波動教學基本要求一、掌握描述簡諧波的物理量及各量之間關系；二、理解機械波產生的條件及波函數的物理意義；四、了解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念；三、掌握由諧振動方程求平面簡諧波波函數的方法；六、了解駐波、多普勒效應；五、理解惠更斯原理、疊加原理及波的干涉現象；一、機械波的產生1.機械波：機械振動在彈性介質中的傳播；注意：c.波動：運動狀態的傳播，介質質點不隨波傳播；2.振源：引起波動的初始振動物體；a.機械波的物質基礎：波源、彈性介質；b.波動：振動的傳播；振動：激發波動的波源；10.1機械波的產生機械振動在彈性介質中的傳播機械波；交變電磁場在空間的傳播（無需介質）電磁波；d.機械波與電磁波：1.兩類波的不同：2.波動的共同特征：傳播能量、反射、折射、干涉、衍射；1.橫波：介質質點振動方向與波傳播的方向垂直；特征：具有波峰、波谷區域，僅在固體中傳播；2.縱波：介質質點振動方向與波傳播的方向平行；特征：具有稀疏、稠密區域，氣、液、固體中傳播；例：水平繩子中的橫波；例：空氣中的聲波；二、橫波與縱波（機械波的分類）最基本的機械波：橫波，縱波；三、波線波面1.波線：沿波轉播方向的射線；2.波面：介質中振動相位相同點的軌跡；3.波前：最前面的波面；對波動的幾何描述；注意：a.波線、波面等概念是對波動的幾何描述；

b.在各向同性介質中，波線與波面正交；*球面波平面波波前波面波線OyAA-2.波長

：波動在一個周期內前進的距離；3.周期

：波動前進一個波長距離所需時間；1.波速：波在介質中的傳播速度

，大小由介質決定；10.2波速波長波的周期b.周期決定于波源，波速決定于介質！(1)a.兩個關系式：(2)4.頻率

：單位時間內波動傳播完整波的數目；(3)5.波速與介質的關系：液、氣體橫波固體縱波切變模量彈性模量體積模量其中為介質密度；聲音的傳播速度：1.為何狗在夜間特別警覺？2.用耳朵貼近鐵軌發現敵火車的原因？問題與思考：空氣，常溫；左右，混凝土；左右，低碳鋼；例題

10.2.1

可聞聲波的頻率范圍為20～20000HZ，常溫下空氣中的聲速為

，試求可聞聲波的波長范圍。解：分析由

可得

，于是有：結論：1.同一介質中，波長與頻率成反比；

2.常溫下空氣中可聞聲波波長范圍0.0167m～16.7m。一、平面簡諧波思路：首先導出簡諧波的波函數，然后詳細討論；注意導出過程：1.解決此類問題的一種途徑；

2.有益于波動問題的理解；1.簡諧波：諧振動在介質中傳播形成的波，最簡單、最基本。復雜波動可由不同頻率簡諧波疊加而成；P*O2.設簡諧波以速度u沿x軸正向傳播，y軸表示x軸上各質點的振動位移；10.3平面簡諧波的波函數各質點相對平衡位置位移波線上各質點平衡位置波函數：介質中坐標為x的質點相對其平衡位置的位移y隨t的變化關系稱為波函數；沿x軸正向傳播簡諧波的表達式可寫為：(1)設：平面簡諧波以速度u沿x軸正向傳播；時間推遲法；波源：設位于原點O的質點作初相為零的諧振動；問題：由于該質點的振動及彈性介質，使x軸上其它質點產生振動，它們的振動方程如何？導出簡諧波的波函數：(2)振動方程：二、平面簡諧波波函數的建立即點P的振動相位落后O點：(3)(4)選擇x軸上距波源O點為x

的P點作為研究象，當振動傳到P點時，該質點以相同的振幅、頻率重復O點振動，但時間上落后：于是點P

的振動可表示為：P點是任選的，故上式對x軸上任意一點均成立：故得沿x軸正向傳播的平面簡諧波波函數：(5)(6)點O

振動方程：O若原點初相不為零：則對應波函數：沿軸正向；

(7)沿

軸負向；(8)波動方程的其它形式：質點的振動速度、加速度：(11)(9)(10)(12)例題10.3.1設平面簡諧波的波函數為：試求波的振幅、波長、周期及波速。解：分析將波函數寫成標準形式對比可得結果：

