中心極限定理及其應用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u22882第一章緒論 223888第二章關于獨立分布的中心極限定理的討論 2120502．1中心極限定理的提出 3188312．2獨立同分布情形的兩個定理 35072．3獨立不同分布情形的兩個定理 523421第三章中心極限定理在商業管理中的應用 10141683．1食堂管理問題 10226733．2盈利問題 13196453．3抽樣檢驗問題 14179513．4供應問題 1532759第四章結論與展望 1610600參考文獻 17摘要本文通過概率論中中心極限定理的研究，把獨立同分布和不同分布這兩種情形進行對比描述，得到了平均結果的穩定性是隨機現象的根本性質．文章從中心極限定理的提出、內容以及證明過程等，得到正態分布也可以表示獨立隨機變量之和的分布．同時我們在討論中心極限定理的內容時必須要從兩種情形進行描述，即獨立同分布和不同分布．最后通過各種各樣的例題，展現出中心極限定理生活中的應用，進一步證實了該定理在各個方面的重要價值，也貫徹了知識與生活相結合的思想．關鍵詞弱收斂；獨立隨機變量；中心極限定理第一章緒論1．1引言概率論與數理統計作為理學的基本課程，在科學、醫學、經濟、管理中有方方面面的應用．大數定律和中心極限定理是概率論中兩個極為重要的定理，在數理統計方面也有廣泛應用，其中大數定律是一種隨機收斂的相關理論，而中心極限定理則為一種分布收斂的概率論研究理論，本文重點著眼于對后一種理論進行研究．人們時常發現，生活中各種各樣的事常常受不確定因素干擾，亦稱為隨機因素擾動，微小因素聚集起來整體服從正態分布的規律，以上為中心極限定理的證明結論。中心極限定理最早是在重伯努利實驗中，在后來又得到了很快的發展．但后來的發展得益于P．萊維系統地建立起的特征函數理論．隨著社會的進步，人們對科學的探索乃至對世界的探索越來越深入，極限定理的應用以及極限定理研究所形成的方法在發揮很大作用的同時，自身也得到了完善與發展．中心極限定理的首次應用是解決某一單一事件出現頻次的服從概率分布是否為正態分布［］1．2研究目標經濟社會的快速發展，推動了人民對科學研究更為深入的探索，而與之而來問題也會不斷產生．同樣，極限理論的問題也在產生．尤其是如今進入大數據時代，大數據作為一種技術性革命，其中統計分析和概率計算與計算機相結合起來也得到了更廣泛的應用．所以，中心極限定理的研究也變得十分的有意義．科學知識的研究再深入也是要與生活實際相結合的，所以在學習的過程中，我們必須學會運用所學知識解決生活問題．本文從隨機序列研究這個角度，系統分析了中心極限定理，并例證其在生活中（主要是商業管理）的應用，目的是把理論與實踐相結合，從而更好的幫助大家用隨機觀念和統計思想去對待和處理生活中的問題．第二章關于獨立分布的中心極限定理的討論2．1中心極限定理的提出誤差是人們在生活中隨處可遇到的一個量，通過研究表明，誤差的產生是由大量因素疊加而成．．這些因素是隨機的且相互獨立．每個因素都是人們無法控制，可以大也可以小，可以為正也可以為負．誤差用表示，指代的是隨機變量，該變量可視為眾多微小擾動項的合計數，即．那當時，的分布是什么？當然，我們可以通過積卷公式去計算的分布，但當我們將分布函數的過程寫出來后就會發現形式太復雜了，我們根本無法求出來，這也使我們不得不去找近似分布．因此，中心極限定理被提出．2．2獨立同分布情形的兩個定理（1）則稱服從中心極限定理，若對均滿足如下極限公式：（2）則表明系服從關于均勻的趨于的正態分布。2．2．1林德伯格—萊維中心極限定理記為隨機變量序列，變量同分布且相互獨立，則對?，有（3）證明設的特征函數為，則的特征函數為又因為，所以有，則系服從正態分布的相關特征函數，即可得證。2．2．2棣莫弗—拉普拉斯定理記重貝努里試驗事件出現概率值為，為其出現次數，令對實數，例據一淘寶公司服裝店鋪統計顯示，今年所有的購買人員中，因為服裝沒有達到預期效果而申請退貨的人占．在今年的消費者中隨意抽取位，用表示認為服裝沒有達到預期效果而退貨的人．(1)寫出的分布列．(2)位消費者中，射服裝未達到效果退貨的人概率為，則為多少？解:(1)是服從的二項分布，即(2)由隸莫弗－拉普拉斯中心極限定理，有所以，．2．3獨立不同分布情形的兩個定理如誤差的產生是由大量隨機因素構成，即，且該部分因素相互獨立，即獨立，并不要求同分布，故該情形下的極限分布亦需再行討論。2．3．1林德貝格中心極限定理若滿足林德貝格條件，且相關獨立，則對?，有，有(4)(5)(6)實際上，對上三式明顯．設，則；易得，他們對成立．證明林德貝各中心極限定理令（7）以、分別表的特征函數與分布函數，因而（8），（9）（10）由（6）故林德貝格條件可化為：，；（11）(2)式化為：對均勻的有（12）如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數亦即（13）若（13）成立則問題得證證明（13）①先證可展開為（14）函數在任意有窮區間0由（9）中前一式（15）根據（5）．（16）其中，由（11），對一切充分大的有所以及任何有限區間中的，同時有因而對任意，均勻的有（17）當時，對一切充分大的，下式成立：（18）因此，在中，（19）其中由（18）但由（16）中第一個不等式及（10）故由（17）可見當時，關于任意區間中的均勻的有（20）②令由（15）得（21）若對?屬于，有．(22)將（21）表達式代入（14），結合①可證(13)證（22），由（10）對任意，由（4）（5）得由（10）可見：對，有（23）對任意，可選使又由（11），有為正整數，使及，有（24）則若，對一切，有2．3．2李雅普諾夫中心極限定理設為隨機序列且相互獨立的變量，如果有，使得（25）則對?，有．證僅需證明其符合林德貝格條件，由（25）中心極限定理在商業管理中的應用如今經濟飛速發展，很多公司在推行商品項目之前都會做樣本采集、市場調查、產品試銷、客戶滿意度調查等工作，在這些工作背后無不運用了概率論與數理統計的知識，同時中心極限定理如也經被應用到各行各業中，有較為重要的意義．很多已經應用到的領域和目前未涉及的領域都還待我們去繼續探索．文章僅舉了食堂管理問題、盈利問題、抽樣檢驗問題、供應問題幾個例子，但還有很多很多，如保險索賠問題，如公共場所設置座位問題，產品銷售問題等．文中就不一一列舉了．3．1食堂管理問題某學校食堂窗口有限，每天吃飯都會出現很多同學排長隊的現象，為學校準備新加若干學生打飯的窗口，經后勤處深入仔細考察，研究發現平均一個學生在窗口打飯需耗費時間。目前窗口僅有個并共有在校生，并總結需確定問題如下：

