【壓軸必刷】2023年中考數學壓軸大題之經典模型培優案

專題7弦圖與垂直模型

解題策略

----------------------------------------------------Z

模型1:垂直模型

如圖：ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC.,結論：RtABCD^RtACAE.

模型分析

說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂

直求角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖形去求解.圖①和圖②就是

我們經常會見到的兩種弦圖.

三垂直圖形變形如圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的.

模型2：弦圖模型

如圖，在正方形ABCD中，8F_LCG,CG_1_DH.DHJ_AE,AE_L3EJ"：

△ABE^ABCF^ACDG^ADAH.

經典例題

【例1工（2021.全國.八年級專題練習）如圖I,正方形ABC。中，點。是對角線AC的中點，點P是線段

AO上（不與點A,O重合）的一個動點，過點尸作PELP8且PE交邊CD于點E.

DD

圖1圖2

(1)求證：PE=PB；

(2)如圖2,若正方形ABC。的邊長為2,過點E作EFLAC于點入在點P運動的過程中，P尸的長度是

否發生變化？若不變，試求出這個不變的值；若變化，請說明理由；

(3)用等式表示線段PC,PA,CE之間的數量關系.

【答案】(1)見解析；(2)在P點運動的過程中，尸尸的長度不發生變化.尸產的長為定值“；(3)PC=PA+

y/2EC.理由見解析.

【分析】(1)做輔助線，構建全等三角形，根據ASA證明ABMP即可求解.

(2)如圖，連接0B,通過證明△OBPWAFPE,得到PF=OB,則PF為定值是或.

(3)根據△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA=&PM，PC=&NC，整理可得結論.

【詳解】(1)證明：如圖①，過點P作MN〃A。，交A8于點M,交C。于點M

ZBPE=90°,

:.NMPB+NEPN=9Q°.

???四邊形ABCD是正方形,

；.NBAD=ND=90°.

■：AD//MN,

：.NBMP=NBAD=NPNE=ZD=90,

VZMPB+ZMBP^90°,

：./EPN=NMBP.

在RtZ\PNC中，ZPCN=45°,

??.△PNC是等腰直角三角形，

:?PN=CN,

:?BM=CN=PN,

:?/\BMP9ApNE(4SA),

：.PB=PE.

(2)解：在P點運動的過程中，PE的長度不發生變化.

?:點0是正方形ABCD對角線AC的中點，

???OBA.AC,

：.ZAOB=90Q,

???NAOB=NEFP=90°,

；?NOBP+NBPO=90°.

AZBPE=90°,

AZBP0+Z0PE=9()°,

：,/OBP=/OPE.

由(1)得PB=PE,

：./\OBP^/\FPE(A4S),

:?PF=OB.

VAB=2,△AB。是等腰直角三角形，???0B=，=?

???PF的長為定值企.

(3)解：PC=PA+aEC.

理由：如圖1,VZBAC=45°,

???/XAMP是等腰直角三角形，

：.PA=y[2PM.

由（1）知PM=NE,

PA=V2NE.

,/4PCN是等腰直角三角形，

二PC=V2/VC=V2（NE+EC）=&NE+mEC=PA+近EC.

【點睛】本題主要考查了四邊形綜合應用，通過對三角形全等的證明找出邊之間的關系，準確分析代換求

解是解題的關鍵.

【例2】.（2021?黑龍江?哈爾濱市第四十九中學校九年級階段練習）正方形A8CO中，點E、/在BC、CD

上，KBE=CF,AE與BF交于點G.