上式為所求波函數。例題

10.3.2設有平面簡諧波沿

軸正方向傳播，其波長為0.2m，原點處質點振動方程為

試求此平面簡諧波的波函數。解：分析由時間推遲法=相位落后法可解，處質點落后原點處質點的振動相位是，故

點處的質點振動方程為：三.波函數的物理意義1.令x

固定：波函數為y=y(t)，描述距原點x處質點的諧振動，y為該質點距其平衡位置的位移，此時y=y(t)是該質點的諧振動方程，給出該點與O點振源振動的相位差：進一步討論波函數以加深理解：2.令一定：波函數y=y(x)，描述t時刻距原點不同處x軸上所有質點諧振動的位移分布情況。表示t時刻波線上各質點相對其平衡位置的位移，即此刻的波形圖：O例題

10.3.3設平面簡諧波沿

軸負方向傳播,波速，時的波形如圖所示，試求此平面簡諧波的波函數。解：分析可由標準波函數及圖示出發求解。由題意設所求為：由圖示可得：坐標原點處置點振動的初相由旋轉矢量法可求：24故平面簡諧波的波函數為：由，即原點處質點的位移為2，代入波函數得：由旋轉矢量法知，原點處質點沿軸正向運動，故得到：例題10.3.4設平面簡諧波沿軸正方向傳播，波長，已知坐標原點處質點的振動曲線如圖10.7所示，試求：(1)原點處質點的振動方程；(2)波函數的表達式；(3)畫出t=1s時刻的波形曲線。解:(1)設坐標原點處質點的振動方程為:

由圖10.7可知：(2)由相位落后法知，任意點處質點的振動相位落后原點處質點的相位，故波函數為：將初始條件代入振動方程可得：

由旋轉矢量法得，處質點的速度大于零,既有：

0.2(3)將代入波函數得：

按照上式畫出t=1s時刻的波形圖如圖10.8所示。10.4波的能量10.4.1波動的能量密度振動動能:機械波傳播過程，介質各質點均在其平衡位置附近振動，因而具有振動動能；彈性勢能:機械波傳播過程，介質發生彈性形變，因而具有彈性勢能。

機械波傳播過程：彈性介質產生振動、形變，獲得振動動能和彈性勢能。對某部分介質來說，能量不斷傳進、傳出，波的傳播過程為能量的傳播過程。思路與方法：以固體棒傳播縱波為例，分析波動能量的傳播，得出波動能量的普遍規律。微元的機械能：設密度的細棒沿X軸放置，縱波在其中以u沿x軸正向傳播，微元dx不斷受到壓縮、拉伸，

xOxO縱波波函數為：xOxO微元質量：振動速度：振動動能：(1)彈性勢能：(2)微元總機械能：(4)(3)xOxO

2.任一質元總機械不守恒，為時間的周期函數；討論：1.任意時刻介質質元的動能＝勢能，為周期函數；3.波源＝能量的來源，能量沿波速方向傳播；4.質元不斷接收、放出能量=不斷傳播能量，波動是能量傳遞的一種方式，質元是傳播能量的載體；微元的總機械能：(4)能量密度：單位體積介質中的波動能量；平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值；(5)(6)10.4.2

波動的能流密度能流:介質中任意質元均不斷接收前面質元傳播的能量，又將此能量傳遞給后面質元，介質中任何垂直于波速的截面都有能量通過，從而引出能流等概念：能流：單位時間內垂直通過某一面積的能量為過該面的能流；平均能流：

能流密度：通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均

能流。

udtS(4)能流密度是矢量：例題10.4.1試證明球面簡諧波的強度，與波面距波源距離的平方成反比，球面簡諧波的振幅與波面距波源的距離成反比。證明：通過兩個球面的平均能流相等；即有：整理得：結論：球面簡諧波的振幅與波面距波源的距離成反比。球面波的強度隨距波源距離的增加而衰減。原理的實用價值：由某時刻一種波的波前，通過幾何作圖法可確定此后t時刻的波前，可證明反、折射定律。。

惠更斯原理：介質中波前上的每一點均可看作產生球面次波的波源，而在此后任意時刻新的波前，為這些次波的包跡。10.5波的衍射10.5.1惠更斯原理及其應用實驗表明：波在各向同性介質中傳播，波面不改變其形狀、波線保持其直線。但遇到障礙時，波面變形、波線變向；。

