第19講壓軸綜合題（講義）

本節主要針對高一下學期的壓軸題進行總結，綜合性較強，也是高考的熱門

考點。

一、單選題

1.（2020?上海市嘉定區第一中學高二月考）在AABC中，”是邊A3上一定點，滿足

AB=4HB，且對于邊A3上任一點P，恒有方2麗?布，貝U（）.

A./ABC=9（yB.ZBAC=90°C.AB^ACD.AC=BC

【答案】D

【分析】以AB所在的直線為x軸，以A8的中垂線為了軸建立直角坐標系，設A8=4,

C（a,b）,P（x,0）,山題意寫出麗，HC＜麗，正的坐標，山麗?斤2麗.豆C

結合向量的數量的坐標表示可得關于x的一元二次不等式，結合二次不等式的性質即可求

出。得值，進而可得正確答案.

【詳解】

以AB所在的直線為％軸，以AB的中垂線為＞軸建立直角坐標系，

設AB=4，C（a,b）,P（x,0）,則5H=LA（-2,0）,B（2,0）,“（1,0）,

所以麗=（1,0）,麗=（2-x,0）,PC=（a-x,b）,HC=[a-\,b）,

PBPC=（2-x）（a-x）.HBHC^a-l＞

因為麗?定2麗?衣對于邊AB上任一點P都成立，

所以（2-司（"一%""1在[-2,2]上恒成立，

即f—（a+2）x+a+120在[—2,2]I二恒成立即（x—l）（x—a-1）20,Vxe[―2,2]

若I<x42,則x—a-120恒成立，故aVx-l恒成立，故。40,

若-2?x1，則x-a—1W0恒成立，故aix-l恒成立，故。2(),

故a=0即點。在A3的垂直平分線上，所以AC=BC,

故選:D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵想到建立直角坐標系將麗.定之麗.正轉化為坐標，

設，設AB=4，C(a,。)，尸(x,0),寫出各點坐標即可寫出而，HC,方，的坐

標，可得(2-x)(a—x)之a—1恒成立，利用二次函數的性質求出a=0,可得點。在A5

的垂直平分線上即AC=BC

2.(2021?湖北高三期末)已知復數4和Z2滿足區一8-1用=石％-4—6，,

|z「Z21=3,則國的取值范圍為()

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

【答案】A

【分析】設4=x+yi,x,yeR,由忸一8—144=石區一4一6，[可得

(x-3)2+()'-4尸=25,設Z2=/〃+〃/；加,〃eR,則點(x,y)和點(九〃)距離為3,作圖圖

象即可得解.

【詳解】設4=x+yi,x,yeR,

則|z「8-14]=石區—4一6?[表示點(X,y)到點(8,14)的距離是到點(4,6)距離的加倍.

則J*-8)2+(y-14)2=國d)2+(y—6)2.

化簡得:(x-3)2+(y-4)2=25,

即復數4在復平面對應得點為以(3,4)為圓心，5為半徑的圓上的點.

設Z2=m+應,根,"GR,因為[Z]-Z2|=3,所以點(x,y)和點(加,〃)距離為3,

所以復數Z2在復平面對應得點為以(3,4)為圓心，2為半徑的圓即以(3,4)為圓心，8為半

徑的圓上構成的扇環內(含邊界)，如圖所示:

區|表示點(九〃)和原點(0,0)的距離，由圖可知同的最小為0,最大為10+3=13.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用復數得幾何意義，坐標化，設

z^x+yi.x.yeR,得。一3)2+(丁-4)2=25,進而可以利用數形結合解決問題，屬于難

題.

3.(2020?浙江)已知復數z滿足回=1,且有z"+z=l，求2=()

15/3.口V31.3V2..挪不什

A.一±---1B.---±—iCr.---±---11).制，4、對

222~222

【答案】A

【分析】根據題意可設z=cos6+isin。(i為虛數單位)；然后再利用棣莫佛公式，可得

/、/、一fcosl7^+cos0=\

(cos176>+cos6()+z(sin176>+sin0)=1,再根據復數的概念，可得《..八八，

'sin17y+sin0=0

利用三角函數同角關系，即可求出e的值，進而求出結果.

