動力學基本定理與守恒定律一、理解動量、沖量等概念，掌握動量定理、動量守恒定律及其應用；三、掌握保守力作功特點及勢能、變力功的計算；四、掌握動能定理、功能原理、機械能守恒定律，及運用守恒定律分析問題的方法；五、了解完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點；教學基本要求：二、理解角動量等概念，掌握角動量定律、角動量守恒定律及其應用；六、了解質心運動定律；3.1.1沖量質點動量定理動量(momentum):(1)

1.沖量(impulse)3.1動量定理及動量守恒定律質點動量定理：給定時間間隔內，合力作用于質點的沖量等于質點在該時間間隔內動量的增量.(2)故(1)式可寫為：定義沖量：力對時間的積累2.質點的動量定理注意：由于推導過程應用了牛頓第二定律，故動量定理僅適用于慣性系！3.沖量的分量形式(3)在直角坐標系有：4.碰撞問題與平均沖力(4)例如人從高處跳下、飛機與鳥相撞、打樁等碰撞事件中，作用時間很短，沖力很大.則的值越大！一定時，越小，注意：解：建立慣性系，取球為研究對象，由動量定理得：例1：質量、速率為0.05kg、10m·s-1的剛球,以與鋼板法線呈45o角方向撞擊板上,以相同的速率和角度彈回.設碰撞時間為0.05s.求此時間間隔內鋼板所受平均沖力

.(2)(1)鋼板受到的平均沖力為鋼球受到平均沖力的反作用力！故所求結果為：(3)討論：人從兩米高處跳下，沖力可達體重的200倍!1.如何避免沖力的危害？！

2.如何利用沖力效應？！看出：如果沖量一定，沖力與作用時間間隔成反比！故有結論：1.避免沖力危害：利用緩沖增加作用，減小沖力；2.利用沖力效應：利用快速作用減小，增加沖力；

例題3.1.1飛鳥對飛機的碰撞是威脅航空安全的重要因素之一，為避免此類事故的發生，機場通常都配備專門的驅鳥設施。設飛機以

的速率正常航行，不幸與質量、身長

的飛鳥相撞，試計算所產生的撞擊力。解：分析選地面慣性系，由質點動量定理可求。相對飛機撞擊前飛鳥的速度可忽略不計（初態），故兩者撞擊產生的沖力即為撞擊力，設撞擊后飛鳥粉碎性傷亡，故可認為其緊貼機身并與飛機同速（末態），則撞擊時間為：(1)故飛鳥受到平均沖力的值為:由牛頓第三定律可知飛鳥作用于飛機的平均沖力為:由質點動量定理得:(2)(3)(4)例題3.1.2冰壺又稱“冰上溜石”，是一項傳統技巧運動，1998年長野冬奧會上被列為正式比賽項目。設質量約20kg的冰壺在冰面上穩定滑動，

時冰壺靜止于坐標原點，在水平力

的作用下運動3s，不計冰壺轉動，試求其末速。解：由題意不計冰壺轉動，故可將其視為質點，設冰面水平并選其為慣性系，坐標原點位于冰面上，由題意已選平面直角坐標系，由質點動量定理可解。冰球靜止，即有：故：冰球末速：(1)(2)(3)0.質點系：相互有聯系的質點組成的系統。系統內質點間的相互作用叫內力（internalforce）；系統外質點對系統內質點的作用叫外力（externalforce）。性質1.內力的和恒為零；性質2.內力矩的和恒為零；3.1.2質點系動量定理和質點系動量守恒定律例：設有兩個質點的質點系；分別對應內力、外力，于是對單個質點應用質點動量定理得到：因為對于內力有：其中：分別為外力、內力；對于該質點系有：作用于系統的合外力的沖量等于系統

動量的增量，內力無貢獻。(a)(b)故有：質點系動量定理:作用于系統的合外力的沖量等于系統動量的增量，內力無貢獻。(4)可寫為：將以上結論推廣到一般情況得到質點系動量定理；(5)由質點系動量定理：此即質點系動量守恒定律(lawofconservationofmomentum)。令質點系所受合外力為零：

可得系統的總動量守恒：(1)(2)2.質點系動量守恒定律3.若合外力沿某方向投影為零,該方向分動量守恒；

2.守恒條件是合外力為零：但當

時，可略去外力作用近似取系統動量守恒，以擴大其應用范圍；

1.系統動量守恒指其總動量不變，但系統內任一質點的動量可變，且各質點的動量必相對同一慣性系；注意：

4.動量守恒定律只在慣性系中成立,是自然界最普遍、最基本的定律之一.

