3.4—3.5圓周角與圓心角的關系學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________A卷（基礎鞏固）一、選擇題1．（2021—2022浙江金華九年級期中）下列命題中正確的有（）①平分弦的直徑垂直于這條弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③相等的弧所對的弦相等；④相等的弦所對的圓心角相等；⑤弦心距相等，則所對的弦相等；⑥直徑所對的圓周角為直角．A．1個 B．2個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據垂徑定理的推論、圓心角、弧、弦之間的關系、圓周角定理逐個判斷即可．【詳解】解：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，錯誤；②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，錯誤；③相等的弧所對的弦相等，正確；④在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，錯誤；⑤在同圓或等圓中，弦心距相等，則所對的弦相等，錯誤；⑥直徑所對的圓周角為直角，正確，綜上，命題中正確的有2個，故選：B．【點睛】本題考查垂徑定理的推論、圓心角、弧、弦之間的關系、圓周角定理，對基本概念定理的理解是解答的關鍵．2．（2021—2022浙江義烏市九年級期中）如圖，點A、B、C都在⊙O上，且點C在弦AB所對的優弧上，若∠ABO＝50°，則∠ACB的度數是（）A．20° B．40° C．30° D．50°【答案】B【分析】根據等腰三角形的性質求出∠AOB＝80°，再根據圓周角定理求出∠ACB的度數即可．【詳解】解：∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠ABO＝50°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和圓周角定理，解題關鍵是明確圓周角定理，準確運用求解．3．（2021—2022浙江臺州九年級期中）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，且∠ACB=35°，則∠AOB的度數是（）A．35° B．65° C．70° D．90°【答案】C【分析】根據圓周角定理即可得．【詳解】解：由圓周角定理得：，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．4．（2021—2022浙江衢州市九年級期中）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，則∠COB的度數是（）A．75° B．70° C．65° D．35°【答案】B【分析】直接根據圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，判斷即可．【詳解】解：∵∠BAC=35°，∴∠COB＝∠BAC＝，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理以及推論是解本題的關鍵．5．（2021—2022重慶市九年級期中）如圖，是的直徑，點在上，若，則的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓周角定理及直徑所對圓周角為求解．【詳解】解：為直徑，，，，，故選：B．【點睛】本題考查與圓有關的角度計算，解題關鍵是掌握同弧所對圓周角相等，直徑所對圓周角為．6．（2021—2022云南昆明市九年級期中）如圖，是⊙O的內接三角形，，，則弦的長為（）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】如圖，首先證得OA⊥BC；然后由圓周角定理推知∠C=30°，通過解直角△ACD可以求得CD的長度．則BC=2CD．【詳解】解：如圖，設AO與BC交于點D．∵∠AOB=60°，，∴∠C=∠AOB=30°，又∵AB=AC，∴，∴AD⊥BC，∴BD=CD，∴在直角△ACD中，CD=AC×=2×=，∴BC=2CD=，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，圓周角定理等知識點．推知△OAB是等邊三角形是解題的難點，證得AD⊥BC是解題的關鍵．7．（2021—2022黑龍江哈爾濱市九年級期中）如圖，AC是⊙O直徑，BC⊥AC于C，連接AB交⊙O于D，連接CD，AC＝8，tan∠BCD＝，則AB長為（）A．8 B．7 C．10 D．6【答案】C【分析】首先由AC是⊙O直徑，得到，然后根據同角的余角相等得到，進一步得到的正切值等于的正切值，然后可求出的余弦值，即可求出AB的長度．【詳解】∵AC是⊙O直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，即，又AC=8，∴BC=6，在中，．故選：C．【點睛】此題考查了三角形函數的運用，直徑所對的圓周角是90°等知識，解題的關鍵是根據題意求出．8．（2021—2022江蘇省南京市九年級期中）如圖，在中，直徑弦，若，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂徑定理得，由“等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半”推知，由三角形內角和定理求得，代入即可得到答案．【詳解】在中，直徑弦，，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．9．（2021—2022江蘇省常州市九年級期中）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BOD＝100°，則∠BCD的度數()A．130° B．100° C．80° D．50°【答案】A【分析】根據圓周角定理可得∠A=，及圓內接四邊形對角互補的性質∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°解答即可．【詳解】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∴∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°．故選A．【點睛】本題考查了圓周角定理及圓內接四邊形對角互補的性質，熟知圓周角定理及圓內接四邊形對角互補的性質是解題的關鍵．二、填空題10．（2021—2022北京四中九年級期中）在⊙O中，弦AB所對圓心角為140°，則弦AB所對的圓周角的度數是___________．【答案】70°或110°【分析】根據圓周角定理計算即可．【詳解】如圖，當角的頂點在優弧上時，∠ADB=∠AOB=70°；當角的頂點在劣弧上時，∠ACB=180°-∠ADB=110°；故答案為：70°或110°．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理，并靈活分類計算是解題的關鍵．11．（2021—2022山東濱城九年級期中）在半徑為2的⊙O中，弦AB為2，則弦AB所對的圓周角的度數為___．【答案】30°或150°【分析】弦所對的弧有優弧和劣弧，故弦所對的圓周角也有兩個，它們的關系是互補關系；弦長等于半徑時，弦所對的圓心角為60°，進而即可求解．【詳解】解：如圖，弦AB所對的圓周角為∠C，∠D，連接OA、OB，因為AB＝OA＝OB＝2，所以，∠AOB＝60°，根據圓周角定理知，∠C＝∠AOB＝30°，根據圓內接四邊形的性質可知，∠D＝180°?∠C＝150°，所以，弦AB所對的圓周角的度數30°或150°．故答案是：30°或150°．