【詳解】因為目=1,設z=cos8+isin6(i為虛數單位);

由棣莫佛公式，可得

z17+z=cosl7e+isinl7e+cose+isine=(cosl7e+cose)+i(sinl7e+sin。),

所以(8sl76+8se)+i(sinl76+sin夕)二1

cos178+cos0=1fcos176=1—cos6

所以《八，即《

sin176+sin0=0[sin176=-sin6

因為(sinl7，『+(cos17，1二1，

所以(sin17e『+(cos17夕『=(_sin+(l-cos9)2=1；

化簡可得sir?^+cos2。一2cos，=0，即1-2cos6=0

所以cos0=—,所以sin0-±V1—cos20-±——；

22

所以z=』±i-

22

故選:A.

【點睛】本題主要考查了復數模的運算，熟練掌握復數模的運算性質，是解決本題的關鍵.

二、填空題

4.(2021?上海高一單元測試)在小鉆C中，-+-=4cosC,cos(A-B)=-,])lij

ab6

cosC=.

【答案】I

【分析】根據余弦定理化簡2+g=4cosC,得到cosC=￡；由題意，在比上取。,

ab2ab

使得BD=AD,連接49,找出4-6,設Q=x,在△/加中兩次利用余弦定理將cos(A-

皮及cost表示出，分別求出x建立關于a,b的方程，化簡變形后利用整體換元求出答

案.

【詳解】由題意知，—+-=4cosC

abf

由余弦定理得，:+方=4'區囁

化簡可得/+〃=202,則cosC=J,

2ab

又AABC中不妨設日>6,??">〃.在以上取〃使得㈤=被連接力〃

設BD=x,IJllJAD=x,DC=a-x,AC=b9

在中，cosZDAC=cos（A-B）=—,

6

由余弦定理得：（a-x）2=x2+b2-2A-b--,

6

即：（b-6a）x-3h2-3a2<

解得：x=即--3J①

b-6a

b1+（Q-X）~-x2

又在△』加中，由余弦定理還可得cosC=

2?〃?（。一x）

2b1+（Q-X）2-x29

.「Cac-

..COSL=--------=,化簡得x=,②

2ab2a2-c2

由①②可得3“2="_o'2又八"2c2,

聯立可得ab（〃+-3（片+h2y+24a2b2,BPab（2c2）--3（2c2）-+24a2/72,

2（2、22

c2

兩邊同時除以4a2〃，得￡?=—3—+6,令——=t，則12產+，_6=0，解得t=；

2abIab,2ab3

或-之,

4

c22

又由題意cosC>0,t二COSC=--------=—

2ab3

【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，考查了運算化簡的技巧，考查利用幾何圖形解決

問題的能力，屬于難題.

5.(2021?上海高一單元測試)函數/(x)=sin2x+2cosx在區間--—,0上的最大值

為1，則。的值是.

TT

【答案】一￡

2

【分析】利用同角三角函數平方關系，易將函數化為二次型的函數，結合余弦函數的性

「2-

質，及函數/(x)=sin2x+2cosx在一1乃，。上的最大值為1，易求出。的值.

【詳解】?/函數/(1)=5訪21+2。5%=一(：0521+2。05%+1=—(。05%-1)2+2

「2

又??,函數/(x)=sin2x+2cosx在一個冗、。上的最大值為1,

/.cosx<0,

-2；

又???X￡-］兀、9,

27r

且丁=85%在彳口—號,。］上單調遞增,

所以cos8=0

即”一C.

2

JT

故答案為：一■—

2

【點睛】本題考查的知識點是三角函數的最值，其中利用同角三角函數平方關系，將函數

化為二次型的函數，是解答本題的關鍵，屬于中檔題.

6.(2021?上海高一專題練習)如圖AABC中，ZACB^90°,NC4B=30°,BC=\,

M為AB邊上的動點，D為垂足，則MD+MC的最小值為；

3

【答案】一

2

【分析】以C為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出MD+MC的值，然后利用

換元法求解出MD+MC對應的最小值即可.

