2.4.2圓的一般方程導學案教學目標理解圓的一般方程及其特點掌握圓的一般方程和標準方程的互化會根據給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題教學重難點重點：理解圓的一般方程及其特點，掌握圓的一般方程和標準方程的互化．難點：會根據給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題，會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題.教學過程新課探究思考：前面我們學習直線方程時，所有的二元一次方程都可表示直線，那么，類比學習，是否所有的二元二次方程表示的就是圓呢？探究：觀察以下三個方程：(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.先將它們分別按圓的標準方程的形式進行配方，分析它們分別表示什么圖形？按要求進行配方，并分析表示的圖形：(1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，>不表示任何圖形．(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，>表示點(－1，－1)(3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，>表示圓探究：有些二元二次方程不表示任何圖形，有些表示點，有些表示圓，對于以下二元二次方程，如果它要表示圓，系數D、E、F需要滿足什么條件呢？思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圓嗎？若要表示圓，需要滿足什么條件呢？得出結論：方程①表示的不一定是圓，只有當時才能表示圓.師生：總結歸納，并得出圓的一般方程：當時，二元二次方程：此時，我們稱方程:為圓的一般方程.思考：當、時，方程①分別表示什么圖形？當時，方程①只有實數解，，它表示一個點；當時，方程①沒有實數解，它不表示任何圖形．思考：圓的標準方程與圓的一般方程各有什么特點？圓的標準方程明確給出了圓心坐標和半徑，重“形”；圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數特征非常明顯，重“數”，這兩個方程充分體現了數形結合思想的具象提現.應用新知例4求過三點，，的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．預設：設圓的方程是．①因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標都是方程①的解．把它們的坐標依次代入方程①，得到關于，，的一個三元一次方程組解這個方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標是，半徑．思考：與P83頁例2的方法比較，你有什么體會？面對兩次使用待定系數法，學生通過解題過程的分析與比較，體會其中的相同點和不通點，并得出結論：都是用待定系數法求圓的方程，只是設的方程形式不同，待定的系數不同.師生：結合兩次使用待定系數法，總結待定系數法求圓的方程的步驟：①設：根據題意，設圓的標準方程或一般方程；②列：根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；③解：解方程組得到a，b，r或D，E，F的值；④代：代入圓的標準方程或一般方程，即可得解；跟蹤練習：的三個頂點分別是，，，求的外接圓的一般方程，并寫出圓心坐標和半徑．預設：設圓的方程是．①因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標都是方程①的解．把它們的坐標依次代入方程①，得到關于，，的一個三元一次方程組解這個方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標是，半徑．例5已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．知識小貼士：點的運動軌跡是指點的坐標滿足的關系式．軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）．師生：共同分析；如圖，點運動引起點運動，而點在已知圓上運動，點的坐標滿足方程．建立點與點坐標之間的關系，就可以利用點的坐標所滿足的關系式得到點的坐標滿足的關系式，求出點的軌跡方程．預設：設點的坐標是，點的坐標是．由于點的坐標是，且是線段的中點，所以，于是有，．①因為點在圓上運動，所以點的坐標滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．教師：這種求動點軌跡方程的方法稱之為相關點法師生：共同總結分析，用相關點法求動點軌跡方程的有哪些步驟：①設坐標：設所求動點坐標為，另一動點為；②找關系：根據已知條件找到與、與的等式關系；③代方程：將第二步中的兩個等式關系代入另一動點的軌跡方程；④標準化：將所得新的方程進行整理成標準化方程；跟蹤練習：已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．預設：設點的坐標是，點的坐標是．由于點的坐標是，且是線段的中點，所以，于是有，．①因為點在圓上運動，所以點的坐標滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為的圓．能力提升題型一：根據圓的一般方程，求圓心坐標和半徑例題1、求下列圓的圓心坐標和半徑.

預設：（1）因為，整理得：，所以，圓心坐標為：，半徑為2.（2）因為，整理得：，所以，圓心坐標為：，半徑為.方法總結：方法一：先將一般方程按照圓的標準方程的形式配方好，然后寫出圓心坐標和半徑即可；方法二：記住圓心坐標公式和半徑公式，代入計算而得.題型二：根據圓的一般方程求參數（值）范圍例題2，若方程表示圓，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．.預設：因為方程表示圓，所以，即，解得；故選：D方法總結：利用圓的條件，建立不等式，解不等式即可得解題型三：直接法求動點的軌跡方程例題3，已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，求動點P的軌跡方程.預設：設，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.思考：為何要x≠±2？學生：可以從如果x=2和x=2，會得出怎樣的結論？從而得出答案：當x=2時，直線PB的斜率不存在，不合題意當x=2時，直線PA的斜率不存在，不合題意方法總結：直接法求動點的軌跡方程的步驟：①設坐標：設所求動點坐標為(x,y)；②符號化：將已知條件中的等式關系符號化：即用含x與y式子表示等式；③標準化：將第二步中的兩個等式關系代入另一動點的軌跡方程；④剔點：剔除不滿足題意的點，比如斜率不存在，不能構成三角形等；課堂小結隨堂限時小練判斷列方程能否表示一個圓？：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2＋xy＋y2＋6x＝0；(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋16＝0；(4)3x2＋3y2－2x＋4y－9＝0.分析：要判斷一個方程是否表示圓，關鍵是看如下三點：(1)x2和y2的系數相同，但不等于零；(2)沒有xy這樣的二次項；(3)D2＋E2－4F>0.預設(1)x2，y2的系數不相等，故(1)表示的不是圓．(2)方程含有xy項，故(2)表示的不是圓．(3)原方程可化為.故(3)構不成任何圖形，不是圓．(4)原方程可化為,∴(4)表示一個圓．2、圓的半徑等于（

