江西省重點中學協作體2023~2024學年度高一期末聯考數學本試卷共150分，考試用時120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列說法正確的是（）A.通過圓臺側面一點，有無數條母線B.棱柱的底面一定是平行四邊形C.圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形D.用一個平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺2.sin600°＋tan240°的值等于（）A.－ B.C.－＋ D.＋3.設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A. B. C. D.4.已知，，則（）A.1 B.C.2 D.或25.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于6.已知函數圖象為，為了得到函數的圖象，只要把上所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來2倍，縱坐標不變B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C.先將橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度D.先將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度7.已知，，，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A B. C. D.8.已知函數在區間上的最大值為，則實數的取值個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，其中為虛數單位，則下列屬于集合的元素是（）A. B. C. D.10.已知，滿足：對任意，恒有，則（）A. B. C. D.11.如圖，在棱長均相等的正四棱錐中，為底面正方形的中心，分別為側棱的中點，下列結論正確的是（）A平面 B.平面平面C. D.直線與直線所成角的大小為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.是虛數單位，若復數是純虛數，則實數的值為____________.13.如圖，一個水平放置的正方形，它在直角坐標系中，點的坐標為，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點到軸的距離為______．14.已知函數的圖象過點和且當時，恒成立，則實數的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知復數，（其中為虛數單位）．（Ⅰ）求復數；（Ⅱ）若復數在復平面內所對應點在第四象限，求實數的取值范圍．16.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.17.平面內有向量，，，點為直線上的一個動點．（1）當取最小值時，求坐標；（2）當點滿足（1）的條件和結論時，求的值．18.如圖，在平面直角坐標系中，點為單位圓與軸正半軸的交點，點為單位圓上的一點，且，點沿單位圓按逆時針方向旋轉角后到點.（1）當時，求的值；（2）設，求的取值范圍.19.已知三棱錐的棱兩兩互相垂直，且.（1）若點分別在線段上，且，求二面角的余弦值；（2）若以頂點為球心，8為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交，試求交線長是多少？江西省重點中學協作體2023~2024學年度高一期末聯考數學本試卷共150分，考試用時120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列說法正確的是（）A.通過圓臺側面一點，有無數條母線B.棱柱的底面一定是平行四邊形C.圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形D.用一個平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺【答案】C【解析】【分析】根據圓柱、圓錐、圓臺以及棱柱的結構特征判斷.【詳解】因為通過圓臺側面一點只有一條母線，所以A不正確；因為棱柱的底面不一定是平行四邊形，可以是任意多邊形，所以B不正確；因為由棱臺的定義，要求上?下底面平行，所以D不正確；因為圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形，三角形的兩腰是其母線，所以C正確.故選：C【點睛】本題主要考查幾何體的結構特征，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.2.sin600°＋tan240°的值等于（）A.－ B.C.－＋ D.＋【答案】B【解析】【分析】分別利用誘導公式求得sin600°和tan240°的值，從而求得結果.【詳解】sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－，tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，則sin600°＋tan240°＝.故選：B.【點睛】本題主要考查誘導公式，意在考查學生的數學運算的學科素養，屬基礎題.3.設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考點為復數的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點睛】本題考查復數的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數學運算素養．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．4.已知，，則（）A.1 B.C.2 D.或2【答案】C【解析】【分析】根據數量積的運算律即可求解模長.【詳解】因為，所以，故選：C.5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論．6.已知函數圖象為，為了得到函數的圖象，只要把上所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來2倍，縱坐標不變C.先將橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度D.先將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】根據三角函數平移伸縮變化求解即可.【詳解】先將函數圖象上每點橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再將得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.