備考2023年中考數學壓軸題訓練—二次函數（6）

一、真題

1.如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點，點A在x軸上，點B在y軸

上，點C（3,0）在拋物線上.

（1）求該拋物線的表達式.

（2）正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸

上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標.

（3）在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將4PQD沿PQ所在的

直線翻折得到△PQD,連接CD，，求線段CD長度的最小值.

（2）如圖2,作拋物線F2,使它與拋物線Fi關于原點。成中心對稱，請直接寫出拋物線尸2的解析

式；

（3）如圖3,將（2）中拋物線展向上平移2個單位，得到拋物線尸3,拋物線尸1與拋物線角相交

于C,。兩點（點C在點。的左側）.

①求點C和點。的坐標；

②若點M,N分別為拋物線力和拋物線F3上C,。之間的動點(點M,N與點C,。不重合)，試求

四邊形CMDN面積的最大值.

3.閱讀材料：十六世紀的法國數學家弗朗索瓦?韋達發現了一元二次方程的根與系數之間的關系，可

表述為“當判別式0時，關于x的一元二次方程ax?+/?%+c=0(a。0)的兩個根勺、％2有如下關

系：/+牝=一幺打右=今.此關系通常被稱為“韋達定理”.已知二次函數y=ax2+bx+c(a>0).

Qa

E；F

(1)若a=l,b=3,且該二次函數的圖象過點(1,1),求c的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標系。孫中，該二次函數的圖象與％軸相交于不同的兩點

4(久1，0)、BQ2，0).其中/<0<小、1/1>K2I，且該二次函數的圖象的頂點在矩形4BFE的邊

EF上，其對稱軸與支軸、BE分別交于點M、N,BE與y軸相交于點P,且滿足tan乙4BE=1

①求關于X的一元二次方程以2+.+c=0的根的判別式的值；

②若NP=2BP,令7=壺+學c,求T的最小值.

4.若關于x的函數y,當t—+；時，函數y的最大值為M,最小值為N,令函數h=

寫紇我們不妨把函數h稱之為函數y的“共同體函數”.

(1)①若函數y=4044%,當t=l時，求函數y的“共同體函數”h的值；

②若函數丁=依+8(kHO,k,b為常數)，求函數y的“共同體函數”h的解析式；

(2)若函數y=&(x>l),求函數y的“共同體函數“h的最大值；

(3)若函數y=-/+4x+k,是否存在實數k,使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函

數”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

5.

糾錯內容：1.(3)“噂魁逋中兩種情況都是“當BC為平行四邊形對角繚r;(3)/J邀的解題0程應該配上圖形；(2)“題的解客舊了很多必要的步驟

如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y=ax2+2x+c經過點A(-1,0)、B(3,0),與y軸交于點

C,頂點為點D.在線段CB上方的拋物線上有一動點P,過點P作PELBC于點E,作PF||AB交BC

于點F.

圖一備用圖

(1)求拋物線和直線BC的函數表達式，

(2)當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和APEF的周長.

(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、

G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由.

6.已知拋物線y=x2+bx+c.

圖①圖②

(1)如圖①，若拋物線圖象與x軸交于點A(3,0),與y軸交點B(0,-3),連接AB.

(I)求該拋物線所表示的二次函數表達式；

(II)若點P是拋物線上一動點(與點A不重合)，過點P作PH_Lx軸于點H,與線段AB交于

點M,是否存在點P使得點M是線段PH的三等分點？若存在，請求出點P的坐標：若不存在，請

說明理由.

(2)如圖②，直線y=gx+n與y軸交于點C,同時與拋物線y=x2+bx+c交于點D(-3,0),

以線段CD為邊作菱形CDFE,使點F落在x軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交點，求b

的取值范圍.

7.已知關于x的函數y=a/+bx+c.

(1)若a=l,函數的圖象經過點(1,-4)和點(2,1),求該函數的表達式和最小值；

(2)若a=1,b=—2,c=m+l時，函數的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍.

