]2．(2024·重慶南開中學模擬)在x軸上關于原點對稱的a、b兩點處固定有兩個電荷量相等的點電荷，如圖E-x圖象描繪了x軸上部分區域的電場強度(以x軸正方向為電場強度的正方向)。對于該電場中x軸上關于原點對稱的c、d兩點，下列結論正確的是()A．兩點場強相同，c點電勢更高B．兩點場強相同，d點電勢更高C．兩點場強不同，兩點電勢相等，均比O點電勢高D．兩點場強不同，兩點電勢相等，均比O點電勢低A[依據給出的E-x圖象可知，a處為正電荷，b處為負電荷，依據點電荷產生的場強E＝eq\f(kQ,r2)及電場的疊加原理可知，c、d兩處場強相同，電場方向由c指向d，故c點電勢高，選項A正確。]Ep-x圖象1．反映了電勢能隨位移改變的規律。2．圖線的切線斜率大小等于電場力大小。3．進一步推斷電場強度、動能、加速度等隨位移的改變狀況。[典例示法](2024·江蘇南京三模)A、B為電場中始終線上的兩個點，帶正電的點電荷只受電場力的作用，從A點以某一初速度做直線運動到B點，其電勢能Ep隨位移x的改變關系如圖所示。則從A到B過程中，下列說法正確的是()A．點電荷的速度先增大后減小B．空間電場是某負點電荷形成的C．電荷所受電場力先減小后增大D．空間各點的電勢始終上升C[依據電勢能Ep隨位移x的改變圖象可知，電勢能先增大后減小，所以電場力先做負功再做正功，又點電荷只受電場力，所以合外力先做負功再做正功，因此點電荷的速度先減小后增大，A錯誤；點電荷帶正電，且電場力先做負功再做正功，所以電場強度的方向先向左再向右，空間電場可能是某正點電荷形成的，B錯誤；電勢能Ep隨位移x的改變的圖象斜率表示電場力，所以可知電場力先減小后增大，C正確；依據Ep＝qφ，粒子帶正電且電勢能先增大后減小，同時電勢能均為正值，所以空間各點的電勢先上升后降低，D錯誤。][跟進訓練]3．(2024·山西孝義摸底)a、b、c是靜電場中始終線上的三個點，從a點釋放一個初速度為零的電子，電子僅在電場力的作用下，由a點經b點運動到c點，其電勢能隨該電子位置的改變關系如圖所示，則()A．該電場可能是孤立的點電荷產生的B．電子在a點加速度的值小于在b點加速度的值C．電場中a點的電勢大于b點的電勢D．電子從a點到c點的過程中動能先增大后減小D[若該電場為孤立點電荷產生，則電子的電勢能應當單調改變，選項A錯誤；圖線在a點的斜率的肯定值大于b點，故電子在a點受到的電場力和加速度也大于b點