球面波O由惠更斯原理，通過幾何作圖法可確定下一時刻的波前，平面波

1.平面波：t時刻對應波前，球面次波半徑：；

2.球面波：以O為中心以傳播的球面波；t時刻；從而確定波傳播的方向。1.聲波的衍射＝隔墻有耳；

波的衍射：波在傳播過程中遇到障礙物，波線發生彎曲繞過障礙物的現象，稱為波的衍射；2.電磁波的衍射＝電子信號繞過障礙被儀器接收；10.5.2波的衍射由惠更斯原理可以解釋波的衍射現象：波的衍射水波通過狹縫后的衍射平面波在狹縫邊緣處：波前彎曲、波線偏折；惠更斯原理：介質中波前上每一點均可看作產生球面次波的波源，此后

t時刻新的波前為這些次波的包跡。實驗表明：不同波源產生的波在同種介質中傳播時，無論相遇與否將各自獨立保持原有特征不變，并按各自原傳播方向前進；在相遇區域任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點引起振動位移的矢量和。10.6波的疊加原理波的干涉10.6.1波的疊加原理*疊加原理：兩個以上的波在同一區域傳播時，介質中質點的振動位移是每一波動單獨傳播時引起波的干涉現象：頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現象，稱為波的干涉現象。。

10.6.2波的干涉的振動位移矢量和，這是波的疊加原理所指出的規律；1.兩波源頻率相同；2.兩波振動方向平行；3.兩波源相位差恒定；

波的相干條件：1.滿足相干條件的波稱為相干波；2.產生相干波的波源稱為相干波源；注意：4.兩波源振幅相同；水波干涉到達點P的兩個分振動：波的干涉現象：滿足相干條件的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，某些地方振動始終減弱的現象。。

波源振動：(1)(2)討論兩相干波產生的干涉圖樣：**點P的合振動：(3)(4)(5)由于是任意選取的空間一點，故討論結果對空間任意點均成立，由上述結果可知：。

振動始終加強a.(6)振動始終減弱b.(7)其他c.(8)于是有結論：A.(6)式為空間振動始終加強的條件；B.(7)式為空間振動始終減弱的條件；注意：(6)、(7)式也稱為相干波的干涉加強、減弱條件。只要相干波滿足該條件，則空間就會出現振動始終加強、減弱的干涉現象；

.

b.(7)(6)a.特例：兩相干波源的初相相同，則，令為相干波源各自到P點的波程差，則干涉條件可簡化為：

.

(8)(10)(9)故有：故干涉條件簡化為：振動始終減弱振動始終加強于是有結論：當兩相干波在空間相遇，其干涉結果是加強還是減弱，取決于兩波源初相差和兩波源至該點的波程差；即取決于兩個因素：

.

(10)(9)波程差若則振動始終減弱振動始終加強其他討論：例題10.6.1如圖所示，兩相干波源分別在P,Q兩點，它們振幅相同皆為2cm，頻率為100HZ，兩波源初相位相同，P、Q之間的距離為15cm，設波速為，R為PQ連線上的一點，求：兩波在R處質點振動的合振幅.解：分析P、Q是兩相干波源，在R處發生相干疊加，R處的振幅由干涉加強、干涉減弱關系式可得：其中：由題意知：可得：所以：結論：即R處質點因干涉而靜止！一.駐波的產生駐波：振幅、波速均相同的兩相干波，在一直線上沿相反方向傳播，疊加形成的干涉現象。日常生活中的駐波：樂器中的管、弦、膜、板的振動形成駐波；駐波理論在聲學、光學等學科中都有重要應用；10.6.3駐波(StandingWaves)1.駐波方程思路與方法：利用振動合成，導出駐波方程，

設兩相干波的波函數為：(1)(2)兩波相遇處質點的合振動：然后詳細討論；(3)駐波的振幅與位置有關各質點均作同頻率諧振動注意：上式即為駐波方程；

1.駐波振幅：討論：(3)若x確定則(3)描述：坐標為x的質點作振幅A(x)、頻率的諧振動，此時(3)為質點的振動方程；故(3)描述的是細弦上所有質點作同頻率、相位的振動，但質點的振幅因其位置不同而異！駐波的振幅隨x

而變但與時間無關；對確定的x振幅是常量；.

