2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷03（新高考專用）（考試時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知集合A=xx?1>0，B=x2xA．?3,?1 B．?1,3 C．1,【解題思路】解不等式化簡集合A與B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【解答過程】因?yàn)锳=xx?1>0B=x2x所以A∩B=x故選：C.2．（5分）（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足3?iz?i=3，則復(fù)數(shù)A．12?32i B．12【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【解答過程】解：由題意，z=3則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=故選：A.3．（5分）（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知向量a與b的夾角為60°，且a=1,3，b=1，則A．7 B．5 C．4 D．2【解題思路】根據(jù)a的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量的模．【解答過程】由a=1,3又b=1，則a故選：D.4．（5分）（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知α∈?π2,?π4，若A．?185 B．?25 C．【解題思路】利用正切二倍角公式和和角公式得到tanα=?3，化簡得到2【解答過程】tan2α=?32所以2tan因?yàn)棣痢?π2所以2故3tan2α+10tanα+3=02=故選：C.5．（5分）（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A．325π12 B．76π3 C．【解題思路】結(jié)合軸截面分析可知O1B=O【解答過程】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺，取軸截面，如圖所示，O1,O可知：AB∥CD∥EF，且O1可得O3FO所以該容器中液體的體積為π×故選：A.6．（5分）（2024·西藏·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【解題思路】變形得到fx=x+1+1【解答過程】因?yàn)閒x所以fx?1由于gx=x+1又g?x故gx=x+1其他選項(xiàng)均不合要求.故選：C．7．（5分）（2024·廣東汕頭·三模）已知A，B，C是直線y=m與函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的圖象的三個交點(diǎn)，如圖所示．其中，點(diǎn)A(0,2)，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA．φ=π4 C．f(x)的圖象關(guān)于(π,0)中心對稱 D．f(x)在【解題思路】根據(jù)給定條件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，進(jìn)而求得【解答過程】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，顯然由A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA=0，即ωxA+解得x1=3π2ω，x2=2π對于A，φ=3對于B，f(π對于C，f(π)=2sin(2π對于D，當(dāng)x∈[0,π2]時，3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故選：B.8．（5分）（2024·新疆喀什·三模）已知a=lnsin1.02，b=1.0251A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．a(chǎn)<c<b D．b<a<c【解題思路】由正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得a<0<c，構(gòu)造fx=ln【解答過程】因?yàn)閥=sinx在則0=sin0<sin又因?yàn)閥=lnx在則a=lnsin1.02<ln令x=0.02，則b=x1+x，構(gòu)建fx則f′可知fx在(0,+∞)上遞減，則f綜上所述：a<c<b.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（2024·湖北·模擬預(yù)測）某次數(shù)學(xué)考試滿分150分，記X,Y分別表示甲、乙兩班學(xué)生在這次考試中的成績，且X~N90,400，Y~N100,300，則（A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的極差大于乙班的極差C．成績在100,110的人數(shù)占比乙班更高D．成績在90,100的人數(shù)占比甲班更高【解題思路】根據(jù)題干中正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷.【解答過程】對于A，甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，甲班平均分低于乙班，故A正確；對于B，甲班的方差大于乙班，但不能認(rèn)為甲班的極差一定大于乙班，故B錯誤；對于C，甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，且乙班方差小，成績分布更集中，故甲班成績在區(qū)間90,100的人數(shù)占比低于乙班，且低于乙班成績在區(qū)間100,110的人數(shù)占比，故C正確，D錯誤．故選：AC.10．（6分）（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx=lnA．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為B．函數(shù)fx有極小值且極小值為C．若方程fx=m有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)mD．經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線y=fx的切線方程為【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)fx【解答過程】對A：由題意可知fx的定義域?yàn)?,+f'x=1x當(dāng)x∈0,e時，f′x>0所以函數(shù)fx在0,e上單調(diào)遞增，在對B：當(dāng)x=e時，fx取得極大值為對C：由上分析可作出fx的圖象，要使方程f只需要y=m與fx有兩個交點(diǎn)，由圖可知，m∈所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,1對D：設(shè)曲線y=fx在x則切線斜率k=1?2lnx0x所以切線斜率k=13e故選：ACD.11．（6分）（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知曲線E:x2+yA．曲線E圍成圖形面積為8+4πB．曲線E的長度為4C．曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2D．曲線E上任意兩點(diǎn)間最大距離4【解題思路】通過分類討論去掉絕對值后，可畫出曲線E圖形，由圖可得答案.【解答過程】當(dāng)x>0,y>0時，曲線E:(x?1)當(dāng)x>0,y<0時，曲線E:(x?1)當(dāng)x<0,y>0時，曲線E:(x+1)當(dāng)x<0,y<0時，曲線E:(x+1)當(dāng)x=0,y=0時，曲線E為原點(diǎn).畫出曲線E的圖形，如圖所示.對于A，曲線E圍成的面積可分割為一個邊長為22的正方形和四個半徑為2故面積為22對于B，曲線E由四個半徑為2的半圓組成，故周長為2×2π對于C，如圖所示，因?yàn)樵c(diǎn)在曲線E上，所以最小值為0，故C錯誤；對于D，如圖所示，曲線E上任意兩點(diǎn)的連線過圓心及原點(diǎn)時，距離最大，最大為42故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·河北滄州·二模）已知F1,F2為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)，過【解題思路】利用給定條件，結(jié)合橢圓的定義、余弦定理建立關(guān)于a,c的等式，即可求出離心率.【解答過程】由MF1=3MF2=4又NF1+NF在△MF1F在△NF1F于是a24=4整理得2c2+a2=3ac所以E的離心率為e=10故答案為：105