【詳解】如圖所示，設M（x,y）,所以=

根據條件可知:A（0,⑹,8（1,0）,所以"百-瓜，

冗

設1=r8$。，y=rsin6>,6e0,—,re（0,+oo）,

所以百rcos6+rsin?二G，所以r=

J5cos8+sin。

所以MD+MC=x+yjx1+y2=r(l+cos6)=J---------

V3cos+sin

d

1-tantan—+—

222

1+tan

所以當tan&=3時，MD+MC有最小值，最小值為

232

3

故答案為：一.

2

八J,

【點睛】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能

力，屬于較難題

(D利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；

2tan—1-tan"—

(2)三角函數中的一組'‘萬能公式"：sin<9=------%,cos0=----------

1+tan2—l+tan?一

22

7.(2021?上海高一單元測試)設數列｛4｝是首項為0的遞增數列，函數

/,(x)=|sin-(x-a?)|,xe[a,??1滿足：對于任意的實數mG[0,1),f(x)=m總有

nn+1n

兩個不同的根，則J的通項公式是

n(n-l)7r

[答案]———

2

【分析】利用三角函數的圖象與性質、誘導公式和數列的遞推公式，可得

-4=〃%，再利用“累加”法和等差數列的前n項和公式，即可求解.

【詳解】由題意,因為4=0,當〃=1時，/(x)=|sinx|,x€[(),%],

又因為對任意的實數me[0,1),力(x)=m總有兩個不同的根，所以4=乃，

所以<(x)=sinx,xe[0,捫，④=萬，

\\X

又上(入)=|5足5(工一〃2)1=|5訪5(工一兀)|=cos—[肛％]，

對任意的實數相力*)二根總有兩個不同的根，所以火=3萬，

\\X

又力(x)=|sin§(x-a3)l=lsin5(x-3萬)|=cos-,xe[3^,a4],

對任意的實數力。)=%總有兩個不同的根，所以4=6萬，

由此可得見+i一。“=〃萬,

/、/、，/八〃(〃一1)%

卜力以Cln=q+(%—%)+,,?+(4〃—Q〃_1)=1+7T+?,,+(71—1)7T=--------,

所以4=幽”

故答案為止巫.

2

【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質的應用，以及誘導公式，數列的遞推關系

式和“累加”方法等知識的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

8.(2021?上海高一單元測試)已知/(X)是定義在R上的奇函數，且xVO時，/(X)單

調遞增，已知/(-1)=0,設8(%)=5足2%+/^€?%-2，?7,集合

M=<w|對任意xw0仁，有g(x)V。},集合

N=</〃|對任意xe0,],有y[g(x)]vo},則Afp|N=.

【答案】(4-272,+oo)

【分析】由己知可得：x<-4時，〃x)<0,0<x<lH't,/(x)<0,將/[g(x)]<0

轉化成g(x)<-1或0<g(x)<1,即可將McN轉化成：

71=1"2|對任意工￡0,—,有g(x)<T},即可轉化成：-----<m

IL2」J12-cosx」1rax

對任意xe0,y成立，令r=2-cosx,整理得：一弓+[+4<m,再利用基本

-」L'，」max

不等式即可得解.

【詳解】因為/(X)是定義在R上的奇函數，XV0時，/(力單調遞增，且/(-1)=0

所以x<-l時，/(x)<0,0<x<l時，/(x)<0,

所以/[g(x)]<。可化為：g(x)<T或0<g(x)<l,

所以集合N=＜加|對任意xe0,y,有/'[g(x)]vO”可化為:

冗,

集合N=，/%|對任意%￡0,—,有g(x)v-l或0vg(x)＜l＞,

-rjr1、

所以A/nN=A=＜，川對任意xe0,—,有g(x)＜-4＞

即：si/x+mcosx—2加＜一1對任意尤￡°，,恒成立.

即：---------＜加對彳王忘XE0,—怛成u,即：---------＜m

2-COSXL2J12-COSX」max

G2

記y=41￡21_￡,令f=2-cosx,則f?L3],且cosx=2-r,代入得：

2-cosx

y=—1：+，+44—2后?+4=—2夜+4,當且僅當0時，等號成立.

所以＞皿=一2夜+4，

所以—2夜+4＜M，

所以MPIN=(4—2及,+oo)

【點睛】本題主要考查了奇函數的應用及函數單調性的應用，還考查了交集運算及參變分

離法解決恒成立問題，還考查了換元法、轉化思想及利用基本不等式求最值，屬于難題.