【點睛】若圓中的一條弦等于圓的半徑，則此弦和兩條半徑構成了等邊三角形；在圓中，弦所對的圓周角有兩個，不要漏解．12．（2021—2022福建省福州九年級期中）如圖在⊙D的內接四邊形ABCD中，點E在DC延長線上．若∠A＝40°，∠BCE＝___．【答案】40°40度【分析】根據圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠BCE=∠A=40°．故答案為40°．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角．13．（2021—2022江蘇溧陽九年級期中）如圖，在⊙O中，∠AOB＝50°，則∠ACB＝__________度．【答案】25【分析】根據圓周角定理即可求得．【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．14．（2021—2022浙江杭州市九年級期中）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知∠ADC＝140°，則∠AOC＝___．【答案】【分析】先根據圓內接四邊形的性質可得，再根據圓周角定理即可得．【詳解】解：四邊形內接于，且，，由圓周角定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形的性質是解題關鍵．15．（2021—2022江蘇溧陽九年級期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經過點A，C．D．與BC相交于點E，連接AC，AE．若∠ADC＝80°，則∠EAC的度數是_________．【答案】30°【分析】根據菱形的性質得到∠ACB=∠DCB=（180°∠D）=50°，根據圓內接四邊形的性質得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°∠D）=50°，∵四邊形AECD是圓內接四邊形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB∠ACE=30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形的內角和，圓內接四邊形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．16．（2021—2022陜西漢濱九年級期中）如圖，為的外接圓的直徑，若，則____________________【答案】40【分析】連接BD，根據直徑的性質可得∠ABD＝90°，由此可求得∠D＝40°，然后再利用圓周角定理即可得到∠ACB的度數．【詳解】解：如圖，連接BD，∵AD為的外接圓⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，又∵∠BAD＝50°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案為：40．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，直徑（或半圓）所對圓周角為直角，熟練掌握圓周角定理是解決本題的關鍵．三、解答題17．（2021—2022黑龍江樺南縣九年級期中）如圖，在⊙O中，．（1）若，求的度數；（2）若，，求⊙O的半徑．【答案】（1）30°；（2）【分析】（1）根據弧、弦間的關系可以得到，結合等腰三角形的性質解答；（2）如圖，延長交于，連接OB，則，構造直角三角形，通過勾股定理求得該圓的半徑即可．【詳解】（1）∵在中，，∴．∴．∴；（2）如圖，延長交于，連接OB，則，，∴在直角中，由勾股定理，得．在直角中，由勾股定理，得，解得，即的半徑是．【點睛】本題主要考查垂徑定理，弧、弦的關系，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握弧、弦的關系和垂徑定理．18．（2021—2022浙江九年級期中）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上任意一點，連接AD，AG，GD．（1）求證：∠ADC＝∠AGD；（2）若BE＝2，CD＝8，求圓O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）利用垂徑定理得到，然后利用同弧或等弧所對的圓周角相等即可證得；（2）連接，設，利用垂徑定理和勾股定理列出方程求得答案即可．【詳解】（1）證明：，，；（2）連接，設，，，，，在中，，解得：，圓的半徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理和垂徑定理等知識，解題的關鍵是掌握圓周角定理，綜合性較強，難度不大．19．（2021—2022江蘇無錫市九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD經過圓心O，連接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度數．【答案】（1）10；（2）【分析】（1）先根據，，設，則得出的長，再利用勾股定理列方程，解方程即可；（2）由，，結合直角三角形兩銳角互余可以求得結果；【詳解】解：（1），，，設，則又，，解得：，的半徑是10．（2），，，，．【點睛】本題考查了的是垂徑定理，圓周角定理，勾股定理的應用，直角三角形的兩銳角互余，掌握“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”是解題的關鍵．20．（2021—2022江蘇濱湖九年級期中）如圖1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB為直徑畫⊙O交AC于點D，E是線段AB上的動點，延長DE交⊙O于F點，連接AF．（1）如圖1，求∠F的度數：（2）如圖2，當AE＝AD時，求∠DFO的度數．

【答案】（1）40°；（2）15°【分析】（1）根據直角三角形的性質先求出∠BAC，連接DO，求出∠AOD，再根據圓周角的性質求出∠F；（2）連接DO，同（1）先求出∠AFD，根據AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根據等腰三角形的性質求出∠AFO，故可得到∠DFO的度數．【詳解】（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°∴∠BAC=50°，連接DO，∵AO=DO∴∠ADO=∠BAC=50°，∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°∴∠F=∠AOD=40°；（2）連接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°∵AE=AD∴∠AED==65°，∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，又AO=FO∴∠AFO=∠FAO=25°，∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．【點睛】此題主要考查圓內角度求解，解題的關鍵是熟知圓周角的性質、等腰三角形的性質和外角定理的運用．21．（2021—2022黑龍江哈爾濱市九年級期中）已知△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，連接AD，AC與BD交于點E．（1）如圖1，求證：∠ABD＋∠ACB＝90°；（2）如圖2，過點A作AG⊥BC，垂足為點G，AG交BD于點F，若EF＝ED，求證：AB＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點C作BD的平行線交AG的延長線與點H，交⊙O于點P，連接BH，若∠BHP＝45°，CH＝6，