例3.1.3

返回式火箭以2.5

103m·s-1的速率相對慣性系沿水平方向飛行。現使質量100kg的儀器艙脫離，已知后方的返回艙質量200kg.若前者相對后者的水平速率為1.0

103m·s-1.空氣阻力不計，試求兩者相對慣性系的速度.解：分析受合外力為零系統動量守恒，用絕對速度；有慣性系，設返回艙為慣性系，有：(3)(1)(0)則：(2)初態已知量：末態待求量：

，；例題3.1.3

設在光滑的水平面上有質量

、長

的小車，如圖3.2所示車上一端有質量

的少年，起初小車和少年均靜止，若少年從車的一端走到另一端時，試求解少年與車相對地面運動的距離

。解：以車、少年為質點系，地面為慣性系，此系統在水平方向受合外力為零，故在此方向質點系動量守恒:因少年、小車在同一方向上做直線運動，故可寫為標量式:即有：

兩邊對時間積分得:(1)(2)(3)于是：又因：由以上兩式得：(4)(5)(6)1.質點的角動量設質量m速度，位矢的質點，其相對原點O的角動量為：方向：右手法則.(1)3.2.1質點角動量定理3.2角動量定理及角動量守恒定律例：質點以角速度作半徑為的圓周運動，相對圓心的角動量：z2.質點角動量定理(2)質點角動量定理：作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點的角動量隨時間的變化率.質點角動量定理：對同一參考點O

，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量.(3)沖量矩：3.2.2質點角動量守恒定律質點角動量守恒定律：質點所受對參考點O

的合力矩為零時，質點對該參考點O

的角動量為一恒矢量.(4)恒矢量例：若選太陽中心為參考點，行星受太陽萬有引力對參考點的力矩為零，故八大行星對太陽中心角動量守恒！于是均恒在固定平面內沿同方向運動。z例題3.2.1地球同步衛星為運行在地球同步軌道上的人造衛星。在地球同步軌道上布設3顆通訊衛星，可實現除兩極以外的全球通訊。該類衛星的運行方向與地球自轉同向，其運行軌道為位于地球赤道平面上的圓形軌道，距地心約，其運行周期與地球自轉周期相等。設

1

顆地球同步衛星的質量

，試計算該衛星相對地心的角動量。解：分析取地心為慣性系且又為坐標原點，設時刻該衛星的位矢

、速度

，于是可得：其中:帶入數據解得：角動量的方向垂直于衛星相對地心的

與

確定的平面.故角動量的大小為:z例題3.2.2哈雷彗星繞太陽的運行軌跡為橢圓曲線，如圖所示設太陽位于橢圓的一個焦點，哈雷彗星距太陽的最近距離

，對應速率

，距太陽最遠時速率為

，求該彗星距太陽的最遠距離。解：分析由于彗星繞太陽公轉過程相對其中心所受力矩為零，故相對中心彗星角動量守恒：即有：即該彗星距太陽的最遠距離為：.彗星距太陽最近、最遠處有：解得：例題3.2.3

開普勒第二定律也稱面積定律，即相等時間內太陽與繞其運動行星的連線所掃過的面積相等。試應用角動量守恒定律證明該定律。解：分析

設行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運行，太陽位于橢圓軌道的一個焦點。由于引力方向總是指向太陽中心，故行星所受引力對中心力矩為零，故行星相對中心角動量守恒：

的方向不變說明由

和

所決定平面的方位不變，即行星總在同一個平面內運動!行星對該中心角動量的大小為：其中：代入上式可得：于是位矢在單位時間內掃過的面積為：即在相等的時間內，太陽與繞其運行行星的連線所掃過的面積相等！1.功(work)

：力對質點作的功為力與質點位移的點

乘積，功是標量和過程量。元功為：B**A(1)討論：3.3動能定理及機械能守恒定律3.3.1功功率(2)(3)可證：合力的功=

分力功的代數和。(4)有關功的問題：(1).功與參照系有關；

(2).功的量綱：2.

瞬時功率：

功率的單位（瓦特）例題3.3.1農場工人從10.0m深的井中提水，初始桶中裝有10.0kg的水，由于水桶漏水，提到井口時剛好全部漏完。試求水桶勻速提到井口，工人對于桶內的水所作的功解：分析

取豎直向上為y軸正向，坐標原點位于井內水面處。桶內的水的質量因漏水隨提升高度而變，因此本題為變力做功問題。水桶在勻速上提過程中，工人對桶內水的拉力等于桶中水的重力，而水的重力隨其位置變化關系為

，其中

，故工人對于桶內的水所作的功為：1.質點動能定理(1)(2)又有：3.3.2動能定理ABθ由自然坐標系求功：

3.動能為狀態函數，功是過程量：(4)1.功、動能與參考系有關；2.該定理僅適用于慣性系；質點動能定理：

合力對質點作的功，等于質點動能的增量。

(3)注意例題3.3.2

質量10kg的物體作直線運動所受力與坐標關系如圖所示，

時

，試

求

處物體速度的大小。上式表示功的大小等于力

與

軸所圍面積，故得：由動能定理：最終解得：解：分析由動能定理可解。由圖知到合力的功為：注意初、末態：

1.選擇對象及慣性系，受力分析；

2.計算合力功，定初、末態；

3.由定理列方程；

4.求解討論；應用動能定理求解步驟：2.質點系動能定理

2.對整個質點系有：1.對第個質點應用質點動能定理：考慮n個質點組成的質點系：3.質點系動能定理:

(1)1.作用于質點系所有力之總功等于系統動能增量；2.作用于質點系內、外力功之和等于系統動能增量；質點系動能定理可表述為:1.每一質點受力作功的總和＝內、外力功的總和；2.內力對質點系動能的改變有貢獻；注意1.萬有引力以