9.(2021?上海高一單元測試)將函數/(x)=2sin2x的圖象向右平移9(0＜夕＜〃)個

單位后得到函數g(x)的圖象，若對滿足|/(xj-g(x2)|=4的%、々，有歸一引的最小

冗

值為=，則夕=______.

6

【答案】g或尋

33

【分析】先求解g(x)的解析式，根據|/(西)一8(/)|=4可知一個取得最大值一個是最小

值，不妨設/(石)取得最大值，g(w)取得最小值，結合三角函數的性質|石-々|的最小

兀

值為高，即可求解夕的值：

6

【詳解】山函數〃x)=2sin2x的圖象向右平移。，可得g(x)=2sin(2x—20)

不妨設/(石)取得最大值，g(￡)取得最小值，

式3乃

2%|=—+2kjr,2x1—2(p―—F2k.兀,keZ.

可得2(菁_9)+20="

-xj的最小值為g,即％-馬=±g.

66

,71八

/.±一+2/=冗

,口冗42乃

得/=二或丁

33

故答案為王或多.

【點睛】本題主要考查由函數y=Asin(@x+>)的解析式，函數y=Asin(&)x+。)的圖

象變換規律，屬于中檔題.

10.(2021?上海高一單元測試)已知函數

/(x)=5sin(2x—弓，xe[O,5句，若函數尸(x)=/(x)—3的所有零點依次

記為王,尤2，芻，…，X"且玉<七<…<X"T<X"，riGN：若

83

玉+2x2+2X34---F2玉―2+2%7+xn=—7t,則。=.

【答案】]71

rrn0K7E

【詳解】由題意，令2x—。=2+攵肛左eZ,解得■#eZ.

2422

?.?函數/(x)的最小正周期為7=夸=萬，，x?O,5句

當％=0時，可得第一個對稱軸8=工+且，當4=9時，可得x="工+’<5".

4242

函數/(x)在[0,5句上有9條對稱軸

根據正弦函數的圖象與性質可知：函數/(x)=5sin(2x-6)與y=3的交點有9個點，即

“十7te、”十3乃6,c,n6、

玉，工2關卜尤=不+,對稱，12，工3關于X="^+萬"對不小，…，即X]+元2=2x(W+5),

c3nc,17冗。\

x2+x3=2x(—+-),…，xn_]+xn=2x(-^—+—).

cccc83

%1+2%2+2/+???+2X〃_2+2x〃_]+Xn=71

.、尸e3九。177r0.83〃

..2x(—H--+—+—+…+---+—)=----

4242422

?“十

71

故答案為《.

點睛：本題考查了三角函數的零點問題，三角函數的考查重點是性質的考查，比如周期

性，單調性，對稱性等，處理抽象的性質最好的方法結合函數的圖象，本題解答的關鍵是

根據對稱性找到七1與五的數量關系，本題有一個易錯點是，會算錯定義域內的交點的個

數，這就需結合對稱軸和數列的相關知識，防止出錯.

11.(2020?上海市復興高級中學高三期中)已知3，B，"是非零向量，|￡-4=26，

(c-?)(c-ft)=-2,X為任意實數，當￡-3與￡的夾角為?時，評砌的最小值是

【答案】；

【分析】設方=￡，而="PC=C'c(x,y),利用口一4=26可以設4卜6,0)

8(60)利用僅一￡)?伍詞=—2即可求出點0的軌跡為單位圓，p—砌=附+4司,

|c-A?|的最小值是點C到直線PA的距離，從而求得答案.

【詳解】設方=￡,PB=b-PC=c^。(羽丁)

因為歸一］=|百一麗卜|祠=26,

y

A（->/3,0）,8（石,0）,

因為￡-石與￡的夾角為?，所以麗與兩夾角為工，所以N5AP=（,

所以|oR=|Q4|tan60'=3,所以P（-3,0）,

因為傳_@}k_石）=_2得：所AC-BC=（無+g,y）?（x_b,y）=%2+y2_3=_2,

所以f+y2=i,所以點。的軌跡為單位圓，

|c-Aa|=|PC-APA|=|PC+AAP|

所以苗-/1￡|的最小值是點C到直線PA的距離.