（1）如圖1,求證AELBF；

（2）如圖2,在GF上截取GM=GB,/M4O的平分線交CO于點H,交BF于點、N,連接CM求證：4V+CN

=&BN；

【答案】（I）見解析；（2）見解析；

【分析】（1）根據正方形的性質得AB=8C,/.ABC=乙BCD=90。，用SAS證明△4BE=△BCF,得MAE=

乙CBF,根據三角形內角和定理和等量代換即可得；

（2）過點B作BH1BN,交AN于點”，根據正方形的性質和平行線的性質，用SA5證明A4GB三AAGM,

得NB4G=NM4G,根據角平分線性質得4BHA=NGAN=45。，則△“BN是等腰直角三角形，用SAS證明

△ABHaCBN,得AH=CN,在RtAHBN中,根據勾股定理即可得；

【詳解】解：（1）???四邊形A8C。是正方形，

：.AB=BC,Z.ABC=乙BCD=90°,

在AABE和ABCF中，

AB=BC

/.ABE=Z.BCF

BE=CF

：.^ABE=△BCF(SAS),

：.Z.BAE=乙CBF,

\^AEB+Z.BAE=180°-/-ABC=180°-90°=90°,

：.Z.AEBZ.CBF=90°,

:,乙EGB=180°-^AEB+乙CBF)=180°-90°=90°,

：.AELBF；

(2)如圖所示，過點8作BH18N,交.AN于點、H,

.四邊形ABCD是正方形，

乙

：.AB=ACfZ.ABC=HBN=90°,

■:乙HBN=Z.HBA+乙ABN=90°,

/.ABC=乙CBN+乙ABN=90°,

?"HBA=乙CBN,

由(1)得，AEJ.BF,

：.Z.AGB=zL4GM=90°,

:?乙HBG=Z.AGM=90°,

:.HBL

：./LBHA=乙EAN,

在△AGB和△4GM中，

AG=AG

乙4GB=乙4GM

GB=GM

A△AGB=^AGM(SAS),

"BAG=〃MG,

〈AN平分4ZX4M,

：.Z.DAN=Z.MAN,

，乙BAG+乙MAG+乙MAN+Z.DAN=90°,

2/-MAG+2乙MAN=90°,

Z.MAG+乙MAN=45°,

LGAN=45°,

：.2LBHA=乙GAN=45°,

:.乙BNH=180°一乙HBN-Z.BHA=180°—90°-45°=45°,

是等腰直角三角形，

:?BH;BN,

在△/8”和4CBN中,

BH=BN

乙HBA=乙CBN

AB=CB

：.△ABHw&CBN(SAS),

:?AH=CN,

在RtAHBN中,根據勾股定理

HN=y/BH2+BN2=yflBN，

??AN+CN=AN+AH=HN=&BN;

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線，等腰直角

三角形的判定與性質，勾股定理和銳角三角函數，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點.

【例3】.(2021?云南曲靖?八年級期末)如圖1,在正方形/8C0中，E為8C上一點，連接AE,過點8作14E

于點H,交CD于點、G.

（1）求證：AE=BG；

（2）如圖2,連接4G、GE,點M、N、P、Q分別是AB、AG,GE、EB的中點，試判斷四邊形MNPQ的形

狀，并說明理由；

（3）如圖3,點尸、R分別在正方形ZBCD的邊AB、CD上，把正方形沿直線FR翻折，使得BC的對應邊B'C'恰

好經過點4過點Z作/O_LFR于點。，若4夕=1,正方形的邊長為3,求線段OF的長.

【答案】（I）見解析；（2）四邊形MNPQ為正方形，理由見解析；（3）平

【分析】（1）由四邊形4BCD為正方形，可得41BC=乙BCD=90°,推得乙4BG+4CBG=90°,由BG_L4E,

可得NB4E+44BG=90°,可證△48E三△BCGQ4s4）即可；

（2）M、N為AB、4G中點，可得MN為△48G的中位線，可證MN〃BG,MN=”G,由點M、N、P、Q分

別是48、4G、GE、EB的中點，可得P。是△BEG的中位線，M。為△ABE的中位線，NP為A4EG的中位線，

可證PQ〃8G,PQ=^BG,MQ//AE,MQ=^AE,NP//AE,NP=^AE,可證四邊形MNPQ為平行四邊形.再

證四邊形MNPQ為菱形，最后證MN_LMQ即可；

（3）延長40交BC于點S,由對稱性可得8F=8'尸，AB'=BS=1,AO=SO,由勾股定理可求4s=同,

可得40=14S=叵，設AF=x,在RtAAB'F中，拶+（3一支）2=/,解得％=三，在RtA4。尸中，可求

O八F17=—國?

6

【詳解】（1）證明：???四邊形48CD為正方形，

Az?lBC=zBCD=90o,

???乙4BG+/CBG=90°,

VBGli4F,

，ZAHB=90°,

：.^BAE+AABG=90°,

：.^BAE=“BG,

在△48后與4BCG中，

ZBAE=乙CBG

AB=BC,

.AABC=乙BCD

：.△ABE=△BCG^ASA),

：.AE=BG.

(2)解：四邊形MNPQ為正方形，理由如下：

：M、N為AB、AG中點，

為A/IBG的中位線，

C.MN//BG,MN=：BG,

?.?點M、N、P、Q分別是48、AG.GE、EB的中點，

是aBEG的中位線，M。為A4BE的中位線，NP為△4EG的中位線，,

：.PQ//BG,PQ=\BG,MQ//AE,MQ=\AE,NP//AE,NP=^AE,

:.MN=PQ,MQ=NP,

???四邊形MNPQ為平行四邊形.

'：AE=BG,

：.MN=MQ,

.,?四邊形MNPQ為菱形，

'：BG1AE,MQ//AE,

：.MQ1BG,

\'MN//BG,

：.MN1MQ,

二四邊形MNPQ為正方形.