(3)閱讀下面材料：

設a>0,函數圖象與％軸有兩個不同的交點A,B,若4B兩點均在原點左側，探究系數a,b,c

應滿足的條件，根據函數圖象，思考以下三個方面：

①因為函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以4=b2-4ac>0；

②因為4,8兩點在原點左側，所以4=0對應圖象上的點在x軸上方，即c〉0；

③上述兩個條件還不能確保4B兩點均在原點左側，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進一

步限制拋物線的位置：即需一夕<0.

2a

'a>0

4=廿一4ac>0

綜上所述，系數a,b,c應滿足的條件可歸納為：oo

-上?<0

I2a

請根據上面閱讀材料，類比解決下面問題：

若函數y=a%2-2x+3的圖象在直線x=1的右側與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.

8.如圖，拋物線y=4%2一2%-6與4軸相交于點4、點B,與y軸相交于點C.

(1)請直接寫出點4B,C的坐標;

(2)點P(m,幾)(0<m<6)在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出^PBC面積

的最大值.

(3)點F是拋物線上的動點，作FE/A4c交％軸于點E,是否存在點F,使得以4、C、E、尸為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

9.已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點4(-1,0),8(3,0)，與y軸相交于點C.

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖1,將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN.點D是直線MN上任意一點.

①當點D在拋物線的對稱軸1上時，連接CD,關x軸相交于點E,求線段OE的長；

②如圖2,在拋物線的對稱軸1上是否存在點F,使得以B,C,D,F為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，求出點F與點D的坐標；若不存在，請說明理由.

10.定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙

線"，如圖①，拋物線Ci：y=x?+2x-3與拋物線C2：y=ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”,

拋物線Ci和拋物線C2與x軸有著相同的交點A(-3,0)、B(點B在點A右側)，與y軸的交點

分別為G、H(0,-1).

(2)點M是x軸下方拋物線Ci上的點，過點M作MNJ_x軸于點N,交拋物線C2于點D,求

線段MN與線段DM的長度的比值.

(3)如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,在x軸上是否存在點F,使

得AEFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

二、模擬預測

11.綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=。/+6%-4與*軸交于點4(—1,0),

B(3,0),與y軸交于點C,連接BC.若在第四象限的拋物線上取一點M,過點M作MD_Lx軸于點

(2)試探究拋物線上是否存在點M,使ME有最大值？若存在，求出點M的坐標和ME的最大

值；若不存在，請說明理由;

(3)連接CM,試探究是否存在點M,使得以M,C,E為頂點的三角形和ABDE相似？若存

在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

(1)請直接寫出點A,B,C的坐標；

(2)若點P是拋物線BC段上的一點，當APBC的面積最大時求出點P的坐標，并求出aPBC面

積的最大值.

(3)點F是拋物線上的動點，作FE||ZC交x軸于點E,是否存在點F,使得以A、C、E、F為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

13.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-嚴+>％+8與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,

直線丁=%-士過點B,與y軸交于點D,點C與點D關于x軸對稱.點P是線段0B上一動點，過點P

作x軸的垂線交拋物線于點M,交直線BD于點N.

(2)當AMCB的面積最大時，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點Q,使得以Q,M,N,D為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在；說明理由

14.如圖，在平面直角坐標系中，直線丁=-2%+10與*軸、丫軸相交于人、B兩點，點C的坐標是

(1)求過O、A、C三點的拋物線的解析式；

(2)求證：4A0B三UCB；

(3)動點P從點O出發，沿0B以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B

出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨

之停止運動?設運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA2

15.如圖，直線y=-強+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=ax?+日x+c經過A、B兩

點.