c.不滿足a、b的點，其振幅介于2A、0之間；d.波腹、波節的位置不隨時間變化，波形不傳播，故

b.凡是滿足的點，其振幅最大為2A，這

些點振動最強，稱其為波腹；a.凡是滿足的點，其振幅為零而不振動，稱其為波節；

此特殊的波稱為駐波；又可得相鄰兩波節的間距為：(5)

2.波腹、波節的位置：a.波節坐標滿足的條件：令：(4)b.波腹坐標滿足的條件：令：又可得相鄰兩波腹的間距為：(6)(7)總之：10(a)相鄰波腹（節）間距

相鄰波腹和波節間距(c)波腹波節(b)c.一種測量波長的方法：相鄰波節之間質點振動同相位，任一波節兩側質點振動反相位，在波節處產生的相位躍變；。

由(5)、(7)式知：兩相鄰波節的間距＝兩相鄰波腹的間距故只要測量任意兩相鄰波節的間距，就可確定相干波的波長；。

3.駐波中各點的相位：4.相位躍變(a)波從波疏介質垂直入射波密介質，被反射到波疏介質時形成波節，入射波與反射波在此處的相位相反，即反射波在分界處產生的相位躍變，相當于出現了半個波長的波程差，稱為半波損失；5.的能量(b)波從波密介質垂直入射到波疏介質，被反射到波密介質時形成波腹。入射波與反射波在此處的相位相同，即反射波在分界處不產生相位躍變。注意：駐波能量在相鄰波腹、節間往復變化，在相鄰波節間發生動、勢能間的轉換：動能主要集中在波腹，勢能主要集中在波節，但無長距離傳播.

.

6.弦線上的駐波形成駐波的條件：線長等于半波長的整數倍；即應滿足：其中：兩端固定的弦線線長；波速：；波長；頻率；波腹個數：；2nl=例題10.6.2

平面簡諧波波動方程為，波在固定端處發生全反射，到原點的距離為試求（1）反射波的波動方程；（2）駐波方程；（3）原點與點間波節、波腹的坐標；解：設反射波方程為：為反射波在原點的初相位則反射波在A處激起的振動方程為：而入射波在A點處激起的振動方程為：在固定端發生反射，反射波與入射波在反射處相位相差即有：解得：所以：（2）駐波方程為：（3）令：得波節坐標為：根據題意得：發射頻率接收頻率問題：人耳所聽聲音頻率與聲源頻率相同嗎？

接收頻率：單位時間內觀測者接收到的振動次數或完整波數；多普勒效應：當波源與觀察者相對介質有運動時，觀察者接收到的波頻與波源發出的頻率有所不同，該物理現象稱為多普勒效應；、

三個頻率及其關系：1.波源振動頻率；2.波的傳播頻率；

3.觀者的接收頻率；限制條件：波源與觀察者沿兩者連線，相對介質的一維運動情況，選介質為參考系；分三種情況討論；10.7多普勒效應(DopplerEffect)觀察者接收到的頻率：觀察者靠近波源運動：(1)觀察者遠離波源運動：(2)10.7.1波源不動觀察者相對介質運動A觀察者接收到的頻率：波源遠離觀察者運動：(4)波源靠近觀察者運動：(3)10.7.2觀察者不動，波源相對介質運動觀察者向波源運動+，遠離

;波源向觀察者運動

，遠離+;觀察者接收到的頻率：(5)注意：10.7.3波源與觀察者同時相對介質運動深入思考：a.若波源與觀察者不沿二者連線運動；b.當時，又如何？所有波前將聚集在一個圓錐面上，波的能量高度集中形成沖擊波或激波，如核爆炸、超音速飛行等.1.多普勒測速雷達：測量車速；2.多普勒血流計：醫學上測量血流速度；多普勒效應的應用3.多普勒聲納：航海導航系統；4.衛星跟蹤系統等；明確三個頻率的概念：（1）波源的頻率，是波源在單位時間內振動的次數，或單位時間內發出的完整波的數目；（2）波的頻率，是介質內質點在單位時間內振動的次數，或單位時間內通過介質中某點的完整波數（3）觀察者接收到的頻率，是觀察者在單位時間內接收到的振動次數或完整波數。當波源向著觀察者運動的速度大于波速（）時式將失去意義在這種情況下，急速運動著的波源的前方不可能有任何波動產生，所有的波前將被擠壓而聚集在一個圓錐面上在這個圓錐面