(3)解：延長40交BC于點S,

由對稱性可知

BF=B'F,AB'=BS=1,AO=SO,

在RtzMBS中,

4s=7AB2+BS2=V10，

?.iVio

--AOn=-AS=—?

22

設4F=x,則BF=B'F=3—x,

在Rt△4B'F中，

I2+(3-x)2=x2,

5

x=?

.MF=￡

在RtA/lOF中，

OF=>/AF^-AO2=J(|)2-(v)2=萼

【點睛】本題考查正方形性質與判定，等角的余角性質三角形全等判定與性質，三角形中位線判定與性質，

勾股定理，根據勾股定理建構方程，解拓展一元一次方程等知識，掌握以上知識是解題關鍵.

【例4】.(2021?河南商丘?八年級期中)在平面直角坐標系中，點4的坐標為(4,0),點8為y軸正半軸上的一

個動點，以B為直角頂點，4B為直角邊在第一象限作等腰RA4BC.

圖1圖2圖3~

(1)如圖1,若0B=3,則點C的坐標為；

(2)如圖2,若。B=4,點。為。4延長線上一點，以。為直角頂點，BD為直角邊在第一象限作等腰MABOE,

連接4E,求證：AELAB；

(3)如圖3,以B為直角頂點，0B為直角邊在第三象限作等腰RA08F.連接CF,交y軸于點P,求線段BP的

長度.

【答案】⑴點C(3,7)：

(2)證明見詳解過程；

(3)2.

【分析】(1)如圖1,過點C作CH_Ly軸，由“AAS”可證AABO會△BC“，可得C”=O8=3,BH=AO=4,可

求解；

(2)過點E作軸于F,由“AAS”可證可得80。尸4=,OD=EF,由等腰直角三角形

的性質可得/區4。=45。，ZEAF=ZAEF=45°,可得結論；

(3)由(1)可知I"80g△BCG,可得BO=GC,AO=BG=4,再由“AAS”可證2kCPG絲△FPB,可得PB=PG=2.

⑴

如圖1,過點C作CHLy軸于H,

???ZCHB=ZABC=ZAOB=90°,

JZBCH+ZHBC=900=ZHBC+AABO,

/./ABO=/BCH,

在448。和4BCH中,

(乙CHB=Z-AOB

=Z.ABO,

(BC=AB

:./XABOtABCH(AAS),

：.CH=OB=39BH=AO=4f

：.0H=7,

，點、C(3,7),

故答案為：(3,7)；

(2)

過點E作EF_Lx軸于凡

???/BDO+/EDF=900=/BDO+NDBO,

:./DBO-EDF,

在小BODaiA。產E中,

(/.BOD=乙EFD

\^DBO=乙EDF，

(BD=ED

：./\BOD^ADFE(AAS),

：.BO=DF=4,OD=EF,

???點A的坐標為(4,0),

???04=08=4,

???ZBA045°,

*/0A=DF=4f

J0D=AF=EFf

：.ZEAF=ZAEF=45°f

：.NBAE=90。,

：.BA.LAE；

(3)

過點C作。G，y軸G,

:?BO^GC,A0=BG=4,

?:BF=B0,N086=90。，

:?BF=GC,NCGP=NFBP=90。,

又?：NCPG=/FPB,

:'△CPG妾4FPB(AAS),

:.BP;GP,

：.BP=-BG=2.

2

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，添加恰

當輔助線構造直角三角形是本題的關鍵.

【例5】.（2021?黑龍江?哈爾濱市風華中學校九年級階段練習）如圖1,正方形ABC。中，點E是邊BC延長

線上一點，連接。E,過點B作垂足為點F,8F與CO相交于點G.

（1）求證：&BCG44DCE；

（2）如圖2,連接B。，若BE=4&,DG=2&,求的值.

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）!

【分析】（I）由正方形的性質結合已知條件，利用4sA判定三角形全等即可；

（2）過點G作G//L8Q垂足為“，由全等求得CG=CE,進一步結合圖形求得BC和CG的長，然后在

RTABQC中求得G”和的長，最后在RTABHG中,利用tan/QBG=^,即可求得答案.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是正方形，

???NBCG=NDCE=90。，BC=CD,

■:BF1.DE,

.\ZDFG=ZBCG=90°,

?:/BGC=/DGF,

：.ZCBG=ZCDE.

LCBG=乙CDE

在和△QCE中，BC=CD

/BCG=Z-DCE

:?△BCGW4DCE,

（2）解：過點G作垂足為H,

AD

VABCG^ADCE,

:?CG=CE,

,:BE=BC+CE=4&,DG=CD-CG=2班,

:.BC=CD=3五,CG=CE=y[2,

在???△BDC中，

VZBCD=90°,

:.BD=、CD2+元=]（3夜）2+（3?2=6）

?:NDHG=45。,NDHG=9。。,DG=2y[2,

...”=sin45°=它,

DG2

:?DH=2,

:?GH=DH=2,

?:BH=BD-DH,

，8”=6-2=4,

在R72BHG中,

■:NBHG=90。,

AtanZDBG=—,

BH

/.tanZDBG=-

2

【點睛】本題考查三角形全等的證明，直角三角形中銳角三角函數的定義等相關知識點，熟練掌握數形結

合思想解題是重點.

培優訓練

_________________________y

一、解答題

1.（2022?江蘇?八年級課時練習）如圖1,在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,RAD1MN

TD,

圖1圖2圖3

(1)由圖1,證明：DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，請猜想出OE,AD,BE的等量關系并說明理由；

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE,AD,BE又具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量

關系(不必說明理由).

【答案】(1)證明見解析；(2)DE=AD-8E,證明過程見解析；(3)DE=BE-4D,證明過程見解析

【分析】⑴先證明△4OC四△CE8,得至IJAO=CE,DC=BE,進而得到DE=CE+OC=4￡)+BE即可；

(2)同(1)中思路，證明△4OC絲△CE8,進而得至ljDE=CE-Z)C=AO-8E即可；

(3)同(1)中思路，證明AAOC絲△CEB,進而得到QE=OC-CE=BE-A。即可.

【詳解】解：(1)證明：在AABC中，：乙4cB=90。，

：.Z.ACD+Z.BCE=90°,

,：AD1MN,

C.Z.ACD+/.CAD=90°,

"BCE=/.CAD,

又=BC,/.ADC=乙CEB=90。，

A△ADCCEB(4AS),

：.AD=CE,DC=BE,

?直線MN經過點C,

：.DE=CE+DC=AD+BEi

(2)DE,AD,BE的等量關系為：DE=AD—BE,理由如下：

J.MN于。，BEJ.MN于E

：./-ADC=乙BEC=乙4cB=90°,

：.Z.CAD+/.ACD=90°,Z.ACD+乙BCE=90°,

：.Z.CAD=乙BCE,

I/.CAD=乙BCE

在^ADC^ALCEB中=乙BEC=90°,

(AC=CB

：.^ADC=△CEB(AAS)

：.CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)當MN旋轉到圖3的位置時，DE.AD,BE所滿足的等量關系是。E=BE-AC,理由如下：

?.,4DJ.MN于。，BEJ.MN于E

J./.ADC=乙BEC=/.ACB=90°,

：.Z.CAD+^.ACD=90°,/.ACD+/.BCE=90°,

：.^CAD=乙BCE,

乙CAD=乙BCE

在^TlDCfilACEB中'Z.ADC=乙BEC=90°,

AC=CB

：.△ADCCEB(AAS)

：.CE=AD,CD=BE,

.,.DE=CD-CE=BE-AD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性質及等角的余角相等等知識點，熟練掌

握三角形全等的判定方法是求解的關鍵.

2.(2022?全國?八年級專題練習)如圖所示，AABC中，AB=AC,ZB47=90。，點。為48上一點，過點B作

直線CC的垂線，垂足為E,連接4E,過點4作AE的垂線交CE于點F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求乙4EC的度數：

(2)如圖2,連接BF,且乙4BF-NE4B=15。，求證：BF=2CF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，G為CF上一點，連接4G,若="BF,AG=2,求CF的長.

【答案】(1)45°；(2)見解析；(3)2

【分析】(1)先證明4應48=Z.FAC,匕AEB=乙4FC,再證明△4BE三△兒:凡再利用全等三角形的性質結合等

腰直角三角形的性質可得答案；

(2)利用全等三角形的性質先求解4EB尸=60。，證明BE=C凡再求解乙EFB=30。，從而可得結論；

(3)如圖，過4作AM1EF于M,交BF于N,連接EN,證明△BEN為等邊三角形，再證明△AGM三/kENM,

再利用全等三角形的性質可得答案.

【詳解】解：(1)vZ-BAC=90°,AE1AF,

+乙

???Z.EAB+Z.DAF=ADAFFAC=90°f/.EAF=90。，

:.Z.EAB=Z.FAC,

vBE1CE,

???乙BED=90。，

:.Z-AEB=乙BED+LAEF=90°+/LAEF=Z.AFC,即N4EB=Z.AFC,

???△ABE=△ACF,

???AE=AFfZ.AEC=45°.