(1)求二次函數解析式;

(2)如圖1,點E在線段AB上方的拋物線上運動(不與A、B重合)，過點E作EDLAB,交

AB于點D,作EF_LAC,交AC于點F,交AB于點M,求△DEM的周長的最大值；

(3)在(2)的結論下，連接CM,點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P,

使得以P、Q、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存

在，請說明理由.

(4)如圖2,點N的坐標是(1,0),將線段ON繞點O逆時針旋轉得到ON，，旋轉角為a(0。

<a<90°),連接N，A、NB求N，A+qNB的最小值.

16.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C.

（1）求b,c的值；

（2）如圖1,點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標m.當m為何值時，

△PBC的面積最大？并求出這個面積的最大值.

（3）如圖2,將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線y=aix2+bix+ci（a^O）,平移后

的拋物線與原拋物線相交于點D,點M為直線BC上的一點，點N是平面坐標系內一點，是否存在

點M,N,使以點B,D,M,N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

17.已知：二次函數丫=。/一2%+。的圖象與*軸交于人、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交

于點C,對稱軸是直線x=l,且圖象向右平移一個單位后經過坐標原點O,

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）直線y=-上+i交y軸于D點，E為拋物線頂點.若zDBC=a,乙CBE=0,求a-￡的值.

（3）在（2）問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足P4=PC,在y軸右側的拋物線上

是否存在點M,使得的面積等于PTP,若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（ac0）與x軸交于點A和點B（點A

在點B的左側），與y軸交于點C.若線段04OB、0C的長滿足0C2=OAOB,則這樣的拋物

線稱為“黃金”拋物線.如圖，拋物線y=a/+bx+2?H0)為“黃金”拋物線，其與x軸交點為

A,B(其中B在A的右側)，與y軸交于點C.且0A=40B

(1)求拋物線的解析式；

(2)若P為AC上方拋物線上的動點，過點P作PD1AC,垂足為D.

①求PD的最大值；

②連接PC,當△PCD與△力C。相似時，求點P的坐標.

19.在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線y=a/-2ax-3a(a#0)交x軸的負半軸

于點A,交x軸的正半軸于點B,交y軸的正半軸于點C,且OB=2OC.

(1)求點B的坐標和a的值;

(2)如圖1,點D,P分別在一、三象限的拋物線上，其中點P的橫坐標為t,連接BP,交y軸

于點E,連接CD,DE,設ACDE的面積為s,若s=—我，求點D的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段DE繞點D逆時針旋轉90。得到線段DF,射線AE與射

線FB交于點G,連接AP,若/AGB=2/APB,求點P的坐標.

20.已知拋物線與x軸交于點4(一1,0)、B(3,0).與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖①，若點P是第一象限內拋物線上一動點，過點P作PC1BC于點D,求線段PD長的最

大值

(3)如圖②，若點N是拋物線上另一動點，點M是平面內一點，是否存在以點B、C、M、N為頂

點，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由

21.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線(a<0)與x軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點，與y

軸交于點C,且OC=2OA.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記m=

黑，試求m的最大值及此時點P的坐標：

(3)連接AC,拋物線上是否存在點Q,使得NBAQ=2NOCA?如果存在，請求出點Q的坐

標；如果不存在，請說明理由.

22.規定：如果兩個函數圖象上至少存在一對點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數互為“守望

函數”，這對點稱為“守望點”.例如：點P(2,4)在函數y=/上，點Q(-2,-4)在函數y=

-2%-8上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數y=嚴和y=一2%-8互為“守望函數''，點P與點

Q則為一對“守望點

(1)函數丫=-2%-1和函數丫=4%是否互為“守望函數”？若是，求出它們的“守望點”，若不

是，請說明理由；

(2)已知函數y=/+2%和y=4x+n—2022互為“守望函數”，求n的最大值并寫出取最大值

時對應的“守望點”；

(3)已知二次函數y=a%2+bx+c(a>0)與y=2bx+1互為“守望函數”，有且僅有一對“守望

點”，若二次函數的頂點為M,與x軸交于AQi，0),B(X2,0).其中0<%1<%2，AB=2,又。=

C2：；+6,過頂點M作x軸的平行線1交y軸于點N,直線y=2bx+1與y軸交點為點Q,動點E

在x軸上運動，求拋物線y=a/+力％+c?>0)上的一點F的坐標，使得四邊形FQEN為平行四邊

形.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：令x=0,則y=2x+2=2,令y=0,則0=2x+2,解得x=-l,