）．A． B． C． D．預設：把圓化為標準方程得，圓，所以圓的半徑為．故選：B．3、若方程表示圓，則下列四個數中不能取的是（

）A． B． C． D．預設：方程表示圓，，或，不能取，故選：A4、已知圓過，，三點，求圓的一般方程.預設：設圓的方程為，由題意得，解得，，．圓的方程是．5、已知O為坐標原點，P在圓C：(x－2)2＋y2＝1上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程．預設：設點M坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，O點坐標為(0，0)，由中點坐標公式，可得x＝eq\f(x0＋0,2)，y＝eq\f(y0＋0,2).于是x0＝2x，y0＝2y.①∵點P在圓(x－2)2＋y2＝1上運動，∴點P的坐標滿足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y02＝1.②把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，整理，得(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)6、已知點的坐標分別為，直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1，求點的軌跡方程.預設：設，直線的斜率為，直線的斜率為，有直線的斜率與直線的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即點的軌跡方程為.課后作業布置作業1：完成教材：第88頁練習1,2,3,4作業2：配套輔導資料對應的《圓的一般方程》課后作業答案練習（第88頁）1．求下列各圓的圓心坐標和半徑：（1）；（2）；（3）．解析：（1）圓心坐標為，半徑長為3；（2）圓心坐標為，半徑長為；（3）圓心坐標為，半徑長為．2．判斷下列方程分別表示什么圖形，并說明理由：（1）；（2）；（3）．解析：（1）方程表示一個點；（2）方程表示圓心坐標是，半徑長是的圓；（3）當時，方程表示圓心坐標是，半徑長是的圓；當時，方程表示一個點．3．如圖，在四邊形中，，，且，，與間的距離為3．求等腰梯形的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．解析：（方法1)由題意可知，，，設所求圓的方程為．則，解得．故所求圓的方程為，其圓心坐標為，半徑長為．(方法2)由題意，可得點的坐標是，點的坐標為，線段的中點坐標是，直線的斜率，線段的垂直平分線的方程是，與方程聯立，解得，所以四邊形外接圓的圓心的坐標是，半徑長為，所以四邊形的外接圓的方程是，這個圓的圓心坐標為，半徑長為．習題2.4（第88頁）1．求下列各圓的圓心坐標和半徑，并畫出它們的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）圓的圓心坐標是，半徑長；（2）圓的圓心坐標是，半徑長；（3）圓的圓心坐標是，半徑長；（4）圓的圓心坐標是，半徑長．2． 求下列各圓的方程，并畫出圖形：（1）圓心為點，且過點；（2）過，，三點．解析：（1）半徑長，圓的方程是．（2）（方法1)設經過，，三點的圓的方程為．①把，，的坐標分別代入①，得，解此方程組，得．所以，經過，，三點的圓的方程是．（方法2)設圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為．（方法3)已知，，，所以，，的中點坐標為，的中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，的垂直平分線方程為，即．由，解得所以圓心坐標為，半徑，所以經過，，三點的圓的方程是．3．已知圓經過原點和點，并且圓心在直線上，求圓的標準方程．解析：（方法1）設所求圓的方程為，由題設，得，解此方程組，得，所以，所求圓的標準方程是．（方法2）因為圓心在直線上，所以可設圓心的坐標為．因為圓經過原點和點，所以．即，解得．所以圓心坐標為，所以圓的標準方程為．說明：本題也可以先求出線段的垂直平分線的方程，然后與方程聯立，求出圓心坐標為，再求出半徑長，從而求出圓的標準方程．4．圓的圓心在軸上，并且過和兩點，求圓的方程．解析：由題設，線段的中點坐標是，直線的斜率．所以線段的垂直平分線的方程是與軸的方程聯立，解得，即圓心的坐標是，半徑長．所以所求圓的方程為．5．已知圓的一條直徑的端點分別是，，求證此圓的方程是．證明：（方法l)因為直徑的兩個端點為，，所以圓心坐標和半徑長分別為，．所以圓的方程，化簡得．（方法2)設是圓上不同于，的任意一點由知，，即①反過來，坐標滿足①式的點，一定滿足，即該點在以為直徑的圓上．又因為點，的坐標也滿足上式，所以所求圓的方程為．6．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？解析：是．設經過，，三點的圓的方程為．①把，，的坐標分別代入①，得，解此方程組，得，所以經過，，三點的圓的標準方程是．把點的坐標代入上面方程的左邊，得．所以點在經過，，三點的圓上，即，，，四點在同一個圓上．7．已知等腰三角形的一個頂點為，底邊的一個端點為，求底邊的另一個端點的軌跡方程，并說明它是什么圖形．解析：如圖，根據題意，等腰三角形的底邊另一個端點在以為圓心，經過點的圓上，且除去點以及點關于點對稱的點．設與點關于點對稱的點是，則有，解得，所以點關于點對稱的點是．又．所以的軌跡是圓且，．8．長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，求線段的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．解析：如圖，設線段的中點為，點運動時，到原點的距離為定長，即的斜邊上的中線長．因為，即點的軌跡是以為圓心，為半徑長的圓．根據圓的標準方程，點的軌跡方程為．9．已知