(2)???△ABE三2ACF,

^ABE=/LACFfBE=CFt

???Z.AEB=Z.AFC=90°+45°=135°,

??.LEBA+乙EAB=45°,

vUBF-LEAB=15°,

:.乙ABF=15°+/.EAB,

???乙EBF=Z.EBA+Z.ABF=Z.EBA+Z.EAB+15°=60。，

???乙BFE=90°-60°=30°,

：.BF=2BE,

TBE=CF,

:?BF=2CF.

BC

圖2

(3)如圖，過4作4MJ_EF于M,交BF于N,連接EN,

圖3

-AE=AF,AM1EF,AE1AF,

???EM=MF=AM,NE=NF,

???乙NEF=乙NFE=30°,

???乙ENB=乙NEF+乙NFE=60°,

???乙EBN=乙ENB=60°,

:.△BEN為等邊三角形,Z.ENF=120°,

??.BE=BN=*F=FN=EN,

乙

???/.AGD=EBF=60°,AM1EFt

???乙ENM=三乙ENF=60。，

乙乙

???AM=EMfZ.AMG=EMN=90°,AAGM=ENM=60°,

ALAGM三2ENM,

：.AG=EN=2,

：.CF=BE=2.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊

的一半，等邊三角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，熟練的應用以上知識解題的關鍵.

3.(2020?北京市第十三中學九年級期中)已知：心zkABC中，ZACB=90°,AC=BC.

、X

B

B

圖1圖2

（1）如圖1,點。是BC邊上一點（不與點B,C重合），連接AD,過點8作BELAO,交AO的延長線于

點E,連接CE.

①若NBAD=a,求NDBE的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示線段E4,EB和EC之間的數量關系，并證明.

（2）如圖2,點。在線段BC的延長線上時，連接AZ）,過點B作BELA。，垂足E在線段A￡>上，連接CE.

①依題意補全圖2；

②直接寫出線段EA,EB和EC之間的數量關系.

【答案】（1）①NOBE=45°-a；②AE-BE=近EC,證明見解析;（2）①補全圖形見解析;②E8-EA=近EC.

【分析】（1）①根據等腰直角三角形的性質得到NC48E5。，即可求出/。。=45。-心根據三角形的內角

和即可求出/DBE=ZCAD=45°-a；

②過點C作C7?J_CE交AE于R,然后證明△ACRg/\BCE,得到AR=BE,CR=CE,即可得到ACER是等

腰直角三角形，ER=&CE,由此即可求解；

（2）①根據題目要求作圖即可；

②過點C作CELCE,交A力的延長線于點尺根據三角形的內角和定理得到/CAF=NCBE,證明

△根據全等三角形的性質有4F=BE,CF=CE.根據等腰直角三角形的性質有EF=VlEC.則有

AF-EA=>/2EC,即可求出線段EA,EB和EC之間的數量關系.

【詳解】解：（1）①如圖1中，

VZACB=90°,AC^BC,

：.NC48=45。，

'：ZBAD=a,

：.ZCAD=45°-a.

?.?NAC8=90。，BE±AD,NADC=NBDE,

：.NDBE=ZCAD=45°-a：

②結論：AE-BE=y/2EC.

理由：如圖，過點。作CRJ_CE交4E丁R.

，NAC3=NHCE=90。,

???/ACR=/BCE,

VZCA7?+ZADC=90°,NCBE+NBDE=90。,NADC=NBDE,

:?NCAR=NCBE,

在仆AC/?^ABCE中，

LACR=乙BCE

CA=CB,

Z.CAR=乙CBE

:?△ACR9XBCE(ASA),

:?AR=BE,CR=CEt

??.ACER是等腰直角三角形,

:,ER=\p2.CEi

圖2

②猜想：當。在5C邊的延長線上時，EB-EA=V2￡C；理由如下:

過點C作。ELCE,交AD的延長線于點F,

如圖3所示：則NEC尸=90。，

D

圖3

VNAC8=90。，

：.ZACD=90°,

：.NECF+NACE=ZACB+ZACE,

即NACF=NBCE,

VZCAF+/A￡>B=90。,ZCBE+ZADB=90°,

:.NCAF=NCBE,

在443和48慮中，

(AACF=乙BCE

AC=BC,

{/.CAF=4CBE

.?.△AC?/XBCE(ASA),

:.AF=BE,CF=CE.

'：NECF=90。,

.?.△CE尸是等腰直角三角形，

：.EF=yf2EC,

BPAF-EA=近EC.

：.EB-EA=五EC.

【點睛】考查等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理，全等三角形的判定與性質等，難度一般，掌

握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

4.(2021.四川省成都市七中育才學校七年級期中)已知：AABC中，/.ACB=90°,AC=CB,D為直線BC上

一動點，連接4D,在直線AC右側作4EJ./W,且AE=AD.