（1）增設窗口前的擁堵概率值？（2）保證以上概率不擁堵應怎設窗口數？解：（1）設在某一具體的時點，名學生中有名占用窗口，則有擁堵概率值可表示如下：借助隸莫佛-拉普拉斯定理解答如下：上式可確定值有，，則故．擁堵概率值高達．（2）欲求，使得根據標準正態分布主要指標經查詢分布表，得即故至少需增設窗口個。問題的變形：要保證以上的概率不擁擠，需至少新增多少個窗口?解：欲求，使得即即查表得即故至少需增設窗口個。（4）若將現有條件僅修改為個已有窗口，則具體計算結果如下所示：答：（1）．（2）同上．（5）若僅將現有條件中學生占用窗口耗費時間提至，其余的條件不變，則具體計算結果如下所示：答：(1)設某一具體時點，個學生中排隊打飯的人數為，則，，，擁擠的概率是擁擠的概率竟達到．(2)欲求，使得即查標準正態分布表，得即故需新增個窗口．3．2盈利問題假設某彩票公司即將推行搖數字中大獎游戲，共有個人參加游戲，參加刮獎活動每人交付元，每人中獎概率為，一旦中獎，彩票公司向該參與者發放元作為獎金，問（1）上述設計引發公司虧本的概率值？（2）相關活動使得利潤值不低于元，元，元的概率值？解：設為刮中獎的人數，則，即，根據德莫佛－拉普拉斯中心極限定理得：（2）設分別表示不低于、、元的活動利潤值，該公司利潤不少于元的概率為，不少于元的概率為，不少于元的概率為．3．3抽樣檢驗問題經過某項臨床測驗得出，某藥品對慢性的血管堵塞治愈率為．測驗員任抽查名服藥病人樣本，若有個以上得到治愈，則認為臨床測試通過，反之則不通過。若該藥實際治愈率分別為、，則測試通過率分別計算如下：解：設