過點。作O”_LP4于點H,交單位圓于點G，

所以力”=色咽=回也，

△A"，22

即典2=叵兩。叫,解得：|。〃|=3,

222

Q1

所以口_之@=\GH\^\OH\-\OG\=^-l=~,

故答案為：；

【點睛】本題主要考查了向量模的幾何意義，運用坐標法可以使向量問題更簡單，屬于難

題.

12.（2020?上海市實驗學校高二期中）在AABC中，BD^^DC,荏=麗，點尸

為△AOC內（包括邊界）任意一點，若麗=/1而+〃而，則4-2〃的取值范圍為

【答案】[-8,-1]

【分析】記麗=—2西，可得出喬=4麗—2〃方，設直線EF交BG于點N,設

_______EF\

EN=mEB+tiEG，證明出加+〃=1,設EF=&EN，可得出九一2〃=%=—扁，

一\E局P\'求出局\EP的\最大值和

然后過點F作BG的平行線交CE于點P,進而得出攵

最小值，進而可得出久-2幺的取值范圍.

【詳解】記而=一2而，從而麗=4麗+〃麗=4而一2M的,

在直線BG上任取一點N,設麗=加麗+〃旃，

由于麗〃的，則存在實數x,使得麗=》的，即麗一麗=x（函一函）,

:.EN=（l-x）EB+xEG=niEB+nEG,則m+n=\—x+x=l,

設直線EE交直線BG于點N,過點F作直線BG的平行線交直線CE于點P,

\EF\\EP\____

則標彳=向4，設EF=kEN，^\EP=kEM.

且彷=%函=4（加麗+〃的），EpAEB-2/JEG=kmEB+knEG,

___uuui4—kin.、

由于麗、EG不共線，則〈八,，:.九一2jLi=km+kn=k（m+n）=k,

—2〃=kn

一_.7\EP\

由于EP與.EM方向相反，則k<0且％=

\EM\

過點A作宜線BG的平行線交CE于點Q，

\EP\|EP||E4|

當點尸與點。重合時，此時局取得最小值，此時局=局

=1，即Amax=T

\EP\

當點尸與點。重合時，此時閾取得最大值,

設直線AQ交于點5,直線AQ交。G于點T，

易證AAET三ABEG,可得|EG|=|,

,ED=-2EG＞可得|七。|=2|￡6|=2|￡71,所以，T為線段ED的中點,

\DS\_\DT\_1

-.AS//BG,\BD\~\DG\~3

?.?麗=；嵐，則|￡>C|=2忸=6|D5|,

取的中點U，連接UE,則UE〃AS，且忸U|=；忸必，從而依。|=8忸

幽幽

vAS//BG,則EU〃BG,所以,

\EM\\BU\

\EP\

所以’后的最大值為8,即端=.

綜上所述，4-2〃的取值范圍是卜8,—1].

故答案為：[-

【點睛】本題考查利用平面向量的基本定理求含參代數式的取值范圍，考查了等和線性質

的應用，考查數形結合思想以及計算能力，屬于難題.

13.（2020?上海浦東新區?華師大二附中高二月考）已知點。在以。為圓心的圓弧A3

2—.—.—.

上運動，且NA08=§萬，若OC=xQ4+yO3,則2x+3y的取值范圍為.

【答案】[2,2咨]

【分析】設刀為直角坐標系的X軸，建立平面直角坐標系.記反與函夾角為

0\0<0<^\,求出三個向量坐標,進而利用同角三角函數的平方關系,可得到

2x+3y=Z字sin（。+夕）（其中tane=乎），結合三角函數的圖象和性質，可得答案.

【詳解】設方為直角坐標系的x軸,建立平面直角坐標系如下圖所示，記說與礪夾角

為《0"嚀）

則反=(cose,sin。),函=(1,0),礪=,代入4=》礪+)，而，有

<227

(y百/

(cos0,sin0)=(x,0)+,——-,

I22J

.ya上y.Q.百?c,a26.aI1

??x--=cost/,———=sin6/，??x=——sin6/+cost/,y=----sine/?U

2233

2尤+3y=2^7sin(6+e)(其中tan(p=

),

0?。4—°?。+°S-^-+°,而sin(p=，sin[0+2萬)3757V57

->-

338lF'

當6+0=工時，2x+3y取最大值宜豆，當6+。=。，即。=0時，2x+3y取最小值

23

2,

2x+3y的取值范圍為［2,

【點睛】本題考查向量的線性關系,運用三角函數的恒等變換和性質求最值,關鍵在于建立

合適的平面直角坐標系,將所求的式子轉化為關于角的三角函數,屬于中檔題.

14.(2019?上海市建平中學高二期中)設復數4=-l—i,Z2=3+3i,若

z=&sin6+i(亞cos6+2),6wR,則|z-zj+|z—的最小值為.

【答案】4&

【分析】根據題意，將|z-zj+|z-z2|轉化為兩點間的距離公式,求得動點的軌跡方程,可

知動點的軌跡為一個圓.再由點到直線距離公式可判定圓與兩個定點形成的直線相切，進而

可知兩點間距離即為|z-zJ+|z-Z2|的最小值.

【詳解】因為4=一1一八Z2=3+3i,z=0sin9+i(J^cos9+2)

則|z-zj+jz—z2]

=|(&sine+l)+(亞cos6+3)+sin6-3)+(痣cos。一1計

=J(瓜ne+iy+(0cos8+3『+J(&sin夕一3『+(夜cos8-

設4(—1,—3),8(3,1),P(夜sin。,及cos。)，OeR,

由參數方程可知,動點P的軌跡方程為/+V=2

所以上一馬|+,一22|表示點A與點B到圓V+y2=2上任意一點的距離之和

設直線A6的方程為y=依+/代入4(-1,一3),B(3,l)可得

-4=-"+hk=T

1=35'解方程可得

0=—2

所以直線A3的方程為x-y-2=0

|-2|p-

圓心(0,0)到直線A8的距離為d=-J===V2

因為d=r=5/2

所以直線AB與圓相切，設切點為M

則當P與M重合時，|AP|+忸P|取得最小值

所以（卜-小2-22%="+忸”=/

=7（3+1）2+（1+3）2=472

故答案為4夜

【點睛】本題考查了復數的幾何意義，將模長轉化為兩點間距離公式,利用數形結合的思想

解決最短距離，屬于中檔題.

15.（2020?全國高一課時練習）（后一if“、.

【答案】-2237（l+6i）

【分析】利用（"+1丫=8,（行1）（6二）（后-1）］.即得解.

【詳解】/_「/1）（盤）（61）『:盧即"）

''V3i-1V3i-1（V3i-l）（V3i+l）

二巴等U叫+網

故答案為：—2237（1+

【點睛】本題考查了復數的事指數運算，考查了學生轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于

中檔題.

三、解答題

16.（2021?上海高一單元測試）用a,Ac分別表示AA6c的三個內角A3,C所對邊的邊

長，R表示AABC的外接圓半徑.

（1）A=2,a=2,B=45。，求A3的長；

（2）在AAbC中，若NC是鈍角，求證：a2+b2<4/?2;

（3）給定三個正實數其中hVa,問滿足怎樣的關系時?，以。功為邊長，

R為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？

在△MC存在的情況下，用a,"A表示

【答案】（1）c=娓+近（2）見解析（3）見解析

【分析】（1）先根據正弦定理得力，再根據余弦定理求A8的長；

（2）先根據余弦定理得M+kcc?,再根據正弦定理放縮證明結果；

（3）先根據正弦定理討論三角形解的個數，再根據余弦定理求仁

【詳解】（1）由正弦定理得人=2/?sin8=2x2x注=2&

2

所以/=a2+c2-2accos—8=4+c2-2\/2c/.c-V6+y/2（負舍）;

4

（2）因為。2+。2一。2=2a〃cosC，NC是鈍角，

所以〃+。2一。2<。.癥+/<c2=（2RsinC）2<（2R）2=4R2

22

因此/+b<4/?；

（3）當時，AABC不存在，

當a>2R>。時，AABC不存在，

當a=2R>。時，存在一個△ABC，此時A=工,c=二P'