為參考系、

位置矢量為，對

的萬有引力為：設：m由A點沿其軌跡移動到B點，則作功為：(1)3.3.3保守力與勢能(2)(a)AB2.重力(3)(4)(5)3.彈性力(6)(7)(8)4.保守力與非保守力引力功：(1)重力功：(2)彈力功：(3)b.保守力的功:a.保守力:所作功與路徑無關，僅決定于相互作用質點的始末相對位置，此類力稱為保守力。c.保守力判據：保守力判據：設有一閉合路徑如圖所示，則對于保守力來說有：物體沿任意閉合路徑運動一周時,

保守力對其所作的功為零！以此可作為保守力或非保守力的判據。

(4)d.非保守力:所作功與路徑有關；結論：5.勢能a.勢能:與物體間相互作用及相對位置有關的能量；彈性勢能：引力勢能:重力勢能:彈力功:引力功:重力功:定義：(5)2.勢能具有相對性，其表達式與勢能零點選取有關；1.勢能是狀態函數:3.勢能是屬于系統的物理量；注意：4.勢能計算：(6)(7)彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線例題3.10從地球表面發射質量

的探測飛船，試求能使飛船脫離地球引力成為人造行星所需最小初速度。解:分析選飛船為研究對象取地球中心為坐標原點，設地球為勻質球體，飛船從初始位置

運動到終態位置

的過程中，萬有引力的功為：考慮到所求為最小發射初速度，故

時，飛船的速率：(1)由動能定理得：解得：飛船在地球表面時：故得：(2)(3)1.質點系功能原理由質點系動能定理：

因為有：又有：令機械能：(1)3.3.4功能原理機械能守恒定律2.機械能守恒定律

機械能守恒定律:

只有保守內力作功的情況下，質點系的機械能保持不變.當時，有：(2)(3)

質點系功能原理:質點系機械能的增量等于外力和非保守內力作功之和.由功能原理:a.守恒定律(1)質點動能定理質點系動能定理質點系功能原理機械能守恒定律；忠告：應用物理解決工程問題的工程技術人員，聰明的做法是，優先考慮守恒定律，然后才是其他。b.守恒定律的特點:不追究過程細節而能對系統的狀態下結論，這是守恒定律的特點和優點。回顧推導過程：例題3.11

設加農榴彈炮發射質量

的炮彈，且以初速度

做斜拋運動如圖所示，試分別應用質點動能定理、功能原理和機械能守恒定律求其上升最大高度。解：分析由質點動能定理知合力功等于質點動能的

增量，于是得:解得:(1)(2)解：分析由功能原理知質點系機械能的增量等于外力和非保守內力作功之和.取炮彈、地球為質點系，坐標原點為零勢點，于是可得：解得：(3)(4)解：取炮彈、地球為質點系，坐標原點為零勢點，由于：解得：故機械能守恒：即有：3.3.4功能原理機械能守恒定律(5)(6)(7)4.完全非彈性碰撞：兩物體碰撞后以同一速度運動.系統動量守恒，機械能不守恒；1.碰撞：兩物體作用時間極短而作用力較大的相互作用.一般有：2.完全彈性碰撞：碰撞前后機械能守恒，系統動量守恒；3.非彈性碰撞：由于非保守力作用，碰撞后機械能轉換為熱能、聲能等其他形式的能量.系統動量守恒，機械能不守恒；3.3.5

完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞A.碰撞現象特點：1.碰撞作用力較大，可不計外力影響；2.相互作用時間間隔較小；B.碰撞分類：1.完全彈性碰撞：系統動量、機械能均守恒；2.完全非彈性碰撞：系統動量守恒，機械能不守恒；3.非彈性碰撞：系統動量守恒，機械能不守恒；例題3.12如圖所示長

的細繩子一端系著質量

的鋼球，另一端固定于

點。現把繩拉至水平位置后將鋼球由靜止釋放，鋼球在最低點和質量的靜止鋼塊發生完全彈性碰撞后反彈，求碰撞后鋼球回彈的高度。解：由鋼球、地球組成的系統在鋼球下擺過程機械能守恒，選鋼球最低位置為重力勢能零點，鋼球到達最低位置時速率為：則有：設鋼球、鋼塊碰撞后速度大小分別為：

、兩者完全彈性碰撞過程動量守恒、機械能守恒：設碰撞后鋼球回彈高度，取其最低點為零勢點，由機械能守恒定律得：故得：討論若在上題中與鋼球碰撞的是質量

靜止的粘土塊，碰撞后粘在鋼球上與其一起運動，則又能擺起多高？3.3.5完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞解：同上題鋼球到達最低位置有：鋼球和粘土塊完全非彈性碰撞，設兩者碰撞后速率，根據動量守恒定律得：兩者碰撞后繼續上擺的過程，粘土塊、鋼球及地球組成的系統機械能守恒，則：則有：亥姆霍茲（1821—1894），德國物理學家和生理學家，能量守恒定律的創立者之一.于1874年發表《論