指樣本中治愈人數，則

實際治愈率為時，通過這項測驗的概率約為．

實際治愈率為時，通過這項測驗的概率約為3．4供應問題假設某工廠有臺機器獨立工作著，工作時各耗電個單位的電力，且開工率為，為了完成任務，要的概率保證這個工廠電力是足夠的的，問供電所至少要給該工廠多少電力?解:

設每工作著的機器數為，服從二項分布，．機器工作時耗電量為千瓦，該工廠的供電量為．查表得解之得即要完成任務要給該工廠個單位的的電力．結論與展望在這篇文章中，首先提出何謂極限定理，并就此在獨立同分布下較為詳盡地證明了極限定理，同時對獨立不同分布下的情形加以證明，把抽象的例子盡量簡單化，最后，舉例更詳細地說明中心極限定理在各個方面的應用．其實我們的生活中，很多現象都受到不確定因素干擾，亦稱為隨機因素擾動，微小因素聚集起來整體服從正態分布的規律，中心極限定理對上述結論進行了完美論證，這在解決實際問題中有著廣泛而重要的作用．正態分布在概率分布中十分重要，中心極限定理在概率論中也有著同樣重要的地位．回顧課本，我們在學習概率論的過程中，先學習了隨機變量序列的兩種收斂性，隨后又學習了復隨機變量，從而引出特征函數，這使得我們學習大數定律和中心極限定理的時候更為輕松．課本后的習題也貼近人們的社會、經濟、生活和生產管理，更具有時代氣息，這也使我們在學習時能更好的聯系到實際．概率論與數理統計學這門學科是教我們有效地收集分析數據，再通過建立模型等方式從數據中心提取有用信息以進行推測、預算或尋求規律、為作決策提供依據等．同時這門學科在一定程度上也屬于交叉學科，所以它需要與其他學科相結合起來才能更好地發揮作用．比如概率統計與醫學相結合，對臨床診斷、藥物研究、化驗檢測等提供了極大的幫助；概率統計與經濟相結合，利于人們更好地預測經濟前景．尤其在大數據時代，當我們在使用電子產品，在使用各種智能工具，在瀏覽大數據推送的商品、新聞、廣告等方方面面的信息的時候，其技術背后無不滲透了這門學科的知識，其重要性可想而知．生活很有無數多種可能性，有時候感覺自己穩操勝算了但還是會失敗，但是有時候覺得不可能發生的事也許真的發生了．這是因為概率為1的事件也未必是必然事件，概率為0的事件未必是不可能事件．數學的發展方向正伴隨著人類認識世界的需要．人類從最開始對計數的需要，發展到需要測量，需要分析很小的變化，需要認識不同的形狀和結構，這些需求刺激了數論、幾何、分析、代數等學科的發展．現在人類需要認識更加微觀的世界，以及微觀世界和宏觀世界的聯系和統一，所以概率論這門學科的發展也會越來越好．也希望概率論與數理統計這門學科能隨著時代的發展不斷進步，與各行業充分的結合起來更好的造福人類．參考文獻[1]卯詩松．程依明．概率論與數理統計教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．[2]盛驟．概率論與數理統計習題全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大學，1990．[3]盛驟，謝式千，潘承毅．