單元質檢卷十概率、隨機變量及其分布(時間:100分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事務是()A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”2.袋中裝有5個大小相同的球,其中有2個白球,2個黑球,1個紅球,現從袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有兩種不同顏色的球時即終止,用X表示終止取球時所需的取球次數,則隨機變量X的數學期望E(X)是()A.115 B.125 C.1353.一試驗田某種作物一株生長果實個數x聽從正態分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,從試驗田中隨機抽取10株,果實個數在[90,110]的株數記作隨機變量X,且X聽從二項分布,則X的方差為()A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.214.有朋自遠方來,他乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,他乘坐上述四種交通工具遲到的概率依次分別為0.25,0.3,0.1,0.則他遲到的概率為()A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.05.8張卡片上分別寫有數字1、2、3、4、5、6、7、8,從中隨機取出2張,記事務A=“所取2張卡片上的數字之和為偶數”,事務B=“所取2張卡片上的數字之和小于9”,則P(B|A)=()A.16 B.13 C.126.(2024湖北襄陽高三檢測)排球競賽的規則是5局3勝制(無平局),在某次排球競賽中,甲隊在每局競賽中獲勝的概率都相等,均為23,前2局中乙隊以2∶0領先,則最終乙隊獲勝的概率是(A.49 B.1927 C.11277.寫算,是一種格子乘法,也是筆算乘法的一種,用以區分籌算與珠算,它由明代數學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出,是從天元式的乘法演化而來.例如計算89×65,將被乘數89計入上行,乘數65計入右行.然后以乘數65的每位數字乘被乘數89的每位數字,將結果計入相應的格子中,最終從右下方起先按斜行加起來,滿十向上斜行進一,如圖,即得5785.類比此法畫出648×345的表格,若從表內(表周邊數據不算在內)任取一數,則恰取到奇數的概率是()A.518 B.13 C.13188.(2024浙江寧波六校聯考,5)設隨機變量X的分布列如下:X0123P0.1a0.30.4則方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.3二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事務;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務,則下列結論中正確的是()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事務B與事務A1相互獨立D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事務10.設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿意Y=2X+1,則下列結果正確的有()A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.211.近年來中國進入一個鮮花消費的增長期,某農戶利用精準扶貧政策,貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別聽從正態分布N(μ,302)和N(280,402),則下列選項正確的是()附:若隨機變量X聽從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在[μ-30,280]的概率是0.6827,則紅玫瑰日銷售量的平均數約為250B.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中C.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在[280,320]的概率約為0.3413512.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球,給出下列結論,其中正確的命題有()A.從中任取3球,恰有一個白球的概率是3B.從中有放回地取球6次,每次任取一球,恰好有兩次白球的概率為80C.現從中不放回的取球2次,每次任取1球,則在第一次取到紅球后,其次次再次取到紅球的概率為2D.從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到紅球的概率為26三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024江西南昌模擬)輥子是客家傳統農具,南方農夫犁開田地后,仍有大的土塊.農人便用六片葉齒組成輥軸,兩側裝上木板,人跨開兩腳站立,既能駕馭平衡,又能增加重量,讓牛拉動輥軸前進,壓碎土塊,以利于耕種.這六片葉齒又對應著菩薩六度,即布施、持戒、忍辱、精進、禪定與般若.若甲、乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機取一片,則這兩人選的葉齒對應的“度”相同的概率為.

14.隨機變量ξ的分布列如下表:ξ-101P1ab若E(ξ)=0,則D(ξ)=.