E

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當點。在線段BC上時，過點E作EH14C于“，連接DE.求證：EH=AC；

(2)如圖2,當點。在線段BC的延長線上時，連接8E交C4的延長線于點M.求證：BM=EM；

(3)當點。在直線CB上時，連接BE交直線4c于M,若24c=5CM,請求出受也的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)g或T

【分析】(1)由“A4S'可證△/1///三△DC4,可得EH=AC,即可求證；

(2)過點E作EN_LAC,交CA延長線于N,由“44歹可證△ANE三△CCA,可得AC=EN=BC,由“44戶可證

AENM三4BCM,可得BM=EM-,

(3)AC=Sa,CM=2a,分三種情況：當點Q在線段BC上，點。在線段8c的延長線上，點。在線段

CB的延長線上，由全等三角形的性質可求得相應線段的長，再由三角形的面積公式可求解.

【詳解】證明(I)'：AELAD,44cB=90。，

4EAH=90°-4CAD,^ADC=90°-/.CAD,

???/LEAH=/ADC,

在ZkAHE與ADC4中

/.AHE=4ACB=90°

Z.EAH=Z.ADC,

AE=AD

.*.△AHE三△DCA(4/S),

AEH=AC；

(2)如圖2,過點E作EN_LAC,交CA延長線于N,

圖2

9：AE1AD,/LACB=90°,

J乙EAN=90°-乙CAD,/.ADC=90°-^CAD,

???cEAN=乙4DC,

在△/可后與^D&4中，

^ANE=Z-DCA=90°

乙ENA=Z.ACD

AN=AD

???△4NEmADC4(>L4S),

：?EN=AC,

又??FC=BC,

???EN=BC,

又在△ENM與ABCM中，

乙EMN=乙BMC

乙N=乙BCA=90°

EN=BC

/.△ENM=△BCMQ44S),

則=EM；

(3)如圖，當點。在線段BC上時,

V2AC=5cM,

，可設AC=5a,CM=2a,

由(1)得：AAHEDCA,

則AH=CD,EH=AC=BC=5a,

由VzFWM=乙BCM=90°,4BMC=乙EMH,

?MMHEWAMCB(AAS),

/.CM=HM,

即HM=CM=2a,

：.AH=AC-CM-HM=5a-2a-2a=a,

：.AM=AH+=3Q,CD=AH=a,

EH=AC5a,

BD=BC-CD=4a,

S&ADB=』"AC=*ax5a=土

S“EM-^AMXEH-iX3ax5a-3'

如圖，點。在C8延長線上時，過點E作ENJ.4C,交4c延長線于N,

；?可設4C=5a,CM=2a,

■:EN工AC,AELAD,

，乙ANE=LEAD=LACB=90°,

???Z.EAN=90°一乙CAD,Z.ADC=90°-^CAD,

???乙EAN=乙4DC,

在△ANE與△OCA中，

LANE=Z.DCA=90°

乙ENA=乙ACD

AN=AD

/.△ANE=^DCA(AAS)f

：,EN=AC,AN=CD,

又24c=BC,

???EN=BC,

又在△ENM與中，

乙EMN=乙BMC

乙N=乙BCA=90°

EN=BC

.*.△ENM三△BCM（44S）,

/.CM=NM=2a,

NE=BC=AC=Sa,

：.AN=AC+CM+MN=9a,

AM=AC+CM=7a,

AN=CD=9a,

:?BD—4Q,

?S^ADB_\BDXAC_^X4ax5a_4

?,*-1-7=1,

S—EM-AMXEN-x7ax5a7

點。在BC延長線上

由圖2得：AC<CM,

：.2AC=5cM不可能，故舍去

綜上：受也的值為？或:

37

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助

線構造全等三角形是本題的關鍵.

5.（2022?江蘇?八年級課時練習）在AABC中，AB=BC,NB=90。，點。為直線8c上的一個動點（不與

B、C重合），連結A。，將線段4。繞點力按順時針方向旋轉90。，使點A旋轉到點E,連結EC.

（1）如果點。在線段BC上運動，如圖I：求證：/.BAD=/.EDC

（2）如果點O在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關系.通過觀察、交流，小明形成了以下的解題

思路：過點E作EF_LBC交直線BC于F,如圖2所示，通過證明△OEF三△4BO,可推證△CEF等腰直角

三角形，從而得出AC與CE的位置關系，請你寫出證明過程.

