第1頁（共1頁）2024-2025學年北京市昌平一中教育集團八年級（上）期中數學試卷一.選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）1．（2分）9的算術平方根是（）A．3 B．81 C．±3 D．±812．（2分）若分式有意義，則a的取值范圍是（）A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥23．（2分）下列計算錯誤的是（）A． B． C． D．4．（2分）若將分式中的x，y都擴大10倍（）A．不改變 B．縮小為原來的 C．縮小為原來的 D．擴大為原來的10倍5．（2分）下列各式從左到右變形正確的是（）A． B． C． D．6．（2分）成立的條件是（）A．0≤x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x＞6且x≠07．（2分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a的平方根是（）A．a＝2 B．a＝±2 C． D．8．（2分）對于分式（m，n為常數），若當x≥0時，該分式總有意義，該分式的值為負數．則m，n與0的大小關系正確的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m二.填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）若有意義，則實數a的取值范圍是．10．（2分）分式的值為0，則x的值為．11．（2分）比較大小：25（選填“＞”、“＝”、“＜”）．12．（2分）已知a，b是有理數，且滿足b＝．13．（2分）關于x的方程（a為常數）無解，則a＝．14．（2分）實數m在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為．15．（2分）如圖所示，點F、O、D、A是數軸上四個點，O與原點重合，OD＝2，DE＝DF．則小正方形的邊長DE＝，點F表示的數是．16．（2分）北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中曾記載了宋代行軍時的后勤供應情況：人負米六斗，卒自攜一斗，人食日二升．其大意為：在行軍過程中（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵），則在沒有其他糧食補充的情況下，背負的米支持行軍的天數為天；若每個士兵雇傭n個民夫隨其一同行軍，則在沒有其他糧食補充的情況下（用含有n的代數式表示）．三.解答題（本題共13道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計算：．18．（5分）計算：．19．（5分）計算：（1）．（2）（）2?÷y．20．（5分）計算：．21．（6分）解方程：．22．（6分）解方程：．23．（6分）學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：，甲、乙兩位同學的解答過程分別如下：甲同學：＝＝﹣②＝③＝④；乙同學：＝＝﹣②＝2﹣（x+1）③＝1﹣x④；老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤．請你從兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因（1）我選擇同學的解答過程進行分析；（填“甲”或“乙”）（2）該同學的解答從第步開始出現錯誤；（填序號）（3）請寫出正確解答過程．24．（6分）已知，求代數式x2﹣3xy+y2的值．25．（6分）已知m2+3m﹣4＝0，求代數式（m+2﹣）÷的值．26．（6分）隨著科技的發展，人工智能使生產生活更加便捷高效．某科技公司生產了一批新型搬運機器人，打出了如下的宣傳：根據該宣傳，求新型機器人每天搬運的貨物量．27．（6分）小石根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是小石的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發現規律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝（填寫運算結果）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：．（3）證明你的猜想．（4）應用運算規律．①化簡：＝；②若（a，b均為正整數），則a+b的值為．28．（6分）我們已經學過（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果關于x的分式方程滿足x+（a，b分別為非零整數），且方程的兩個跟分別為x1＝a，x2＝b．我們稱這樣的方程為“十字方程”．例如：x+＝3可化為x+＝1+2＝31＝1，x2＝2．再如：x+＝﹣5可化為x+＝﹣2﹣3＝﹣51＝﹣2，x2＝﹣3．應用上面的結論解答下列問題：（1）“十字方程”x+＝﹣6，則x1＝，x2＝；（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的兩個解分別為x1＝a，x2＝b，求的值；（3）關于x的“十字方程”x+＝2n+4的兩個解分別為x1，x2（x1＜x2），求的值．四、附加題（10分）29．（10分）閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發現：當a＞0，b＞0時，∵（﹣）2＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2（1）當x＞0時，x+的最小值為；當x＜0時，x+的最大值為；（2）當x＞0時，求當x取何值，y＝，最小值是多少？ （3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，△AOB、△COD的面積分別為4和9，則四邊形ABCD的面積的最小值為．