15.甲、乙、丙三位學生用計算機聯網學習數學,每天上課后獨立完成6道自我檢測題,甲及格的概率為45,乙及格的概率為35,丙及格的概率為710,三人各答一次,則三人中只有一人及格的概率為16.拋一枚質地勻稱的硬幣,正、反面出現的概率都是12,反復這樣的拋擲,數列{an}定義如下:an=1(第n次拋擲出現正面),-1(第n次拋擲出現反面),若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),則事務“S8=2”的概率為;事務“S四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在某親子嬉戲結束時有一項抽獎活動,抽獎規則是:盒子里面共有4個小球,小球上分別寫有0,1,2,3的數字,小球除數字外其他完全相同,每對親子中,家長先從盒子中取出一個小球,登記數字后將小球放回,孩子再從盒子中取出一個小球,登記小球上數字將小球放回.抽獎活動的嘉獎規則是:①若取出的兩個小球上數字之積大于4,則嘉獎飛機玩具一個;②若取出的兩個小球上數字之積在區間[1,4]上,則嘉獎汽車玩具一個;③若取出的兩個小球上數字之積小于1,則嘉獎飲料一瓶.(1)求每對親子獲得飛機玩具的概率.(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率,哪個更大?請說明理由.18.(12分)在中學生綜合素養評價某個維度的測評中,分優秀、合格、尚待改進三個等級進行學生互評.某校高一年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對該維度測評結果的影響,采納分層隨機抽樣方法從高一年級抽取了45名學生的測評結果,并作出頻數統計表如下:表一:男生男生等級優秀合格尚待改進頻數15x5表二:女生女生等級優秀合格尚待改進頻數153y(1)求x,y的值;(2)從表一、表二中全部尚待改進的學生中隨機抽取3人進行交談,記其中抽取的女生人數為X,求隨機變量X的分布列及均值;(3)由表中統計數據填寫下列2×2列聯表,依據α=0.1的獨立性檢驗,能否認為測評結果優秀與性別有關聯.測評結果男生女生總計優秀非優秀總計45參考公式:χ2=n(ad-bc參考數據:α0.100.050.01xα2.7063.8416.63519.(12分)某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續航里程數”,收集了運用該型號電動汽車1年以上的部分客戶的相關數據,得到他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”.從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組,從年齡在40歲(含40歲)以上的客戶中抽取10位歸為B組,將他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”整理成下圖,其中“+”表示A組的客戶,“☉”表示B組的客戶.注:“實際平均續航里程數”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數的比值.(1)記A,B兩組客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”的平均值分別為m,n,依據圖中數據,試比較m,n的大小(結論不要求證明);(2)從A,B兩組客戶中隨機抽取2位,求其中至少有一位是A組的客戶的概率;(3)假如客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”,從A,B兩組客戶中,各隨機抽取1位,記“駕駛達人”的人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列及其數學期望E(ξ).20.(12分)交強險是車主必需為機動車購買的險種,若一般6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統一為a元,在下一年續保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發生道路交通事故的狀況相聯系,發生交通事故的次數越多,費率就越高,詳細浮動狀況如表:交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了解某一品牌一般6座以下私家車的投保狀況,隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的狀況,統計如下表:類型A1A2A3A4A5A6數量201010302010以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:(1)依據我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規定,a=950(元),記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續保時的費用,求X的分布列與數學期望.(2)某二手車銷售商特地銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車,假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元.①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求該銷售商獲得利潤的期望值.21.(12分)某公司年會實行抽獎活動,每位員工均有一次抽獎機會.活動規則如下:一只盒子里裝有大小相同的6個小球,其中3個白球,2個紅球,1個黑球,抽獎時從中依次摸出3個小球.若所得的小球同色,則獲得一等獎,獎金為300元;若所得的小球顏色互不相同,則獲得二等獎,獎金為200元;若所得的小球恰有2個同色,則獲得三等獎,獎金為100元.(1)求小張在這次活動中獲得的獎金數X的分布列及數學期望;(2)若每個人獲獎與否互不影響,求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率.22.(12分)某市為了制定扶貧戰略,統計了全市1000戶農村貧困家庭的年純收入,并繪制了如下頻率分布直方圖:(1)若這1000戶家庭中,家庭年純收入不低于5千元,且不超過7千元的戶數為40戶,請補全頻率分布圖,并求出這1000戶家庭的年純收入的平均值x(同一組數據用該組數據區間的中點值表示);(2)由頻率分布直方圖,可以認為這1000戶的家庭年純收入X聽從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為年純收入的平均值x,σ2近似為樣本方差,經計算知σ2=9.26;設該市的脫貧標準為家庭年純收入為x千元(即家庭年純收入不低于x千元,則該戶家庭實現脫貧,否則未能脫貧),若依據此正態分布估計,這1000戶家庭中有841.35戶家庭實現脫貧,試求該市的脫貧標準x;(3)若該市為了加大扶貧力度,擬投入一筆資金,幫助未脫貧家庭脫貧,脫貧家庭鞏固脫貧成果,真正做到“全面小康路上一個也不能少”,方案如下:對家庭年純收入不超過5.92千元的家庭每戶家庭賜予扶持資金15千元,對家庭年純收入超過5.92千元,但不超過8.96千元的家庭每戶家庭賜予扶持資金12千元,對家庭年純收入超過8.96千元,但不超過15.04千元的家庭每戶家庭賜予扶持資金8千元,對家庭年純收入超過15.04千元的家庭不予以資金扶持,設Y為每戶家庭獲得的扶持資金,求E(Y)(結果精確到0.001).