（3）如果點。在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結論是否仍然成若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）垂直，理由見解析；（3）成立，證明見解析

【分析】（1）根據直角三角形的性質證明即可；

（2）過點E作EFJLBC交直線8c于凡如圖2所示，通過證明△DEF三△48。，可推證ACEF等腰直角三

角形，從而得出4c與CE的位置關系；

（3）如圖3所示，過點E作EF1DC于F,證明AABD三ZkOFE,進一步可證明4c1EC

【詳解】解：（1）證明：=90。

：.^BDA+^BAD=90°

9：Z.ADE=90°

???48D4+4EDC=90。

"BAD=乙EDC

BDC

圖1

（2）垂直

BDCF

圖2

'：EF1BC

LEFD=90°

?:乙B=90°

:?乙EFD=乙B

在和△/)/￡■中

ZBAD=乙FDE

乙B=Z.DFE

.AD=DE

：.△ABD三△OFEQL4S)

：.AB=DF,BD=EF

9：AB=BC

：.BC=DF,

：.BC-DC=DF-DC

即80=CF.

：.EF=CF

又,；MFC=90°

：.Z.ECF=45°,且乙4c8=45。

：.Z.ACE=180°-90°=90°

即AC1CE.

(3)(2)中的結論仍然成立

如圖3所示，過點E作EF_LDC于尸

?；乙ABD=90°

:,(EDF=/.DAB=90°-Z-ADB

在△ABO和△/)?￡■中

Z.DAB=乙EDF

Z-ABD=Z.DFE

AD=DE

：.△ABDDFEiAAS)

：.DB=EF,AB=DF=BC

：.BC-BF=DF-BF

即FC=DB

：.FC=EF

:.乙DCE=45°

，乙4CE=4DCE+乙4cB=90°

：.AC1EC.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，證明△48。三ADFE

是解本題的關鍵.

6.(2021?黑龍江?哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試)如圖，已知△力BC中，AB=AC,^BAC=90°,

分別過B、C向過4的直線作垂線，垂足分別為E、F.

(1)如圖1,過4的直線與斜邊BC不相交時，直接寫出線段EF、BE、CF的數量關系是；

(2)如圖2,過4的直線與斜邊BC相交時，探究線段EF、BE、C尸的數量關系并加以證明；

(3)在(2)的條件下，如圖3,直線凡4交BC于點H,延長BE交4c于點G,連接BF、FG、,若乙4HB=4GHC,

EF=CF=6,EH=2FH,四邊形4BFG的面積是90,求4G"C的面積.

【答案】(1)數量關系為：EF=BE+CF；⑵數量關系為：EF=BE-CF.證明見詳解；(3)S^GHC=15.

【分析】(1)數量關系為：EF=BE+CF.利用一線三直角得到NBEA=NAFC=90。，ZEBA=ZFAC,再證

△EBA^/^FEC(A45)可得BE=AF,AE=CF即可；

(2)數量關系為：EF=BE-CF.先證/8￡4=NAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC^=90°,可得

NEBA=NFAC,再證△E&4絲ZXFEC(A4S),可得BE=AF,AE=CF即可；

(3)先由(2)結論EF=BE-CF；EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FH=2,EH=4,利

用對角線垂直的四邊形面積可求BG=^_^_15,再求EG=3,A〃=10,分別求出S"CF=；AF-FC.36,

AF-12-2-

S^HCF含HF?FC=6,SLAGH^AH?EG=15,利用面積差即可求出.

【詳解】解：(1)數量關系為：EF=BE+CF.

?；BELEF,CF±EF,ZBAC=90°,

AZBEA=ZAFC=9009NEBA+NEA8=90。，ZEAB+ZMC=180°-ZBAC=90°,

；?NEBA=NFAC,

在△E8A和△尸EC中，

(/.AEB=Z.CFA

y\z-EBA=^FAC,

(AB=CA

:AEBA2FAC(/LAS),

?：BE=AF,AE=CFf

：.EF=AF+AE=BE+CF；

(2)數量關系為：EF=BE-CF.

*：BELAF,CFLAF,NBA090。，

AZBE4=ZAFC=90°,ZEBA+ZE4B=90°,ZE4B+ZMC==90°,

???ZEBA=ZFAC9

在△EBA和△FEC中，

Z-AEB=4CFA

*：\/,EBA=乙FAC,

AB=CA

:?△EBA絲〉FAC(A4S),

?：BE=AF,AE=CF,

：.EF=AF-AE=BE-CF；

(3)9：EF=BE-CF；EF=CF=6,

.??BE=AF=EF+CF=6+6=12,

EH=2FH,EH+FH=EF=6,

：.2FH+FH=6,

解得FH=2,

：.EH=2FH=4f

S舉形ABFG=^AF-BG=90,

?2x90180._

??fj\j-_—~15,

AF-12—

，EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE-^-EH=6+4=10,

VSAACF=ii4F-FC=|xl2x6=36,SAHCF當HF-FC=|x2x6=6,SAAGH=^AH-FG=1X10X

3=15,

ASAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.