2024-2025學年北京市昌平一中教育集團八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）1．（2分）9的算術平方根是（）A．3 B．81 C．±3 D．±81【解答】解：∵32＝6，∴9算術平方根為3．故選：A．2．（2分）若分式有意義，則a的取值范圍是（）A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥2【解答】解：∵分式有意義，∴a﹣3≠0，解得：a≠2．故選：A．3．（2分）下列計算錯誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，原式計算正確；B、，原式計算正確；C、與不能合并，故此選項符合題意；D、，原式計算正確；故選：C．4．（2分）若將分式中的x，y都擴大10倍（）A．不改變 B．縮小為原來的 C．縮小為原來的 D．擴大為原來的10倍【解答】解：由題意，＝＝＝，∴分式的值不改變，故選A．5．（2分）下列各式從左到右變形正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A選項，∵6x≠0，∴x≠4，分式的分子和分母同時除以3x，分式的值不變；B選項，分式的分子和分母只能同時乘或除以一個不等于0的整式，故該選項不符合題意；C選項，﹣＝﹣＝＝，故該選項不符合題意；D選項，分式的分子和分母只能同時乘或除以一個不等于0的整式，分母乘m；故選：A．6．（2分）成立的條件是（）A．0≤x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x＞6且x≠0【解答】解：根據題意，得．解得x≥6．故選：C．7．（2分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a的平方根是（）A．a＝2 B．a＝±2 C． D．【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴．∴．∴a的平方根是．故選：D．8．（2分）對于分式（m，n為常數），若當x≥0時，該分式總有意義，該分式的值為負數．則m，n與0的大小關系正確的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m【解答】解：∵當x≥0時，該分式總有意義，∴說明當x＜0時，分母x﹣m有可能為6，∴﹣m為正數，即m＜0，又∵x＝0時，該分式的值為負數，∴＜3，即，∴n、m異號，∴m＜0＜n，只有A選項正確，故選：A．二.填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）若有意義，則實數a的取值范圍是a≥2．【解答】解：有意義，故a﹣2≥6，解得a≥2，故答案為：a≥2．10．（2分）分式的值為0，則x的值為1．【解答】解：∵分式的值為0，∴1﹣x＝6且2x+1≠2，解得：x＝1．故答案為：1．11．（2分）比較大小：2＜5（選填“＞”、“＝”、“＜”）．【解答】解：∵2＝，4＝，而24＜25，∴2＜3．故填空答案：＜．12．（2分）已知a，b是有理數，且滿足b＝﹣1．【解答】解：∵，又∵（a+1）2≥0，，∴a+1＝0，b﹣7＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴ab＝（﹣1）3＝﹣5，故答案為：﹣1．13．（2分）關于x的方程（a為常數）無解，則a＝2．【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，移項、合并同類項，x＝7是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，解得a＝7，∴當a＝2時，原分式方程無解．故答案為：2．14．（2分）實數m在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為3．【解答】解：由題意可得，0＜m＜1，∴m﹣3＜﹣2＜0．∴＝|m﹣3|＝4﹣m，．∴＝3﹣m+m＝7．故答案為：3．15．（2分）如圖所示，點F、O、D、A是數軸上四個點，O與原點重合，OD＝2，DE＝DF．則小正方形的邊長DE＝，點F表示的數是2+．【解答】解：由題意得：AD＝1，∠AOC＝90°，∴DE＝DF＝＝，∴OF＝OD+DF＝2+，故答案為：；2+．16．（2分）北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中曾記載了宋代行軍時的后勤供應情況：人負米六斗，卒自攜一斗，人食日二升．其大意為：在行軍過程中（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵），則在沒有其他糧食補充的情況下，背負的米支持行軍的天數為25天；若每個士兵雇傭n個民夫隨其一同行軍，則在沒有其他糧食補充的情況下（用含有n的代數式表示）．