自動控制原理2012年9月唐求電氣與信息工程學院第二章控制系統的數學模型控制系統的時域數學模型2-1控制系統的復數域數學模型2-2控制系統的結構圖和信號流圖3數學模型的實驗測定法42-32-4被控對象:數學上怎么來描述？被控對象位置速度加速度微分描述變化：2-1控制系統的時域數學模型被控對象的基本描述：微分方程被控對象輸出y(t)輸入r(t)2-1控制系統的時域數學模型求解微分方程，是整個控制理論的數學基礎（1）（2）（3）勻速運動勻加速運動一般運動2-1控制系統的時域數學模型一、建立微分方程的一般步驟二、常見環節和系統的微分方程的建立三、線性定常系統與疊加原理四、線性微分方程式的求解2-1控制系統的時域數學模型（1）

確定系統的輸入變量和輸出變量。一、建立系統微分方程的一般步驟一個系統通常是由一些環節連接而成的，將系統中的每個環節的微分方程求出來，便可求出整個系統的微分方程。列寫系統微分方程的一般步驟：根據各環節所遵循的基本物理規律，分別列寫出相應的微分方程，并構成微分方程組。（2）

建立初始微分方程組。將與輸入量有關的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化。2-1控制系統的時域數學模型ucur二、常見環節和系統微分方程的建立1．RC電路+-uruc+-CiR輸入量：輸出量：（1）

確定輸入量和輸出量（2）

建立初始微分方程組（3）消除中間變量,使式子標準化RC電路是一階常系數線性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur2-1控制系統的時域數學模型2．機械位移系統系統組成：質量m輸入量彈簧系數k阻尼系數fF(t)輸出量y(t)初始微分方程組:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根據牛頓第二定律mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系統的時域數學模型中間變量關系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中間變量得:mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系統的時域數學模型試寫出以ur(t)為輸入量、uc(t)為輸出量的電路微分方程。i(t)LRur(t)uc(t)C解：設回路電流為i(t)，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為消除中間變量，可得：2-1控制系統的時域數學模型3．RLC電路

系統微分方程由輸出量各階導數和輸入量各階導數以及系統的一些參數構成。1.系統微分方程的一般表達式（標準形式）為：+dtm+bmr(t)

=b0dm-1r(t)dtm-1

b1+···dmr(t)

+dr(t)dtbm-1

+dnc(t)dn-1c(t)dc(t)anc(t)+···dtna0dt

n-1a1+dt

an-1+三、線性定常系統與疊加原理式中，c(t)——系統輸出量

r(t)——系統輸入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)為微分方程的系數2-1控制系統的時域數學模型2.根據系統微分方程對系統進行分類：1）線性系統：方程中只含有變量c(t)，r(t)及其各階導數2）非線性系統：參數與變量有關,或者方程中含有變量及其導數的高次冪或乘積項a)線性定常系統：a0,…,an;b0,…,bm為常數b)線性時變系統：a0,…,an;b0,…,bm為時間的函數2-1控制系統的時域數學模型3.線性系統滿足疊加原理：線性系統r1(t)c1(t)線性系統r2(t)c2(t)線性系統ar1(t)+br2(t)ac1(t)+bc2(t)疊加原理的意義：對于線性系統，各個輸入產生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個輸入加在線性系統上而引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產生的輸出，然后，把這些輸出疊加起來，則可能求得總的輸出。2-1控制系統的時域數學模型四、線性微分方程式的求解求解方法：1）解析法

2）拉普拉斯變換法

3）計算機求解。

拉普拉斯變換法求解微分方程的步驟：

1、考慮初始條件，對微分方程中的各項進行拉氏變換，變成變量S的代數方程；

2、由變量S的代數方程求出系統輸出量的拉氏變換式；

3、對輸出量的拉氏變換式進行拉氏反變換，得到系統微分方程的解。2-1控制系統的時域數學模型r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0

+2c

(t)=r(t)

+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一個例子來說明采用拉氏變換法解線性定常微分方程的方法。例

已知系統的微分方程式，求系統的輸出響應。解：將方程兩邊求拉氏變換得：求拉氏反變換得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1

C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11c(t)=e–t

sint2-1控制系統的時域數學模型輸出響應曲線c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-1控制系統的時域數學模型一、拉普拉斯變換及其主要性質二、傳遞函數的定義及求取

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉換為復數S域內的數學模型—傳遞函數。三、典型環節的傳遞函數2-2控制系統的復數域數學模型一、拉普拉斯變換及其主要性質:

1．拉普拉斯變換的定義：設函數f(t)當t0時有定義，且積分在s的某個域內收斂，則它的拉氏變換定義為：2．拉普拉斯變換的主要性質：1）線性性質：若

、

是常數，2-2控制系統的復數域數學模型2）微分性質:2-2控制系統的復數域數學模型2-2控制系統的復數域數學模型3）積分性質:4）位移性質:5）延遲性質:6）初值定理:7）終值定理:2-2控制系統的復數域數學模型3.拉氏逆變換:4.卷積定理:2-2控制系統的復數域數學模型5.典型函數的拉氏變換:2-2控制系統的復數域數學模型6.部分分式展開定理:一般，函數F(s)是復變數s的有理代數分式，即可以表示成如下形式：2-2控制系統的復數域數學模型2-2控制系統的復數域數學模型輸出拉氏變換二、傳遞函數的定義及求取系統的結構圖輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數的定義：

零初始條件下，系統輸出量拉氏變換與系統輸入量拉氏變換之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=2-2控制系統的復數域數學模型零初始條件:

系統的輸入量、輸出量及其各階導數在t=0時的值均為零。求取系統傳遞函數的步驟:1）列寫系統微分方程（非線性方程需線性化）；2）設全部初始條件為零，對微分方程兩邊取拉氏變換；3）求輸出量與輸入量的拉氏變換之比——系統傳遞函數。2-2控制系統的復數域數學模型式中，c(t)——系統輸出量

r(t)——系統輸入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)為常系數設線性定常系統的微分方程為:2-2控制系統的復數域數學模型對微分方程的一般表達式進行拉氏變換得系統傳遞函數的一般表達式為(a0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm

)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an（n≥m）2-2控制系統的復數域數學模型例

求圖示RLC電路的傳遞函數。+-uruc+-CLRi解：輸出量：輸入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根據基爾霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏變換：RCsUc(s)+

LCs2Uc

(s)

+

Uc

(s)=Ur(s)傳遞函數為:G

(s)=1LCs2+

RCs

+

1Uc

(s)Ur(s)=2-2控制系統的復數域數學模型dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系統的傳遞函數.將上式兩邊求拉氏變換：設解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa

=bh02傳遞函數為H(s)Abs+1b=Qi(s)2-2控制系統的復數域數學模型傳遞函數性質：（1）傳遞函數只適用于線性定常系統。（2）傳遞函數取決于系統的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關。（3）傳遞函數一般為復變量S的有理分式。（4）傳遞函數是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統的運動過程。將傳遞函數中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即G(s)=K＊(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：n>=mK＊—為根軌跡增益S=S1,S2···,Sn—傳遞函數的極點S=Z1,Z2···,Zm—傳遞函數的零點傳遞函數分母多項式就是相應微分方程的特征多項式，傳遞函數的極點就是微分方程的特征根。2-2控制系統的復數域數學模型首1標準型（即零、極點形式）：首1標準型在根軌跡法中使用較多尾1標準型：尾1標準型在頻率法中使用較多系統的根軌跡增益—jnjimiKpszsKsRsCsG

)()()()()(

*11*-?-?====2-2控制系統的復數域數學模型（5）傳遞函數與微分方程一一對應。

微分方程：在時域內描述系統的動態關系（特性）傳遞函數：在復頻域內描述系統的動態關系（特性）（6）不同物理系統（機械、電氣、液壓）可用形式相同的傳遞函數來描述——相似原理，能用相同數學模型描述的系統——相似系統。

應用意義：可用模擬機進行系統研究2-2控制系統的復數域數學模型（7）傳遞函數的拉氏反變換為系統的脈沖響應。系統的輸入是單位脈沖信號

(t)時，系統的輸出稱為脈沖響應。2-2控制系統的復數域數學模型一般可將自動控制系統的數學模型看作由若干個典型環節所組成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系統性能的了解。三、典型環節的傳遞函數2-2控制系統的復數域數學模型K=-R1R2比例環節實例(a)-∞++urR1ucR2由運算放大器構成的比例環節(b)線性電位器構成的比例環節K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)1．比例環節2-2控制系統的復數域數學模型C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例環節系數拉氏變換:比例環節的傳遞函數:微分方程:K比例環節方框圖KR(S)C(S)特點:輸出不失真,不延遲,成比例地R(s)C(s)G(s)==K復現輸入信號的變化.2-2控制系統的復數域數學模型-∞++R1R2urucC慣性環節實例(a)運算放大器構成的慣性環節R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC電路構成的慣性環節1

RCS

+1G(s)=2．慣性環節r(t)RCc(t)2-2控制系統的復數域數學模型慣性環節的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—比例常數—時間系數式中KT拉氏變換：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)慣性環節的傳遞函數:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=慣性環節方框圖R(S)C(S)1+TsK單位階躍信號作用下的響應:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反變換得:c(t)=K′

(1–e)tT-2-2控制系統的復數域數學模型單位階躍響應曲線特點:輸出量不能瞬時完成與輸入量完全一致的變化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.6322-2控制系統的復數域數學模型積分環節實例(a)由運算放大器構成的積分環節-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)電機構成的積分環節+-UdMθSKG(s)=2-2控制系統的復數域數學模型3．積分環節R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—積分時間常數傳遞函數：拉氏變換：積分環節方框圖R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S積分環節的單位階躍響應：2-2控制系統的復數域數學模型單位階躍響應曲線輸出量與輸入量對時間的積分成正比，具有滯后作用和記憶功能.特點:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T2-2控制系統的復數域數學模型4．微分環節R(S)C(S)Ts理想微分環節數學模型：—微分時間常數微分環節方框圖單位階躍響應函數：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)2-2控制系統的復數域數學模型單位階躍響應曲線理想脈沖實際中是不可能實現的，實際的物理裝置中常用近似理想微分環節。r(t)t0c(t)c(t)r(t)2-2控制系統的復數域數學模型G(s)=-RCs(a)近似理想微分環節實例-Δ∞++RucCur運算放大器構成的微分環節+-uc+-CRur(b)RC電路構成的微分環節RCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts2-2控制系統的復數域數學模型實用微分環節的單位階躍響應:單位階躍響應曲線

C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特點:輸出量反映了輸入量的變化率，而不反映輸入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)12-2控制系統的復數域數學模型采用運算放大器構成的比例微分環節：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分環節的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環節。

傳遞函數：單位階躍響應：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)2-2控制系統的復數域數學模型單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系統的復數域數學模型5.振蕩環節微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數—阻尼比ζT傳遞函數：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—無阻尼自然振蕩頻率振蕩環節方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e2-2控制系統的復數域數學模型單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系統的復數域數學模型1

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環節的實例：（1）彈簧-質量-阻尼器組成的機械位移系統

（2）他激直流電動機

（3）RLC電路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=2-2控制系統的復數域數學模型R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs

6．時滯（延時）環節—延時時間數學模型：時滯環節方框圖傳遞函數：時滯環節作近似處理得1+τs1G(s)=eτs1=1+τS+2!2S2+···1τ2-2控制系統的復數域數學模型階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ2-2控制系統的復數域數學模型2-2控制系統的復數域數學模型典型環節（1）比例環節：（2）積分環節：（3）微分環節：（4）慣性環節：（5）振蕩環節：（6）延時環節：（7）一階微分環節：（8）二階微分環節：控制系統結構圖是系統數學模型的另一種形式，它表示出系統中各變量之間的數學關系及信號的傳遞過程。2-3控制系統的結構圖與信號流圖將組成控制系統的各個環節的函數方框按信號流向聯接起來就可得到系統結構圖(方框圖)。控制系統中每個環節的功能和信號流向可用函數方框表示：X2(s)=G(s)X1(s)X1(s)X2(s)G(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖一、建立結構圖的一般方法例

設一RC電路如圖所示。畫出系統的動態結構圖。+-uruc+-CiR

RC電路解：初始微分方程組：ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏變換：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS用方框表示各變量間關系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CS根據信號的流向，將各方框依次連接起來，即得系統的結構圖。Uc(s)I(s)1CS

由圖可見，系統的結構圖一般由四種基本符號構成：信號線、比較點、方框和引出點。

2-3控制系統的結構圖與信號流圖G1(s)H(s)G2(s)R(s)N(s)C(s)+_典型反饋控制系統方框圖1）信號線：帶單向箭頭，表示信號流向2）引出點：信號從引出點分開，大小和性質相同3）比較點：兩個或兩個以上的信號相加減4）方框：對信號進行數學變換，方框中寫入環節的傳遞函數2-3控制系統的結構圖與信號流圖繪制結構圖的一般步驟為:（1）確定系統中各元件或環節的傳遞函數。（2）繪出各環節的方框，方框中標出其傳遞函數、輸入量和輸出量。（3）根據信號在系統中的流向，依次將各方框連接起來。2-3控制系統的結構圖與信號流圖例：試繪制如圖所示無源網絡的結構圖uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2Ur(s)R1R2Uc(s)I(s)I1(s)I2(s)Cs—1解：1）化為復阻抗形式2-3控制系統的結構圖與信號流圖2）根據基爾霍夫定律寫出下列方程3）根據上述方程繪制對應元件的方框圖R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖4）根據信號傳遞關系用信號線連接各方框圖R2I(s)Uc(s)I1(s)R1I1(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)—R1—1R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖列方程組例

繪制雙T網絡的框圖2-3控制系統的結構圖與信號流圖

繪圖：

ur(s)為輸入，畫在最左邊。2-3控制系統的結構圖與信號流圖uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)若重新選擇一組中間變量，會有什么結果呢？列方程：2-3控制系統的結構圖與信號流圖

可見選擇不同的中間變量，結構框圖也不一樣，但是整個系統的輸入輸出關系并不改變的。2-3控制系統的結構圖與信號流圖二、結構圖的等效變換和簡化系統的結構圖直觀地反映了系統內部各變量之間的動態關系。將復雜的結構圖進行化簡可求出傳遞函數。1．結構圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數學關系，在變換前后保持不變。變換原則：變換前后變量關系保持等效2-3控制系統的結構圖與信號流圖（1）串聯兩個環節串聯的變換如圖：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n個環節的串聯

G

(s)=∏

Gi

(s)

n

i=12-3控制系統的結構圖與信號流圖R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=（2）并聯兩個環節的并聯等效變換如圖：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)等效n個環節的并聯

G

(s)=Σ

Gi

(s)

n

i=12-3控制系統的結構圖與信號流圖++G2(s)R(s)C(s)G1(s)

E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)環節的反饋連接等效變換：根據框圖得：則另：得：等效R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±2-3控制系統的結構圖與信號流圖用Ф(s)表示閉環傳遞函數:R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=Ф(s)=稱

為開環傳遞函數；稱

為前向通路傳遞函數；稱

單位反饋，即有：稱

為開環傳遞函數；稱

為前向通路傳遞函數；稱

單位反饋，即有：（4）比較點和引出點的移動1)

比較點之間或引出點之間的位置交換引出點之間的交換：

b比較點之間交換：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa2-3控制系統的結構圖與信號流圖2）比較點相對方框的移動F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±2-3控制系統的結構圖與信號流圖

3)引出點相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖78序號原結構圖等效原結構圖等效法則

1串聯等效

2并聯等效

3反饋等效2-3控制系統的結構圖與信號流圖79

4等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移

80

8引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引出點（一般不采用)11負號在支路上移動

例：試簡化如圖所示系統的結構圖，并求出系統傳遞函數C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)解：1）將支路H2(s)的引出點后移G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖2）簡化上圖虛線框內的各環節G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖3）簡化上圖虛線框內的各環節G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖4）最后簡化得系統的傳遞函數為G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)=2-3控制系統的結構圖與信號流圖先移動引出點和比較點，消除交叉連接，再進行等效變換，最后求得系統的傳遞函數。G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移動aG2(s)+_G2(s)H(s)例

簡化系統的結構圖，求傳遞函數。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交換比較點a求得系統的傳遞函數:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效變換后系統的結構圖：2-3控制系統的結構圖與信號流圖例

求RC串聯網絡的傳遞函數。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2

RC串聯網絡動態結構圖解：錯！C2S1R1注意：比較點與引出點的位置不作交換！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系統傳遞函數：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=2-3控制系統的結構圖與信號流圖框圖簡化的一般方法：移動引出點或比較點；進行方框運算；將串聯、并聯、反饋連接的框圖合并。2-3控制系統的結構圖與信號流圖88注意對比較點和引出點進行移動位置，消除交叉回路。在移動中一定要注意以下幾點：①必須保持移動前后信號的等效性；②相鄰比較點可以互相換位和合并；③相鄰引出點可以互相換位；④比較點和引出點之間一般不宜交換位置。

2-3控制系統的結構圖與信號流圖89例：試化簡下述系統結構圖，求傳遞函數C(s)/R(s)顯然化簡該結構圖需要移動比較點和引出點，需要注意得是，引出點和比較點之間是不宜隨便移動的。因此我們將比較點前移，將引出點后移。2-3控制系統的結構圖與信號流圖90將兩個比較點合并，并將求出的等效傳遞函數：得到圖為得到系統等效傳遞函數：2-3控制系統的結構圖與信號流圖三、控制系統的信號流圖：y2=ay11、定義一組線性代數方程式變量間傳遞關系的圖形表示，由節點、支路和支路增益組成。y1y2ax1x2x3x4x5x61abcdefg1典型的信號流圖2-3控制系統的結構圖與信號流圖x1x2x3x4x5x61abcdefg1每個節點所標志的變量等于所有流入該節點的信號的代數和2-3控制系統的結構圖與信號流圖2、關于信號流圖的一些術語：x1x2x3x4x5x61abcdefg11）輸入節點（源節點）2）輸出節點（阱節點）3）混合節點4）前向通路:5）回路:6）不接觸回路:2-3控制系統的結構圖與信號流圖信號從輸入節點到輸出節點傳遞時，每個節點只通過一次的通路。起點和終點在同一個節點，而且信號通過任一節點不多于一次的閉合通路。3、信號流圖的繪制：1）由系統微分方程繪制信號流圖步驟：含有積分或微分的線性方程經過拉普拉氏變換變成復頻域的代數方程，然后繪制信號流圖。2）由系統結構圖繪制信號流圖2-3控制系統的結構圖與信號流圖2-3控制系統的結構圖與信號流圖例：畫出如圖所示無源網絡系統的信號流圖，設電容初始電壓為u1(0)。解：a）由基爾霍夫定律寫出下列微分方程uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2u1(t)b）求拉氏變換，得：c）根據上述方程畫出對應的信號流圖：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R12-3控制系統的結構圖與信號流圖d）沿信號流向將各信號流圖連接得系統的信號流圖：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R1UrI11–1R11UcIR21R1I2U1u1(0)sC-C12-3控制系統的結構圖與信號流圖R(s)C(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)2-3控制系統的結構圖與信號流圖例：由系統結構圖繪制信號流圖。X2X1X3X4X6X5X7X9X8ΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΔ=1––++···4．梅遜公式梅遜公式：—特征式△—各回路增益之和。—兩兩互不相接觸回路增益之乘積的和。—所有三個互不相接觸回路增益之乘積和。Φ(s)=Σnk=1Pk

ΔkΔΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΣLiΣLiLj

ΣLiLj

Lz2-3控制系統的結構圖與信號流圖△k

—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項去掉之后的剩余部分，稱為余子式。Pk—第k條前向通路總增益。例：求如圖所示系統的傳遞函數C(s)/R(s)。RG1(s)1-H(s)CG2(s)G4(s)1G3(s)ee1e2解：1321=D=D=D

)()()()(1

221++=D\sHsGsHsG接觸且前向通路和所有回路個單獨回路互相接觸，2-3控制系統的結構圖與信號流圖2-3控制系統的結構圖與信號流圖R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H12-3控制系統的結構圖與信號流圖G4(s)G3(s)例

系統的動態結構圖如圖所示，求閉環傳遞函數。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統有5個回路，各回路的傳遞函數為L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj

=0ΣLiLj

Lz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1將△、Pk

、△k代入梅遜公式得傳遞函數：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2=2-3控制系統的結構圖與信號流圖L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例

求系統的閉環傳遞函數。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–

G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–

G3H1G1G2

(1–

G3H1)=2-3控制系統的結構圖與信號流圖L5=G1(s)G2(s)L4=G1(s)G2(s)L3=G1(s)G2(s)L2=–G2(s)L1=–G1(s)例求系統傳遞函數。___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++解:(1)用梅遜公式L1___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L2___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L3___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L4___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L5Δ3=1Δ4=1P4=–G1(s)G2(s)P3=-G1(s)G2(s)P2=G2(s)P1=G1(s)Δ1=1Δ2=1系統的傳遞函數R(s)C(s)1+G1(s)

+

G2(s)–

3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–

2G1(s)G2(s)=2-3控制系統的結構圖與信號流圖（2）用等效變換法系統動態結構圖變換為：_R(S)C(S)_++_++G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)1+G1(s)+G2(s)–3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–2G1(s)G2(s)=2-3控制系統的結構圖與信號流圖四、閉環系統的傳遞函數(一)系統的開環傳遞函數(二)系統的閉環傳遞函數研究控制系統的性能，主要的傳遞函數為：(三)系統的誤差傳遞函數2-3控制系統的結構圖與信號流圖_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+N(s)（一）系統的開環傳遞函數閉環控制系統的典型結構：開環傳遞函數：系統反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)

Gk(s)=E(s)B(s)

=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

2-3控制系統的結構圖與信號流圖（二）系統的閉環傳遞函數1