【點睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應用，三角形全等判定與性質，三角形面

積，四邊形面積，與三角形高有關的計算，掌握圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應用，三角

形全等判定與性質，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關的計算是解題關鍵.

7.(2021?江蘇泰州?八年級期末)如圖，正方形A8CD邊長為4,點G在邊4。上(不與點4、。重合)，BG

的垂直平分線分別交A8、CD于E、F兩點，連接EG.

(1)當AG=1時，求EG的長；

(2)當AG的值等于時，BE=8-2DF；

(3)過G點作GMJ_EG交C￡)于M

①求證：GB平分NAGM；

②設AG=x,CM=y,試說明^一：一2-1的值為定值.

xy

BC

【答案】（1）（2）8-4次（3）①見解析；若一^一；-1=0,理由見解析

【分析】（1）根據EF是線段BG的垂直平分線，BE=EG,設EG=EB=x,貝I」A￡=AB-BE=4-x,再由勾股定理

求解即可：

（2）過點尸作于，，連接尸8,FG,由8E=8-2。尸，CF=CD-DF=4-DF,得至lj8E=2CF,先證明四

邊形BCFH是矩形，得至ijCF=HB，則BH=EH=FC,設AG=x,BE=y,則AE^4-y,GD=4-x,CF^y,OF=4-jy

2222222

由AE2+4。2=EG2,GD+DF=GF,BC+FC=BF,可以得到（4一y）2+/=產①，（4-x）+

（4一=42+gy）②，聯立①②求解即可得到答案；

（3）①先證明NE8G=NEG8,然后根據48G+N4G8=90。，NEG8+NBGM=90。，即可得到NAG8=NBGM；

②連接BM,過點B作BH±GM,由角平分線的性質得到BH=AB=4,由S正方形ABCD=SAABC+S^MBG+S^BCM+

SACDM=4x4=16,可以得至lj2x+2GM+2y+44-%）（4-y）=16，由勾股定理可以得到DM?+G。？=

GM2即（4-x）2+（4-y）2=（4-今）2,最后解方程即可得到答案.

【詳解】解：（1）YEF是線段BG的垂直平分線，

：.BE=EG,

?.?四邊形ABC。是正方形，且邊長為4,

：.AB^4,ZA=90°,

設EG=EB=x,則AE=AB-BE=4-x,

'：AE2+AG2=EG2,

.,.（4-x）2+l2=x2,

解得x=/

o

???EG/

__苧___________z>

EV

BC

(2)如圖所示，過點尸作連接F3,FG

,.?石尸是線段BG的垂直平分線，

:.BF=FG,

VBE=8-2DF,CF=CD-DF=4?DF,

：?BE=2CF,

??,四邊形ABC。是正方形，FHA.AB,

：.ZHBC=ZC=ZBHF=90°t

???四邊形8CF77是矩形，

:.CF=HB,

:?BH=EH=FC,

設AG=xfBE=yf則A￡=4-y,GD=4-x,CF=|y,DF=4—

9222222222

：AE+AG=EG,GD+DF=GF,BC+FC=BFf

222

?**(4-y)4-%=p①，(4一xy+(4_1)=4-Fgy)②,

聯立①②解得久=8-46或%=8+48(舍去)，

/.當月G=8-4舊時,BE=8-2DF,

故答案為：8-473:

(3)①???￡/是線段BG的垂直平分線,

:?EG=BE,

：.NEBG=NEGB,

??,四邊形ABC。是正方形，EG1GM,

：.ZA=ZEGM=WQ,

???NABG+NAG8=90。，NEGB+NBGM=90。,

，ZAGB=ZBGM,

平分NAGM；

②如圖，連接BM,過點8作

由(3)①得BG平分/AGM,

*/AG=x,CM=y9

/.DG=4-x,￡)M=4-y,

?S正方形ABCD=S?ABG+SAMBG+S&BCM+SACDM—4x4=16,

liii

：.-AG?4B+士GM?8H+士CM?BC4--DM?GD_16,

2222—

/?2x+2GM+2y+-(4—x)(4—y)__16,

：.GM=4一?，

4

\'DM2^GD2=GM2,

(4-x)2+(4-y)?=(4-^)2

；?16—8%+/+16—8y+y?=16—2xy+^―

16

(x+y)2—8(%+y)+16=上匕，

16

(x+y-4)2=

：.x+y-4=±^-,

當x+y-4=節時，貝lj4%+4y—16=%y,

??.y=?二竺=4(不符合題意)，

4—X

**.4x+4y—16=—xy

Axy---x--y-1=0.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角

形的性質與判定，三角形的面積等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

8.