【解答】解：∵每個士兵雇傭4個民夫隨其一同行軍，∴士兵和民夫共攜帶了60×4+10＝250升米，∵250÷（4×4+2）＝250÷10＝25（天），∴最多可以支持25天的行軍，∵每個士兵雇傭n個民夫隨其一同行軍，∴士兵和民夫共攜帶了（60n+10）升米，∵民夫和士兵每人每天消耗7升米，∴共消耗2（n+1）升米，∴在沒有其他糧食補充的情況下，背負的米支持行軍的天數為：．故答案為：25；．三.解答題（本題共13道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計算：．【解答】解：原式＝＝．18．（5分）計算：．【解答】解：原式＝4+××﹣3×＝4+7﹣＝5+．19．（5分）計算：（1）．（2）（）2?÷y．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）（）2?÷y＝??＝．20．（5分）計算：．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．21．（6分）解方程：．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝4，檢驗：把x＝3代入得：x（x+3）＝18≠8，則分式方程的解為x＝3．22．（6分）解方程：．【解答】解：去分母，得x（x+1）+3（x﹣2）＝（x﹣1）（x+1），去括號，得x7+x+3x﹣3＝x7﹣1，移項、合并同類項，未知數的系數化1，得x＝，經檢驗，x＝．23．（6分）學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：，甲、乙兩位同學的解答過程分別如下：甲同學：＝＝﹣②＝③＝④；乙同學：＝＝﹣②＝2﹣（x+1）③＝1﹣x④；老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤．請你從兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因（1）我選擇甲（答案不唯一）同學的解答過程進行分析；（填“甲”或“乙”）（2）該同學的解答從第②步開始出現錯誤；（填序號）（3）請寫出正確解答過程．【解答】解：（1）選擇甲同學或乙同學均可；故答案為：甲（答案不唯一）；（2）甲同學從第②步開始出現錯誤，其錯誤原因是：通分時，第二個分式，分式的分子也應該乘以（x+1）；故答案為：②；乙同學從第③步開始出現錯誤，其錯誤原因是：同分母分式相減，分母不變；故答案為：③；（3）原式＝＝＝＝﹣．24．（6分）已知，求代數式x2﹣3xy+y2的值．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝2，xy＝3﹣2＝4，∴x2﹣3xy+y2＝（x+y）2﹣5xy＝（4）2﹣5×1＝12﹣5＝8．25．（6分）已知m2+3m﹣4＝0，求代數式（m+2﹣）÷的值．【解答】解：原式＝?＝?＝m（m+3）＝m2+3m，∵m2+3m﹣4＝4，∴m2+3m＝4，∴原式＝4．26．（6分）隨著科技的發展，人工智能使生產生活更加便捷高效．某科技公司生產了一批新型搬運機器人，打出了如下的宣傳：根據該宣傳，求新型機器人每天搬運的貨物量．【解答】解：設每臺新型機器人每天搬運的貨物量為x噸，則每臺舊型機器人每天搬運的貨物量為（x﹣20）噸，由題意得：＝，解得：x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解，答：新型機器人每天搬運的貨物量為80噸．27．（6分）小石根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是小石的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發現規律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝5（填寫運算結果）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：（n為正整數）．（3）證明你的猜想．（4）應用運算規律．①化簡：＝20；②若（a，b均為正整數），則a+b的值為57．【解答】解：（1）特例5，＝，故答案為：7；（2）由題意可得：（n為正整數），故答案為：（n為正整數）；（3）左邊＝，∵n為正整數，∴左邊＝．又∵右邊＝，∴左邊＝右邊．即（n為正整數）；（4）①原式＝10×＝10＝10×220，故答案為：20；②由題意，當n＝7時，，∴a＝2，b＝50，∴a+b＝7+50＝57，故答案為：57．28．（6分）我們已經學過（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果關于x的分式方程滿足x+（a，b分別為非零整數），且方程的兩個跟分別為x1＝a，x2＝b．我們稱這樣的方程為“十字方程”．例如：x+＝3可化為x+＝1+2＝31＝1，x2＝2．再如：x+＝﹣5可化為x+＝﹣2﹣3＝﹣51＝﹣2，x2＝﹣3．應用上面的結論解答下列問題：（1）“十字方程”x+＝﹣6，則x1＝﹣2或﹣4，x2＝﹣4或﹣2；（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的兩個解分別為x1＝a，x2＝b，求的值；（3）關于x的“十字方程”x+＝2n+4的兩個解分別為x1，x2（x1＜x2），求的值．【解答】解：（1）由已知可得，﹣2×（﹣4）＝7，∴x1＝﹣2或﹣8，x2＝﹣4或﹣6，故答案為：