點A(-l,0),點B(0,2),

把A(-l,0),B(0,2),C(3,0)代入y=ax?+bx+c,

:2

3一

(a—b+c=04

得］9Q+3b+c=0,解得，.

3

(c=22

c=

，該拋物線的表達式為y=-|x2+1x+2；

(2)解：若△AOB和ADPC全等，且NAOB=NDPC=90。,

分兩種情況：

①AAOB之△DPC,則AO=PD=1,OB=PC=2,

：OC=3,

.,.OP=3-2=1,

???點P的坐標為(1,0)；

(2)AAOB^ACPD,則OB=PD=2,

正方形OPDE的邊長為2,

.?.點P的坐標為(2,0)；

綜上，點P的坐標為(1,0)或(2,0)；

(3)解：①點P的坐標為(1,0)時，

△PQD與△PQD關于PQ對稱，

.*.PD'=PD,

.?.點D在以點P為圓心，1為半徑的圓上運動，

當P、D;C三點共線時，線段CD長度取得最小值，最小值為2-1=1；

②點P的坐標為(2,0)時,

PQD關于PQ對稱，

,?.PD'=PD,

.?.點D，在以點P為圓心，2為半徑的圓上運動，

當P、C、D三點共線時，線段CD長度取得最小值，最小值為2-1=1；

綜上，線段CD長度的最小值為1.

【解析】【分析】(1)分別令直線方程中的x=0、y=0,求出y、x的值，可得點A、B的坐標，將

A、B、C的坐標代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，據此可得拋物線的表達式；

(2)①當△AOB/aDPC時，則AO=PD=1,OB=PC=2,OP=1,據此可得點P的坐標；②當

△AOB^ACPDH<J-,則OB=PD=2,據此可得點P的坐標；

(3)①點P的坐標為(1,0)時，根據軸對稱的性質可得PD=PD,則點D，在以點P為圓心，1為半

徑的圓上運動，當P、D\C三點共線時，線段CD長度取得最小值，據此求解；②點P的坐標為

(2,0)時，同理可得CD，長度的最小值.

2.【答案】(1)解：將點4(一3,0)和點0)代入y=/+bx+c,

?Y9,二卻，="，解得｛b=2

ll+b+c=0lc=-3

Ay=%2+2%—3

(2)解：y——x2+2%+3

(3)解：由題意可得，拋物線&的解析式為y=-Q—1)2+6=—/+2%+5,

①聯立方程組I'=一個+產+：,

解得％=2或1=—2,

，C(-2,-3)或D(2,5);

②設直線C0的解析式為y=kx+b,

｛-猊行浸解得｛￡=[

I2/c+b=53=1

.".y=2x+1,

過點M作MF||y軸交CD于點F,過點N作NE||y軸交于點E,如圖所示:

設m2+2m—3),N(n,—n2+2n4-3)?

則F(m,2m+1)?N(n,2n+1)?

:.MF=2m4-1—(m2+2m-3)=-m2+4,

NE——n2+2n+3—2n—1——n2+2,

—2<m<2,—2<n<2,

.,.當m=0時,MF有最大值4,

當n=0時，NE有最大值2,

■:S四邊形CMDN~S&CDN+S^CDM=x4x(MF+NE)=2(MF+NE),

...當MF+NE最大時，四邊形CMDN面積的最大值為12.

