高二年級數學月考試卷2024.11.3一．單選題（5分×8=40分）1．已知是關于x的方程的一個根，a?R，b?R.則（

）A．0 B．2 C．1 D．42．已知直線和直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設是虛數單位，是復數的共軛復數，若，則=A． B． C． D．4．已知點，若直線與線段AB相交，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．若點在直線上，則點到點的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，點為側棱上的動點．當最小時，三棱錐的體積為（

）A．1 B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則下列結論正確的是（

）A．當P在平面內運動時，四棱錐的體積變化B．當P在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為45°的點P的軌跡長度為D．若F是棱的中點，當P在底面內運動，且滿足平面時，長度的最小值是二．多選題（6分×3=18分）9．下列結論正確的有（

）A．直線恒過定點B．直線的傾斜角的取值范圍是C．經過點，的直線方程均可用表示D．直線和都經過點，則過兩點，的直線方程為10．下面四個結論正確的是（

）A．已知向量，，若，則為鈍角B．已知，，則向量在向量上的投影向量是C．若直線經過第三象限，則，D．已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面11．在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的是（

）A．當時，點在棱上B．當時，點到平面的距離為定值C．當時，點在以的中點為端點的線段上D．當時，平面三．填空題（5分×3=15分）12．已知直線經過點，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為．13．過定點且傾斜角是直線傾斜角的兩倍的直線方程為.14．已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是四．解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15（13分）．（1）經過點，且與直線垂直的直線一般式方程.（4分）（2）求過點，且與直線平行的直線的一般式方程；（4分）（3）求過點，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.（5分）16（15分）．已知一條動直線，(1)求直線恒過的定點的坐標；（4分）(2)若直線不經過第二象限，求m的取值范圍；（4分）(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，的面積為6，求直線的方程.（7分）17（15分）．如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點．(1)求證:平面；（4分）(2)求直線與直線所成角的余弦值；（4分）(3)若直線與平面所成角為，求點到平面的距離．（7分）18（17分）．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；（5分）(2)若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．（5分）(3)點是線段CD上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．（7分）19（17分）．如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．

(1)求證：平面平面；（5分）(2)若點在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；（5分）(3)在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（7分）參考答案：題號12345678910答案DAADBCBDACDBD題號11答案BCD3．A【詳解】令，由即所以5．B【詳解】由已知，設關于直線的對稱點為，則解得，即，所以．6．C【詳解】將直三棱柱展開成矩形，如下圖，連接，交于，此時最小，∵，則，而，由且都在面，則面，又，則面，即面，點為側棱上的動點，當最小時，即，得，又為直角三角形，此時三棱錐的體積為：.故選：C7．B【詳解】因為底面，底面，即，根據題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.8．D【詳解】對于A，因為底面正方形的面積不變，點P到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，故A錯誤；對于B，如圖①，以D為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，可得，，.設，，則，.設直線與所成角為θ，則，因為，當時，可得，所以；當時，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B錯誤；對于C，已知直線與平面所成的角為45°，若點P在平面和平面內，因為，最大，點P僅在點；若點P在平面內，則點P的軌跡長度是；若點P在平面內，則點P的軌跡長度是；若點P在平面內，作平面，如圖②所示，因為，所以.因為，所以，所以，所以點P的軌跡是以點A1為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點P的軌跡長度為.綜上，點P的軌跡總長度為，故C錯誤；對于D，如圖③，由前面建系得，，，，設，，，則，，.設平面的法向量為，則，令，則，所以.因為平面，所以，可得，所以，當時，等號成立，故D正確．9．ACD【詳解】對于A，直線，即，直線恒過定點，故A正確；對于B，直線的斜率，設直線的傾斜角為，則,所以，故B錯誤；對于C，經過點，的直線方程均可用表示，故C正確；對于D，直線和都經過點，則所以點，的直線方程為上，故D正確.故選：ACD.10．BD【詳解】對于A，當時，，，，此時為，故A錯誤；對于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于C，令，則直線為，且經過第三象限，但此時，故C錯誤；對于D，因為，，所以由向量共面定理的推論可得，，，四點共面，故D正確；故選：BD.11．BCD【詳解】對于A，當時，，又，所以即，又，所以三點共線，故點在上，故A錯誤；對于B，當時，，又，所以即，又，所以三點共線，故點在棱上，由三棱柱性質可得平面，所以點到平面的距離為定值，故B正確；對于C，當時，取的中點的中點，所以且，，即，所以即，又，所以三點共線，故在線段上，故C正確；對于D，當時，點為的中點，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質可知，因為，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，設與相交于點O，則，即，又，平面，所以平面，因為平面，所以，由正方形性質可知，又，平面，所以平面，故D正確.12．或【詳解】因為直線經過點，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，當截距為時，斜率為，此時直線方程為，即，當截距不為時，由題可設直線方程為，又直線過點，所以，得到，故直線方程為，即，故答案為：或.13．【詳解】直線的斜率為，設直線的傾斜角為，可得，即可得，所以所求直線的斜率為，所求直線方程為，即，故答案為：.14．/-0.5【詳解】過和分別作，，，，，，，則，即，，，，，二面角的余弦值為，15．（1）；（2）；（3）或.【詳解】（1）設與直線垂直的直線方程為，又該直線過點，則，解得，所以所求直線方程為.（2）設與直線平行的直線方程為，又該直線過點，則，解得，所以所求直線方程為.（3）顯然直線不過原點，設其方程為，則，整理得，即，因此，解得，而直線，即，其斜率為，所以所求直線的斜率為或.16．(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意，整理得，所以不管取何值時，直線恒過定點的坐標滿足方程組，解得，即（2）由上問可知直線恒過定點，當，直線斜率不存在時，此時直線是，顯然滿足題意；當時，由直線不經過第二象限，直線與軸有交點時，則縱截距小于或等于零即可，令，則，即，解得；綜上所述：（3）設直線方程為，則，由直線恒過定點，得，由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，由三棱柱性質可得平面平面，又平面，故平面；（2）因為平面，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；（3）設，，則，設平面的法向量為，有，令，則，，即，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為.18．(1)證明過程見解析(2)(3)【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因為，，平面，平面．所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以A為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因為T是的中點，點M是的中點，所以，．設平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個法向量為，而,所以點P到平面的距離為．（3）設，注意到A0,0,0，所以，所以，設，注意到P0,0,1，所以，因為A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當且僅當，即當且僅當，此時，綜上所述，當且僅當重合，此時存在，使平面.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，．【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，∴，∴．在中，，，，∴，