2025屆黑龍江省部分重點高中高二上數學期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，在直線l上，則直線l一個方向向量為（）A. B.C. D.2．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.3．若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為9，則點P的縱坐標為（）A. B.C.6 D.74．設、是橢圓：的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.5．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.16．在等比數列中，，則的公比為（）A. B.C. D.7．已知數列滿足，其前項和為，，．若數列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.138．江西省重點中學協作體于2020年進行了一次校際數學競賽，共有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結論錯誤的是（）A.得分在之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在的概率為0.5C.這100名參賽者得分的中位數為65D.可求得9．若拋物線x＝﹣my2的焦點到準線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±10．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.11．設函數是定義在上的奇函數，且，當時，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.12．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是函數的導函數,,對任意實數都有,則不等式的解集為___________.14．已知函數在R上連續且可導，為偶函數且，其導函數滿足，則不等式的解集為___.15．直線l:y=-x+m與曲線有兩個公共點，則實數m的取值范圍是_______.16．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，設點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標18．（12分）設數列的首項，（1）證明：數列是等比數列；（2）設且前項和為，求19．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.21．（12分）在平面直角坐標系中，點到兩點的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設直線與交于兩點，為何值時？22．（10分）已知數列的前項和滿足（1）證明：數列為等比數列；（2）若數列為等差數列，且，，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.2、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結合直角三角形的勾股定理，列出關于的方程是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.3、D【解析】設出P的縱坐標，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準線方程為，P點到拋物線的焦點的距離等于到準線的距離，設點縱坐標為，則，解得：.故選：D4、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因為，所以，，所以所以答案選C.考點：橢圓的簡單幾何性質.5、A【解析】由題意可得，利用空間向量數量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.6、D【解析】利用等比數列的性質把方程都變成和有關的式子后進行求解.【詳解】由等比數列的等比中項性質可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.7、A【解析】根據題意和對數的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A8、C【解析】根據給定的頻率分布直方圖，結合直方圖的性質，逐項計算，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖，可得A中，得分在之間共有人，所以A正確；B中，從100名參賽者中隨機選取1人，其得分在中的概率為，所以B正確；D中，由頻率分布直方圖的性質，可得，解得，所以D正確.C中，前2個小矩形面積之和為0.4，前3個小矩形面積之和為0.7，所以中位數在[60，70]，這100名參賽者得分的中位數為，所以C不正確；故選：C.9、D【解析】把拋物線的方程化為標準方程，由焦點到準線的距離為，即可得到結果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點到準線的距離為2，即，解得.故選D.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，以及簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記拋物線的焦點到準線的距離為是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】根據已知條件可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.11、B【解析】根據當時，可知在上單調遞減，結合可確定在上的解集；根據奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結果.【詳解】，當時，，在上單調遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數，，為上的偶函數，在上的解集為，即在上的解集為；當時，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點睛】本題考查利用函數的單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，關鍵是能夠通過構造函數的方式，確定所構造函數的單調性和奇偶性，進而根據零點確定不等式的解集.12、B【解析】根據圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】令則，∴在R上是減函數又等價于∴故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構造函數的方法解不等式，即通過構造合適的函數，利用函數的單調性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構造函數；（2）對于，可構造函數14、【解析】由已知條件可得圖象關于對稱，在上遞增，在上遞減，然后分四種情況討論求解即可【詳解】因為為偶函數，所以的圖象關于軸對稱，所以的圖象關于對稱，因為，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，，所以等式的解集為故答案為：15、【解析】曲線表示圓的右半圓，結合的幾何意義，得出實數m的取值范圍.【詳解】曲線表示圓的右半圓，當直線與相切時，，即，由表示直線的截距，因為直線l與曲線有兩個公共點，由圖可知，所以.故答案為：.16、m≥6【解析】分別求出p，q成立的等價條件，利用p是q的充分條件，轉為當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因為，要使p是q的充分條件，則當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，令，則在上單調遞增，故當時取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用,考查函數的最值，考查轉化的思想，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設出直線AB的方程，把點、的坐標代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標公式求出點M的坐標，同理求出點的坐標，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標為，同理設，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點的坐標為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結論成立；（2）計算，利用并項求和法可求得.【小問1詳解】證明：對任意的，，則，且，故數列為等比數列，且該數列的首項為，公比也為，故.【小問2詳解】解：，所以，，因此，.19、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解析】（1）根據焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設，，，，將直線的方程與拋物線方程聯立消去，整理得，得到根與系數的關系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設，，，直線的方程為.與拋物線方程聯立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為20、（1）（2）【解析】（1）根據一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根據分式不等式的解法求得不等式的解集.【小問1詳解】不等式等價于，解得.∴不等式的解集為.【小問2詳解】不等式等價于，解得或.∴不等式的解集為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，解出可得橢圓的標準方程（2）設，，直線方程與橢圓聯立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數的關系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，可得橢圓