【解析】【解答］解：(2)Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,

.?.拋物線的頂點(一1,一4),

:頂點(―1,一4)關于原點的對稱點為(1,4),

，拋物線尸2的解析式為y=-(x-I)2+4,

?'.y=—x2+2x+3.

【分析】(1)將A(-3,0)、B(1,0)代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，據此可得拋物線的解析

式；

(2)根據拋物線的解析式可得頂點坐標，然后求出頂點關于原點的對稱點的坐標，據此可得拋物線

F2的解析式；

(3)①由題意可得：拋物線F3的解析式為y=-(x-l)2+6=-x2+2x+5,聯立拋物線R的解析式求出x、

y,可得點C、D的坐標；

②利用待定系數法求出直線CD的解析式，過點M作MF〃y軸交CD于點F,過點N作NE〃y軸

交于點E,設M(m,m2+2m-3),N(n,-n2+2n+3),則F(m,2m+l),N(n,2n+l),表示出

MF、NE,結合偶次幕的非負性可得MF、NE的最大值，然后根據S四邊形CMDN=S^CDN+SACDM進行計

算.

22

3.【答案】(1)解：將Q=1,b=3代入y=ax+b%+c(a>0)得y=%4-3%4-c,

將(L1)代入y=/+3%+c得，

l=l2+3xl+c,解得：c=-3

（2）解：①（%-打）2=（+%）2-4%1%=°一%

2X122

b2-4ac

99AB=

2

;拋物線的頂點坐標為：(_2,43.

廬-4ac

b24—4acb2—4ac

4a3

/.tanZ-ABE=—x

AB—%2irbr—4~ac4

-4ac=9

②,**b2—4ac=9

9：OP//MN

.NP_OM

,,麗=砒

?b-Z?+3_

：.b=2

/.22-4ac=9

.5

??c=一詬

.??當a=，時，T最小=-4.

【解析】【分析】(1)將a=l、b=3代入y=ax:+bx+c中可得y=x?+3x+c,將(1,1)代入就可求出c

的值；

(2)①根據完全平方公式結合根與系數的關系可得(X2-X|)2=(X|+X2)2*4X|X2=Qz把，表示出X2-X”

即AB,根據頂點坐標公式表示出頂點坐標，得到AE,然后根據三角函數的概念進行解答；

②根據①的結論可得X2;個，根據平行線分線段成比例的性質可得需=器，代入求解可得b的

乙CvLJ1VxLJ

值，然后表示出C,根據題意可得T,接下來利用二次函數的性質就可得到T的最小值.

