第一章直角三角形的邊角關系1.6利用三角函數測高精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板CD=1米，當太陽光線與水平線成α=60°角時，光線剛好不能直接射人室內，則m的值是（

）A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=0.2 D．m=0.8【答案】C【分析】根據三角函數求出BC的長度，BCAC即可得出m的值．【詳解】CD=1米，CDB=a=60°，，，故選：C．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練應用三角函數解直角三角形是解題的關鍵．2．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數值即可求解．【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點睛】本題考查三角函數，根據直角三角形的邊的關系，建立三角函數模型是解題的關鍵．3．（2022·吉林·長春經濟技術開發區洋浦學校九年級期中）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點之間的距離為35米，，則纜車從A點到達B點，上升的高度（BC的長）為（

）A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．【詳解】在Rt△ABC中，,即，故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形，根據解三角函數的定義，列出方程是解題關鍵．4．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據軸對稱圖形得性質即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數正切值即可求得答案．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個軸對稱圖形，∴m，，即，房頂A離地面的高度為，故選B．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關鍵．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知點、點是同一幢樓上的兩個不同位置，從點觀測標志物的俯角是65°，從點觀測標志物的俯角是35°，則的度數為（

）A．25° B．30° C．35° D．65°【答案】B【分析】如圖，標注字母，由題意得：證明再利用從而可得答案．【詳解】解：如圖，標注字母，由題意得：故選：【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2021·上海·九年級專題練習）為擴大網絡信號的輻射范圍，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的網絡信號發射塔．如圖，在高為12米的建筑物DE的頂部測得信號發射塔AB頂端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山腳底部C的距離DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡長BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和網絡信號發射塔AB的剖面圖在同一平面內，信號發射塔AB與水平線DC垂直），則信號發射塔AB的高約為（）（參考數據：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米【答案】D【分析】延長EF交AB于點H，DC⊥AB于點G，可得四邊形EDGH是矩形，根據小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，求得BG＝32，CG＝24，再根據三角函數即可求出信號發射塔AB的高．【詳解】解：如圖，延長EF交AB于點H，DC⊥AB于點G，∵ED⊥DG，∴四邊形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，設BG＝4x，CG＝3x，則BC＝5x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH?tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信號發射塔AB的高約為39.2米．故選：D．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數是解題的關鍵．二、填空題7．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，航模小組用無人機來測量建筑物BC的高度，無人機從A處測得建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，若此時無人機與該建筑物的水平距離AD為30m，則該建筑物的高度BC為_____m．（結果保留根號）【答案】（30+30）．【分析】在Rt△ABD中，根據正切函數求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根據BC=BD+CD，代入數據計算即可．【詳解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：該建筑物的高度BC約為（30+30）米．故答案為：（30+30）．【點睛】此題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題．注意能借助仰角或俯角構造直角三角形并解直角三角形是解題的關鍵．8．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，小亮為了測量校園里教學樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置在與教學樓水平距離為18m的地面上，若測角儀的高度為I.5m，測得教學樓的頂部A處的仰角為30°，則教學樓的高度是____．【答案】19.5m．【分析】作DE⊥AB于E，根據tan∠ADE＝求出AE，故可求解．【詳解】解：作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，∴AE＝DE?tan∠ADE＝18×＝18，∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），故答案為：19.5m．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，解題的關鍵是熟知正切的定義．9．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，小麗的房間內有一張長高的床靠墻擺放，在上方安裝空調，空調下沿與墻垂直，出風口離墻，空調開啟后，擋風板與夾角成，風沿方向吹出，為了讓空調風不直接吹到床上，空調安裝的高度(的長)至少為__________(精確到個位)(參考數據：)【答案】【分析】連接AF,作FH⊥AD構造直角三角形運用三角函數解出FH,再將床高加上即可求出EC的值．【詳解】當A、F在一條直線時,就正好不會吹到床上,連接AF,過點F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=．∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案為237．【點睛】本題考查解直角三角形的應用,關鍵在于理解題意,作出合理的輔助線結合三角函數的知識．10．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從點A向上行駛了50米到點B處，則此時該小車離水平面的垂直高度為_____________.【答案】25【分析】設出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】設此時該小車離水平面的垂直高度為x米，則水平前進了x米．根據勾股定理可得：x2＋（x）2＝502．解得x＝25．即此時該小車離水平面的垂直高度為25米．故答案為：25.【點睛】考查了解直角三角形的應用?坡度坡角問題，此題的關鍵是熟悉且會靈活應用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平寬度，綜合利用了勾股定理．三、解答題11．