2

當2A>a=b時，存在一個△ABC，

此時c=2acosB=2aV1-sin2B=2tzjl-=2ajl一，

當2R>a>b時，存在兩個△ABC，

cosC=一cos（A+3）=sinAsin8-cosAcosB

當A為銳角時，

cosC=sinAsin8-Jl-sin2Ajl-sin2B=———

2R2RV4/?2V4H2

r-27~2,77I212n>—y]4R"—(2~yl4/?"—b'

c=\a~+b'-labcosC=da2+b~-lab-------------------------------

\4R2

=]?①砌"-J4H2-a力4R2_白]

-v+2F

當A為鈍角時,

cosC-sinAsinB+Jl-sin?/ijl-sin?Bahf

2R2R+yl一幫1-4F

I~2~2~~~I2ic,ab+74R--a~\J4-R~—h~

c=\a"+h"-labcosC=Ja-+-lab------------；---------

V4R2

(2?、ab[ab+d4R2-7“心—H]

=V+市

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理及其應用，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難

題.

17.(2021?上海高一專題練習)對于定義域為"的函數y=/(x),部分x與>的對應關

系如表：

X-2-1012345

y02320-102

(1)求/｛/[/(O)]｝：

(2)數列｛玉｝滿足玉=2,且對任意〃wN*，點(x“,X"+i)都在函數y=/(x)的圖象

上，求玉+々+巧+....+七”

(3)若y=/(%)=Asin(0x+0)+h,其中24>0,0</<肛0<0<乃,0<人<3,求此

函數的解析式，并求/(1)+/(2)+???+f(3n)(neN*).

【答案】(1)2；(2)4〃；(3)見解析

【分析】(1)由內往外計算即可；

(2)由已知，通過計算易得數列｛玉｝是以4為周期的周期數列，先計算％+々+%+匕

的值，利用玉+電+x3+.......+x4ll=n(%+々+W+X4)即可得到答案；

(3)代入表中數據即可得到y=/(x)的解析式，再分〃為奇數、偶數討論求和即司;

【詳解】(1)由表中數據可得/｛/"(0)]｝=/(/(3))=/(-1)=2.

(2)玉=2,由于x“+|=/'(無“)，則々=/(%)=/(2)=0,七=/(工2)=/(0)=3,

%4=/(工3)=/(3)=-1,%5=/'(匕)=/'(-1)=2,所以玉=毛，…，依次遞推可得數列

卜“｝的周期為4,又玉+X2+X3+X4=4,所以玉+々+￡+....+.,=4〃.

/(-I)=2

/⑴=2

(3)山題意得《，山/(-1)=/'(I),得sin(<w+°)=sin(-<y+Q),即

/(0)=3

/(2)=0

sin(ycos^=0,又0＜啰(不，則sin。。。，從而cose=0,而0＜。＜萬，所以

f(0)=A+b=3

Acosco+3-A=2

(p=—,故，/(2)=Acos2a)+b=0,消b,得，

2A(2cos2<y-l)+3-A=0

f(i)-Acosa)+h-2

所以2A2-4A+2-2A2+3A=0,解得A=2,6=l,cos<y=！，又0<。<乃,

2

兀jrjrjr

所以<y=§,所以/(x)=2sin(y%+—)+1=2cosyx+l,

此函數有最小正周期6,且/(6)=/(0)=3,

/(D+/(2)+”3)+/(4)+/(5)+/(6)=6,

當〃=2左，左eN*時，/(I)+/(2)+-??+/(3n)=

/(l)+/(2)+L+/(6^)=^[/(l)+/(2)+L+/(6)]=6Z=3〃；

當〃=2%—1,左eN*時，/(1)+/(2)4-----1-f(3n)=

/(D+/(2)+L+f(6k)-f(6k-2)-f(6k-1)-f(6k)=M/(l)+/(2)+L+/(6)]-5

=6k-5=3”-2.

【點睛】本題考查三角函數與數列的綜合應用，涉及到求三角函數的解析式、周期數列的

和，是一道中檔題.

18.(2021?上海高一單元測試)設函數

f(x)=5cos8sinx—5sin(x-6)+(4tan8—3)sinx-5sin8為偶函數.