4.【答案】⑴解：①當t=mj,1+1,即

Vy=4044x,/c=4044>0,y隨工的增大而增大,

M-N4044X|-4044X1

??=2022,

?h=~^2~=2

②若函數、=女工+6,當k>0時，七一2工工工亡+

11

；?M=+b,N=k(t-+b>

???h=-—=2f

當k<0時，則例=)(t一分+b,N=k(t+分+b,

,M-Nk

綜上所述，k>0時，h=等,k<。時，h=-號

(2)解：對于函數y=N1),

2>0,x>1,函數在第一象限內，y隨x的增大而減小,

解得t>|，

當t-狂xWt+/時，

?_2_42_4

,M-N1,44、2(2t+l)-2(2t-l)44

"n=~2~=2(-2t^T-=(2t-l)(2t+l)=(2t-l)(2t+l)=

???當tz|時，4t2-1隨t的增大而增大，

.?.當t=副寸，4t2-1取得最小值，此時力取得最大值，

最大值為九=(2t-i)(2t+l)=2^4=I

(3)解：對于函數y=—x2+4%+k=—(x—2)2+4+k,

a=—1<0,拋物線開口向下，

x<2時，y隨％的增大而增大，

%>2時，y隨％的增大而減小，

當％=2時，函數y的最大值等于4+k,

在t-+/時，

①當t+時,即￡<|時，N=-(t-1)2+4(t-1)+k,M=-(t+J)2+4(t+|)+fc,

h=M2N—+}2,|_4(￡+}+々_+4?_》+眉}=2—t,

???/i的最小值為'(當t=|時)，

若3=4+k,

解得攵=—彳

但t<|,故土=—(不合題意，故舍去；

當t—<>2時,即t>搟時，M=—(t—1)2+4(t—}+/c,N=—(t+<2+4(￡+}+k,

,M-N4、

???h=-—=t—2,

??.八的最小值為3(當￡=|時)，

若/=4+0

解得攵=—彳

但空報故女=—(不合題意，故舍去

③當￡一*工2工￡+斷寸，即|工￡工|時，M=4+k,

i)當2—(t—》Z+》—2時，即94￡工2時

121

M-N4+/c+(t-^)1525

----=-----------------=---=—f2--td--

22228

1

-拋物線開口向上，在|wtW2上,

:對稱軸為t=2

當t=2時，h有最小值小

O

1

y4+k

解得k=—魯

ii)當2—(t—：)W(t+：)—2時，即2StW、時,M=4+k,

1c1

N=-(t+2)2+4(t+2)+k,

3

,_M-N_4+fc+(t+1)-4(t+1)-fc_12+9,

-一8

"n=-2-=2=2t2

???對稱軸為t=2，1>0,拋物線開口向上，在2ctw|上，

當t=2時,八有最小值］

O

1

??.g=4+k

解得k=-餐

綜上所述，”2時，存在k=—萼

【解析】【分析】(1)①當t=l時，根據t*xWt+4可得x的范圍，根據正比例函數的性質可得y隨x

的增大而增大，據此可得M、N的值，進而可求出h的值；

②當k>0時，y隨x的增大而增大，據此表示出M、N,然后代入h=””中進行計算可得h的值;

同理可求出k<0時h的值；

(2)根據反比例函數的性質可得圖象在第一象限內，y隨x的增大而減小，根據xNl可得t的范

圍，根據函數的增減性可得M、N,然后表示出h,再結合二次函數的性質求解即可；

(3)根據二次函數的性質可得：圖象開口向下，分t+央、t-1>2,t-1<2<t+l,確定出函數的最

值，據此可得M、N,進而可表示出h,求出h的最小值.

5.【答案】(1)解：將點A(-l,0),B(3,0)代入y=a/+2x+c,得:

r0=a-2+c

[0=9Q+6+c,解得

所以拋物線解析式為y=—/+2x+3,C(0,3)

設直線BC的函數表達式y=/c%+b,將B(3,0),C(0,3)代入得:

0=3k+b

3=b,解得憶1

所以直線BC的函數表達式為y=-％+3

(2)解：如圖,連接PC,OP,PB,

設P(m,-m2+2m+3),

VB(3,0),C(0,3),

.\OB=OC=3,

/.ZOBC=45°,

?.?PF〃AB,

.,.ZPFE=ZOBC=45°,連接PC,OP,PB,

VPE±BC,

/.△PEF是等腰直角三角形，

.\PE的值最大時，△PEF的周長最大,

SAPBC=SAPOB+SAPOC-SAOBC

x3x(-m?+2.Tn+3)+*x3m—4x3x3=一號(ni—號)+

Va<0,

...拋物線的開口向下,

，in=別寸，APBC的面積最大，面積的最大值為瞥，此時PE的值最大,

,.,1x3V2xPE=*，

“E淬

：.△PEF的周長的最大值=挈+挈+趣=見袈

oo44

**.-m2+2m+3=孕

4

此時點p(j,學).