13．（5分）（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線l:y=kx是曲線fx=ex+1和gx=ln【解題思路】先設(shè)在y=fx上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在y=gx上的切點(diǎn)，即可求出【解答過程】設(shè)直線l與曲線y=fx相切于點(diǎn)x由f′x=ex+1，得k=所以y0=ex0+1x設(shè)l與曲線y=gx相切于點(diǎn)x1,y1，由g因?yàn)閤1,y1是所以y1=e2x1,y1故答案為：3.14．（5分）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次n∈N*，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，Y=X，X為奇數(shù)0，X【解題思路】由題知X～B2n,13,Y=0,1,0,3,??0,2n?1,0，EY=【解答過程】由題知X～B2n,E=∵kC∵(2+1)(2?1)2n?1∴C故答案為：n3四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，記角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3a=(1)求角C；(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且AD=2DC，BC=6，BD=27，求△ABC【解題思路】（1）代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；（2）先確定DC長度，再確定AC，即可判斷三角形形狀，確定面積．【解答過程】（1）∵3a=3c∴3sin∵sin∴tanC=3，∴∠C=π（2）設(shè)DC=x，cosπ3=12當(dāng)x=2時，AC=6，C=π3當(dāng)x=4時，AC=12，AB滿足AB2+B16．（15分）（2024·甘肅酒泉·三模）已知雙曲線C:x2a(1)求雙曲線C的方程；(2)若雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，B(0,?b)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)E，M都在第一象限，△AFM的面積是△AEM面積的5倍，求直線l的斜率．【解題思路】（1）首先表示出雙曲線的漸近線方程，依題意可得ba=12，由點(diǎn)到直線的距離公式求出c，再由c=a（2）設(shè)l:y=kx，Ex1,y1，F(xiàn)?x1,?y1，Mx2,y2，由題意可知0<k<1【解答過程】（1）雙曲線C:x2a2?所以ba又焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，即c12+又c=a2+b2，所以a2=4（2）由（1）可得A2,0，B則直線AB的方程為y=1設(shè)l:y=kx，Ex1,y1，F(xiàn)?x由△AFM的面積是△AEM面積的5倍，可得FM=5EM，即所以x2由y=12x?1y=kx，消去y，可得由x24?y2=1y=kx由x2=32x1，可得當(dāng)k=526時x2所以直線l的斜率為52617．（15分）（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）在三棱臺DEF?ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M為AC的中點(diǎn)，P是CF上一點(diǎn)，且CFDF=MC(1)求證：CD⊥平面PBM；(2)若直線BC與平面PBM的所成角為π3，求平面EFM與平面PBM【解題思路】（1）只需分別結(jié)合已知條件證明DC⊥BM，DC⊥PM，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)CM=DF=λ，結(jié)合線面角公式求出參數(shù)λ，求出平面EFM與平面PBM的法向量，由向量夾角公式即可得解.【解答過程】（1）∵BA=BC，且M是AC的中點(diǎn)，則BM⊥AC．∵CF⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴CF⊥BM．又CF∩AC=C，CF，AC?平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，因?yàn)镈C?平面ACFD，∴DC⊥BM．①∵CFDF=MC∴△CFD∽△MCP，則∠PMC=∠FCD．∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∴在平面ACFD中DC⊥PM．②∵BM∩PM=M，BM，PM?平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM．（2）由題意得DM∥CF，CF⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC．由（1）可知BM⊥AC，故M為坐標(biāo)原點(diǎn)．如圖，以MB，MC，MD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．∵CFDF=∴CM=DF=λ，DM=CF=λ∴M0,0,0，Bλ,0,0，C0,λ,0∵AC=2DF，∴由棱臺的性質(zhì)得BC=2EF，∴ME=(由（1）可知平面PBM的一個法向量為CD，且CD=(0,?λ,∵直線BC與平面PBM的所成角為π3∴|cos即|?λ2|λ2?λλ∴平面PBM的一個法向量為CD，且CD=(0,?1,1)平面EFM的法向量為n=(x,y,z)∵M(jìn)E=(12n?ME=當(dāng)z=?1時，x=1，y=1．∴平面MEF的一個法向量為n=(1,1,?1)|cos∴平面EFM與平面PBM所成夾角的余弦值6318．（17分）（2024·重慶九龍坡·三模）已知函數(shù)fx=ln(1)當(dāng)x∈1,+∞時，函數(shù)fx(2)當(dāng)a=2時，若fx1+fx2(3)求證：對任意n∈N?，都有【解題思路】（1）分離參數(shù)，函數(shù)fx≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤lnxx（2）利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)a=2時，fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，不妨設(shè)0<x1（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，利用賦值及累加法即可證明.【解答過程】（1）當(dāng)x≥1時，fx即a≤lnxx令gx=lnxx令?x=x2?2當(dāng)x≥1時，?′x≥0恒成立，?x在所以g′x≥0在x∈1,+∞所以gx所以a≤2，即實(shí)數(shù)a的最大值為2.（2）當(dāng)a=2時，fx=ln所以f′x=1x又f1=0，fx1+f要證x1+x因?yàn)閒x在x∈0,+∞因?yàn)閒x1+f設(shè)F=ln[x2?x令t=x2?x，則0<t<1，則φt=由0<t<1可得φ′t>0，φ所以φt<φ1所以fx1+f（3）由（2）可知當(dāng)a=2時，fx在1,+∞單調(diào)遞增，且由lnx+12x2令x=n+1n，則2l