(1)求tan。的值：

(2)若/(x)的最小值為-6,求Ax)的最大值及此時x的取值；

(3)在(2)的條件下，設函數g(x)=X/(s)-/+其中2＞0,0＞0.已知

y=g(x)在x=￡處取得最小值并且點(竺,3-3/l]是其圖象的一個對稱中心，試求

2+。的最小值.

3

【答案】(1)-；(2)最大值為0,此時x的取值為x=2br,左@Z；(3)6+7

4

【分析】(1)根據/(幻是偶函數，轉化為(4tan6—3)sinx=0對一切xeR恒成立求

解.

(2)由(1)得到/(x)=5sin(9(cosx-l),根據/(x)最小值為一6，則cosx=-l，

3

得到sin，=],然后再求最大值.

TT

(3)由(2)得到g(x)=3/lcos<yx-3>l+3sin0x+3，根據8(%)在*="處取最小

6

值，點(與’3-3九)是其圖象的一個對稱中心，，由8(-?)=8(^]=3-3;1求解.

【詳解】

(1)因為/(x)=5cosxsine+(4tan8-3)sinx-5sine,f(x)是偶函數,

所以(4tan(9-3)sinx=0對一切xeR恒成立，

3

所以tan6=—.

4

(2)由(1)知/(x)=5sin6(cos尤-1),

因為其最小值為-6,

3

所以sin^=—,cosx=-l,

所以/(x)=3(cosx-1),

當8sx=1時，f(x)取得最大值0,此時x=2匕T,ZGZ；

(3)由⑵知：g(X)=/l/(3X)-/(3X+J|)，

=32cos3/1-3cosa>x+—+3,

I2

=3Acosiox+3sin+3-3/1,

TT-^-,3-321是其圖象的一個對稱中心,

因為g(x)在冗=二處取最小值，目一點

6

cc23nc.2(071八

32cos------b3sm-------=0,

33

4,CO7T,10)71,(.2Gt,,0)71,2(071

所以％=tan----=-tan------=tanKTT-------,則-----=k兀--------,

33I3J33

即<y=A(kGZ),

又因為1>0,。>0,

所以/tan等…年=60=3/-2(/eN*),

當G=1時,^(x)=3>/3cosx+3sinx+3-373=6sinx+—1+3-3石,

g(§=6sin仁+(卜3-36=9一3百，g。)在片高處取得最大值，不符合題意;

當勿=4時，g(x)=3百cos4x+3sin4x+3-3百=6sin(4x+q)+3-3省,

g(令=6sin[4x^+q)+3-30=3-3月，g(x)在x=^■取不到最小值,，不符合

題意；

當①=7時，g(x)=3百cos7x+3sin7x+3-3\/^=6sin(7x+^)+3—3百,

^(^-)=6sin^7x^4-yj+3-3V3=-3-3>/3,g(x)在工=7處取得最小值，

g(-^-)=6sin(7x?-+1]+3-36二3-3百,g(x)的圖象關于點(羊,3-36)中

心對稱，

所以4+G的最小值為y/3+7.

【點睛】本題主要考查三角函數性質的綜合應用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.

1T

19.（2020?徐匯區?上海中學高二期中）如圖，Z.xOy=—,定義平面坐標系為仿

射坐標系，在該仿射坐標系中，任意一點P的斜坐標這樣定義：［、或分別為與x軸、y

umiuLI

軸正方向同向的單位向量，若。P=xq+ye?。/eR），則規定點P的斜坐標為（x,y）.

（1）求以。為圓心，半徑為1的圓在該仿射坐標系中的方程；

（2）已知點A的斜坐標為（1,2）,點8的斜坐標為（—2,0）,求直線AB在該仿射坐標系中

的方程.

【答案】（1）x2+y2+xy-\=0；（2）2x—3y+4=0

【分析】（1）先設出直角坐標卜沿％軸，V軸的方向向量，再根據仿射坐標系的定義，寫

出OP.轉化為直角坐標，并利用坐標變換以及圓在直角坐標下的方程即可求出；

（2）利用向量共線即可求出.

【詳解】解：（1）設在直角坐標系下，沿x軸，V軸的方向向量分別為

7T

又???在仿射坐標系中，ZxOy=-f

3

e、=i,e2

22

又?.?OP=