（2022·全國·九年級課時練習）某學校九年級的學生去參加社會實踐，在風景區看到一棵古松，不知這棵古松有多高，下面是他們的一段對話：甲：我站在此處看樹頂仰角為45°.乙：我站在此處看樹頂仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m．乙：我們倆相距20m．請你根據兩位同學的對話，計算這棵古松DE的高度．（結果保留根號）．【答案】（m）【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得，即有，再根據，即可求解．【詳解】根據題意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∴，∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴，∴，∵AB=20，∴，∴，∵CE=1.5m，∴（m），即古松的高度DE為m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，理解仰角的含義是解答本題的基礎．12．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，甲?乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓樓頂，仰角為，乙樓有多高？（結果精確到）【答案】【分析】先根據題意作出示意圖，然后在RT△ACE中，可得出CE的長度，繼而可得出乙樓的高度．【詳解】解：由題意得：∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，在Rt△ACE中，CE＝AE?tan∠CAE＝10m，故可得乙樓的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為解直角三角形的問題，求出CE的長度，難度一般．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，為了測量某風景區內一座古塔CD的高度，某校數學興趣小組的同學分別在古塔對面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測得古塔項部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是______m（，，結果保留一位小數）．【答案】56.8【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根據DH=CDCH=BDBD，可得BDBD=24，即可求出BD，則問題得解．【詳解】如圖，根據題意可知四邊形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，∵DH=CDCH=BDBD，∴BDBD=24，∴BD=，∴CD=（m），故答案為：56.8．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解仰角的含義．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，從地面上的點看一山坡上的電線桿，測得桿頂端點的仰角是，向前走到達點，測得桿頂端點和桿底端點的仰角分別是和．則該電線桿的高度是__________（結果可保留根號）．【答案】【分析】延長交直線于點，設米，在和中，根據三角函數利用表示出和，根據即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函數求得的長，則的長度即可求解．【詳解】延長交直線于點，設米，在中，∵，∴米，在中，∵，米，∴米．∵米，∴，∴米，∴米．在中，∵，，∴米，∴米．【點睛】本題考查了仰角的定義，以及三角函數，正確求得的長度是解本題的關鍵．3．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為100m，那么該建筑物的高度BC約為__m．【答案】【分析】在Rt△ABD中，根據正切函數求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根據BC=BD+CD，代入數據計算即可．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=100（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD?tan60°=100×,∴BC=BD+CD=；故答案為：．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵．4．（2021·全國·九年級課時練習）某無人機興趣小組在操場上開展活動（如圖），此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為37°，測得點C處的俯角為45°．又經過人工測得操控者A和教學樓BC距離為57米，則教學樓BC的高度為______米．（注：點A，B，C，D都在同一平面上．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】13【分析】作DE⊥AB于點E，作CF⊥DE于點F，由tan37°=≈0.75求得AE=40，由AB=57知BE=17，再根據四邊形BCFE是矩形知CF=BE=17．由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF=17，從而得BC=EF=3017=13．【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥DE于點F．由題意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴tan37°=≈0.75．∴AE=40，∵AB=57，∴BE=17∵四邊形BCFE是矩形，∴CF=BE=17．在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°．∴DF=CF=17，∴BC=EF=3017=13．故答案為：13．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，利用數形結合以及銳角三角函數關系求解是解題關鍵．5．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為1：的坡面AD走了200米達到D處，此時在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC＝___米（結果保留根號）．【答案】．【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題．【詳解】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．二、解答題6．如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離（結果不取近似值）．【答案】攔截點D處到公路的距離是（500+500）米．【分析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E＝∠F＝90，攔截點D處到公路的距離DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝×1000＝500米；解，求出CF＝CD＝500米，則DA＝BE+CF＝（500+500）米．【詳解】解：如圖，過B作AB的垂線，兩線交于點E，過D作AB的平行線，則∠E＝∠F＝90．∵在中，∠E＝90，∴∠BCE＝30，∴BE＝BC＝500；∵在中，∠F＝90，∠DCF=45，CD＝BC＝1000米，∴CF＝CD＝500米，∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，故攔截點D處到公路的距離是（500+500）米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，銳角三角函數的定義，正確理解方向角的定義，進而作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．7．（2022·吉林·長春市第二實驗中學九年級階段練習）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）過點E作EF⊥BC的延長線于F，根據CD的坡度為i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF