甘南市重點中學2025屆高一數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.2．已知是第四象限角，是角終邊上的一個點，若，則（）A.4 B.-4C. D.不確定3．圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是（）A.2 B.1＋C.2＋ D.1＋4．表面積為24的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是A. B.C. D.5．已知，則（）A.－3 B.－1C.1 D.36．已知集合，，若，則的子集個數為A.14 B.15C.16 D.327．設全集，，，則（）A. B.C. D.8．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的半徑為（）A. B.C. D.9．已知冪函數的圖象過點，若，則實數的值為（）A. B.C. D.410．定義在上的奇函數，當時，，則的值域是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知平面向量，，若，則______12．已知扇形的半徑為4，圓心角為，則扇形的面積為___________.13．將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是__________14．已知集合，，則集合中的元素個數為___________.15．已知函數f（x）=sin（ωx+）（其中ω＞0），若x=為函數f（x）的一個零點，且函數f（x）在（，）上是單調函數，則ω的最大值為______16．不等式tanx+三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是定義在R上的奇函數，其中為指數函數，且的圖象過定點（1）求函數的解析式；（2）若關于x的方程，有解，求實數a的取值范圍；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數k的取值范圍18．（1）求函數的解析式；（2）試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；（3）當時，函數恒成立，求實數m的取值范圍19．已知函數，.（1）對任意的，恒成立，求實數k的取值范圍；（2）設，證明：有且只有一個零點，且.20．如圖所示，某居民小區內建一塊直角三角形草坪，直角邊米，米，扇形花壇是草坪的一部分，其半徑為20米，為了便于居民平時休閑散步，該小區物業管理公司將在這塊草坪內鋪設兩條小路和，考慮到小區整體規劃，要求M、N在斜邊上，O在弧上（點O異于D，E兩點），，.（1）設，記，求的表達式，并求出此函數的定義域.（2）經核算，兩條路每米鋪設費用均為400元，如何設計的大小，使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.21．已知，（1）求和的值（2）求以及的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】比較a、b、c與0和1的大小即可判斷它們之間的大小.【詳解】，，，故故選：C.2、B【解析】利用三角函數的定義求得.【詳解】依題意是第四象限角，所以，.故選：B3、B【解析】根據圓心到直線的距離加上圓的半徑即為圓上點到直線距離的最大值求解出結果.【詳解】因為圓心為，半徑，直線的一般式方程為，所以圓上點到直線的最大距離為：，故選：B【點睛】本題考查圓上點到直線的距離的最大值，難度一般.圓上點到直線的最大距離等于圓心到直線的距離加上圓的半徑，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑.4、A【解析】根據正方體的表面積，可求得正方體的棱長，進而求得體對角線的長度；由體對角線為外接球的直徑，即可求得外接球的表面積【詳解】設正方體的棱長為a因為表面積為24，即得a=2正方體的體對角線長度為所以正方體的外接球半徑為所以球的表面積為所以選A【點睛】本題考查了立體幾何中空間結構體的外接球表面積求法，屬于基礎題5、D【解析】利用同角三角函數基本關系式中的技巧弦化切求解.【詳解】.故選：D【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系中的弦化切技巧，屬于容易題.6、C【解析】根據集合的并集的概念得到，集合的子集個數有個，即16個故答案為C7、B【解析】先求出集合B的補集，再求【詳解】因為，，所以，因為，所以，故選：B8、C【解析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，則扇形的面積，解得：，故選：C9、D【解析】根據已知條件，推出，再根據，即可得出答案.【詳解】由題意得：，解得，所以，解得：，故選：D【點睛】本題考查冪函數的解析式，屬于基礎題.10、B【解析】根據函數為奇函數得到，，再計算時，得到答案.【詳解】定義在上的奇函數，則，；當時，，則當時，；故的值域是故選：【點睛】本題考查了函數的值域，根據函數的奇偶性得到時，是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求出，根據，即，進行數量積的坐標運算，列出方程，即可求解【詳解】由題意知，平面向量，，則；因為，所以，解得故答案為【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，以及向量的數量積的應用，其中解答中根據平面向量垂直的條件，得到關于的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.12、【解析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積【詳解】根據扇形的弧長公式可得，根據扇形的面積公式可得故答案為：13、【解析】利用函數的圖象變換規律，先放縮變換，再平移變換，從而可得答案【詳解】將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得函數的圖象；再將的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是的圖象，故答案為：14、【解析】解不等式確定集合，解方程確定集合，再由交集定義求得交集后可得結論【詳解】由題意，，∴，只有1個元素故答案為：115、【解析】由題意，為函數的一個零點，可得，且函數在，上是單調函數可得，即可求的最大值【詳解】解：由題意，為函數的一個零點，可得，則．函數在，上是單調函數，可得，即．當時，可得的最大值為3故答案為3．【點睛】本題考查了正弦型三角函數的圖象及性質的應用，屬于中檔題．16、kπ,π4【解析】根據正切函數性質求解、【詳解】由正切函數性質，由tanx+π4≥1得所以kπ≤x<kπ+π4，故答案為：[kπ,kπ+π4三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)【解析】（1）設出的解析式，根據點求得的解析式.根據為奇函數，求得解析式.（2）根據的單調性和值域，求得的取值范圍.（3）證得的單調性，結合的奇偶性化簡不等式，得到對任意的，，利用二次函數的性質求得的取值范圍.【詳解】（1）設(，且)，則，所以(舍去)或，所以，又為奇函數，且定義域為R，所以，即，所以，所以（2）由于為上減函數，由于，所以，所以，所以.（3）設，則因為，所以，所以，所以，即，所以函數在R上單調遞減要使對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立因為為奇函數，所以恒成立又因函數在R上單調遞減，所以對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立令，，時，成立；時，所以，，，無解綜上，【點睛】本小題主要考查指數函數解析式的求法，考查分式型函數值域的求法，考查利用函數的奇偶性和單調性解函數不等式，考查二次函數的性質，考查分類討論的數學思想方法，綜合性較強，屬于難題.18、（1）；（2）單調遞減；（3）【解析】（1）函數為奇函數，則，再用待定系數法即可求出；（2）作差法：任意的兩個實數，證明出；（3）要使則試題解析：（1）所以（2）由（1）問可得在區間上是單調遞減的證明：設任意的兩個實數又,，在區間上是單調遞減的;（3）由（2）知在區間上的最小值是要使則考點：1、待定系數法；2、函數的單調性；3、不等式恒成立問題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用的單調性以及對數函數的單調性，即可求出的范圍（2）對進行分類討論，分為：和，利用零點存在定理和數形結合進行分析，即可求解【詳解】解：（1）因為是增函數，是減函數，所以在上單調遞增.所以的最小值為，所以，解得，所以實數k的取值范圍是.（2）函數的圖象在上連續不斷.①當時，因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增.因為，，所以.根據函數零點存在定理，存在，使得.所以在上有且只有一個零點.②當時，因為單調遞增，所以，因為.所以.所以在上沒有零點.綜上：有且只有一個零點.因為，即，所以，.因為在上單調遞減，所以，所以.【點睛】關鍵點睛：對進行分類討論時，①當時，因為與在上單調遞增，再結合零點存在定理，即可求解；②當時，恒成立，所以，在上沒有零點；最后利用，得到，然后化簡可求解。本題考查函數的性質，函數的零點等知識；考查學生運算求解，推理論證的能力；考查數形結合，分類與整合，函數與方程，化歸與轉化的數學思想，屬于難題20、（1），；（2），.【解析】（1）過作的垂線交與兩點，求出，即可求出的表達式，并求出此函數的定義域.（2）利用輔助角公式化簡，即