故選:C.7.已知，，，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的單位向量．【詳解】，，，，則向量在向量上的投影向量為，故選：B【點睛】本題考查向量的投影，共線向量，掌握向量投影的定義是解題關鍵．8.已知函數在區間上的最大值為，則實數的取值個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先計算出，分和兩種情況討論，時轉化為圖像交點問題.【詳解】，則，顯然，，①若即時，在單調增，，作函數的圖象，作與僅一個交點，所以此時有一個滿足要求；②若即時，滿足要求，綜上知滿足條件的共有兩個.故選：B二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，其中為虛數單位，則下列屬于集合的元素是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求得集合，然后結合復數運算對選項逐一計算，由此確定正確選項.【詳解】依題意，，A錯誤，，B正確，，C正確，，D錯誤.故選：BC.10.已知，滿足：對任意，恒有，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據向量線性運算的幾何意義分析可得，即為定點A到x軸上的動點的距離，進而分析可得，結合數量積運算求解.【詳解】不妨設，則，即為定點A到x軸上的動點的距離，顯然當軸時，取到最小值，若對任意，恒有，則，可得，故B正確，D錯誤；∵，可得，故A錯誤，C正確；故選：BC.11.如圖，在棱長均相等的正四棱錐中，為底面正方形的中心，分別為側棱的中點，下列結論正確的是（）A.平面 B.平面平面C. D.直線與直線所成角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】A選項:連接,為中點，為中點，可證∥根據線面平行判定可以證明∥平面；B選項:；連接,同理證明∥平面,結合A選項可證明平面平面；C選項:由于正四棱錐的棱長均相等，且四邊形為正方形，根據勾股定理可證,結合∥可證;D選項:先利用平移思想，根據平行關系找到異面直線與直線所成角的平面角，結合為正三角形，即可求出直線與直線所成角.詳解】連接如圖示：為底面正方形的中心,為中點，又為中點，∥又平面,平面，∥平面，故A選項正確；連接，同理可證∥,又平面,平面，∥平面,又,∥平面平面,平面,平面平面,故B選項正確；由于正四棱錐的棱長均相等，且四邊形為正方形，,又∥，,故C選項正確;分別為側棱的中點，∥四邊形為正方形,∥,直線與直線所成的角即為直線與直線所成角即為直線與直線所成角，又為正三角形，,直線與直線所成角為.故D選項不正確.故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.是虛數單位，若復數是純虛數，則實數的值為____________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由復數的運算可知，是純虛數，則其實部必為零，即，所以.考點：復數的運算.13.如圖，一個水平放置的正方形，它在直角坐標系中，點的坐標為，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點到軸的距離為______．【答案】【解析】【分析】作出正方形的直觀圖，再結合斜二測畫法的規則計算可得.【詳解】作出正方形的直觀圖如圖所示：因為，，所以頂點到軸的距離為．故答案為：14.已知函數的圖象過點和且當時，恒成立，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數的性質得到參數間的關系，進行消參，然后分類討論參數范圍，求解即可.【詳解】由知，，此時，當時，，只需，得，又；當時，成立，適合；當時，，要使，只需，綜上知，故，則實數的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知復數，（其中為虛數單位）．（Ⅰ）求復數；（Ⅱ）若復數在復平面內所對應的點在第四象限，求實數的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用復數除法法則計算；（Ⅱ）首先化簡復數，再根據復數在復平面內所對應的象限，列式求實數的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）；（Ⅱ），因為復數在復平面內所對應的點在第四象限，所以，解得：.16.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據已知可得，進而有≌，可得，即，從而證得平面，即可證得結論；（2）將已知條件轉化為母線和底面半徑的關系，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結論.【詳解】（1）連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，在上，，是圓內接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）設圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.【點睛】本題考查空間線、面位置關系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉化，考查邏輯推理、直觀想象、數學計算能力，屬于中檔題.17.平面內有向量，，，點為直線上的一個動點．（1）當取最小值時，求的坐標；（2）當點滿足（1）的條件和結論時，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設，利用向量與共線可得，用坐標表示，結合二次函數性質，求最小值，可得；（2）利用向量的夾角公式求解即可【詳解】（1）設，∵在直線上，∴向量與共線．∵，∴，∴，∴．又∵，，∴．故當時，有最小值，此時．（2）由（1）知，，，∴，，∴．18.如圖，在平面直角坐標系中，點為單位圓與軸正半軸的交點，點為單位圓上的一點，且，點沿單位圓按逆時針方向旋轉角后到點.（1）當時，求的值；（2）設，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數定義得到，故，利用誘導公式，輔助角公式化簡得到答案；（2）化簡得到，由，整體法求解值域.【小問1詳解】由三角函數的定義可得，，當時，，即，.【小問2詳解】，，，，則，，則，即的取值范圍為.19.已知三棱錐的棱兩兩互相垂直，且.（1）若點分別在線段上，且，求二面角的余弦值；（2）若以頂點為球心，8為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交，試求交線長是多少？【答案】（1）（2）【