附:若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,9.26≈3.參考答案單元質檢卷十概率、隨機變量及其分布1.CA,B中的兩個事務都不是互斥事務;C中的兩個事務是互斥而不對立的兩個事務;D中的兩個事務是對立事務.2.AX的可能取值為2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴E(3.B∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,∴P(x>110)=0.2,∴P(90≤x≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差為10×0.3×(1-0.3)=2.1.故選B.4.C設事務A1為“他乘火車來”,A2為“他乘船來”,A3為“他乘汽車來”,A4為“他乘飛機來”,B為“他遲到”.易見A1,A2,A3,A4構成一個完備事務組,由全概率公式得P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=05.C事務AB為“所取2張卡片上的數字之和為小于9的偶數”,以(a,b)為一個樣本點,則事務AB包含的樣本點有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6個,由古典概型的概率公式可得P(AB)=6C82=314,事務A為“所取2張卡片上的數字之和為偶數”,則所取的兩個數全是奇數或全是偶數,由古典概型的概率公式可得P(A)=2C42C82=6.B最終乙隊獲勝事務含3種狀況:第三局乙勝,其概率為13;第三局甲勝,第四局乙勝,其概率為23×13=29;第三局和第四局都是甲勝7.A依據題意,結合范例畫出648×345的表格,從表格中可以看出,共有18個數,其中奇數有5個,所以從表內任取一數,恰取到奇數的概率為P=58.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故選B.9.BD易見A1,A2,A3是兩兩互斥的事務,故D正確,P(B|A1)=511,故B正確P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,10.ACD因為q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確;因為Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.11.ACD對于選項A,μ+30=280,μ=250,正確;對于選項B,C,利用σ越小越集中,30小于40,B不正確,C正確;對于選項D,由于白玫瑰的日銷量X聽從正態分布N(280,402),所以P(280≤X≤320)≈0.6827×12=0.34135,12.ABD選項A,從中任取3球,恰有一個白球的概率是C42C21C63=35,故正確;選項B,從中有放回的取球6次,每次任取一球,每次抽到白球的概率為26=13,則恰好有兩次白球的概率為C62×234×132=80243,故正確;選項C,現從中不放回的取球2次,每次任取1球13.16記布施,持戒,忍辱,精進,禪定,般若分別為a,b,c,d,e,f,則樣本點有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f),共36個,其中符合條件的有6個,故所求概率14.12∵E(ξ)=0,由表中數據可知E(ξ)=(-1)×14+0×a+1×b=0,解得b=14.又14+a+b=1,∴a=12.所以D(ξ)=(-1-0)2×15.47250因為甲及格的概率為45,乙及格的概率為35,丙及格的概率為710,所以僅甲及格的概率為45×1-35×1-710=24250;僅乙及格的概率為1-45×35×1-710=9250;僅丙及格的概率為1-45×116.73213128事務S8=2表示反復拋擲8次硬幣,其中出現正面的次數是5次.其概率P=C85125·123=732.事務“S2≠0,S8=2”表示前兩次全正或全負,則概率為17.解(1)樣本點總數有16個,分別為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),記“獲得飛機玩具”為事務A,則事務A包含的樣本點有3個,分別為(2,3),(3,2),(3,3),∴每對親子獲得飛機玩具的概率p=3(2)記“獲得汽車玩具”為事務B,“獲得飲料”為事務C,事務B包含的樣本點有6個,分別為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),∴每對親子獲得汽車玩具的概率P(B)=616=38,每對親子獲得飲料的概率P(C)=1-P(A)-P(B)=718.解(1)設從高一年級男生中抽取m人,則m500=45500+400,解得m=25,則從女生中抽取20人,所以x=25-15-5=5,y=20-15-(2)表一、表二中全部尚待改進的學生共7人,其中女生有2人,則X的全部可能的取值為0,1,2.P(X=0)=C53C73=1035=27,P(則隨機變量X的分布列為X012P241所以X的均值E(X)=27×0+47×1+(3)2×2列聯表如下:測評結果男生女生總計優秀151530非優秀10515總計252045零假設為H0:測評結果優秀與性別無關聯.χ2=45×(15×5-15×10)230×15×25×20=45×152×5230×15×25×19.解(1)m<n.(2)設“從抽取的20位客戶中隨意抽取2位,至少有一位是A組的客戶”為事務M,則P(M)=C101C101+C102C(3)依題意ξ的可能取值為0,1,2.則P(ξ=0)=C9P(ξ=1)=C1P(ξ=2)=C所以隨機變量ξ的分布列為ξ012P18131所以隨機變量ξ的數學期望E(ξ)=0×1825+1×1350+2×150=320.解(1)由題意可知,X的可能取值為0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,由統計數據可知:P(X=0.9a)=15,P(X=0.8a)=110,P(X=0.7a)=110,P(X=a)=310,P(X=1.1a)=15,P(X=1.3∴X的分布列為X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP111311∴E(X)=0.9a×15+0.8a×110+0.7a×110+a×310+1.1a×1(2)①由統計數據可知隨意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為310,三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=C3031001-3103+C3131011-3102②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤,Y的可能取值為-5000,10000,P(Y=-5000)=310,P(Y=10000)=710,∴Y-500010000P37E(Y)=-5000×310+10000×710=5500.∴該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100E(Y)=550000(元)=21.解(1)小張在這次活動中獲得的獎金數X的全部可能取值為100,200,300.P(X=300)=C3P(X=200)=C3P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+4