(3)解：存在.理由如下,

如圖，

:y=-x2+2x+3

拋物線的對稱軸為直線X=x=-4=1

???點M是拋物線對稱軸上的一個動點，點G是拋物線上的一個動點

設點M(1,n),點G(m,-m2+2m+3)

??,以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形，

當BC為邊時，點G到對稱軸的距離|1-m等于0B的長

/.|l-m|=3

解之：mi=-2,m2=4

當m=-2時-m2+2m+3=-5；

當m=4時-m2+2m+3=-5；

???點G的坐標為(-2,?5)或(4,?5)；

當BC為對角線時，

11

?*2(1+M)=2(0+3)

解之：m=2

-m2+2m+3=3

.?.點G(2,3)

.?.點G坐標為(2,3)或(-2,-5)或(4,-5).

【解析】【分析】(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+2x+c中求出a、c的值，據此可得拋物線

的解析式，令x=0,求出y的值，可得點C的坐標；將B、C的坐標代入y=kx+b中求出k、b的

值，進而可得直線BC的函數表達式；

(2)利用函數解析式設P(m,-m2+2m+3),利用點B,C的坐標可證得/OBC=45。，利用平行

線的性質可推出△PEF是等腰直角三角形，PE的值最大時，APEF的周長最大，利用三角形的面積

公式可得到APBC的面積與m之間的函數解析式，利用二次函數的性質，可求出APBC的面積的最

大值，即可求出PE的長；然后求出APEF的周長的最大值及點P的坐標.

(3)設G(m,-m2+2m+3),N(1,n),然后分BC為平行四邊形的邊、利用點G到對稱軸的距離

|l-m|等于OB的長，可得到關于m的方程，解方程求出m的值，可得到點G的坐標；當BC為平行

四邊形的對角線，利用中點坐標公式建立關于m的方程，解方程求出m的值，可得到點G的坐標；

綜上所述可得到符合題意的點G的坐標.

6.【答案】⑴解：(I)由題意得：f°=9+3”c,

Ic=-3

解得｛。;二:，

y=x2—2x—3,

(II)由題意得:OA=3,OB=3,

AZOAB=45°,

???HA=HM,

設直線AB的解析式為y=kx-3,

則0=3k-3,

解得k=l,

/.y=x-3,

設M(m,m-3),

則yp=m2-2m-3,

HM=3-m,PH=-(m2-2m-3),

當PM=2HM時，

m-3-(m2-2m-3)=2(3-m),

整理得：m2-5m+6=0,

解得m=2或3(舍去)，

：.P(2,-3)；

當m=2時，m2-2m-3=-3,

當HM=2PM時,

3-m=2[m-3-(m2-2m-3)],

整理得：2m2-7m+3=0,

解得：或3(舍去)，

當m=；時，m2-2m-3=-^,

.??畤,苧，

綜上所述，點P的坐標為：(2,-3),(1,—苧).

(2)解：把點D(-3,0)代入直線y=Jx+n,

得04x(-3)+n,

解得n=4,

??y=wx+4,

.,.C(0,4),

CD=y/oC2+OD2=y/32+42=5，

?.?四邊形CDFE是菱形，

，CE=EF=DF=CD=5,

?.?點E(5,4),

.,.點D(-3,0)在拋物線y=x2+bx+c上，

.\(-3)2-3b+c=0,

即c=3b-9,

.,.y=x2+bx+3b-9,

?.?該拋物線與線段CE沒有交點，

①當CE在拋物線內時，

52+5b+3b-9<4,

解得:b<-l,

②當CE在拋物線右側時，

3b-9>4,

解得：喈,

綜上所述，小一楙或學

【解析】【分析】(1)(I)利用待定系數法求二次函數解析式即可；

(II)先求出OA和OB長，得出NOAB=45。，利用待定系數法求直線AB的解析式，設M(m,m-

3),則yp=m2-2m-3,然后利用含m的代數式表示PM和HM的長，分兩種情況討論，即當PM=2HM

時，當HM=2PM時，依此分別建立關于m的方程求解，即可解答；

(2)先用待定系數法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5,根據菱形的性質求出點E的坐

標，再根據該拋物線與線段CE沒有交點，分CE在拋物線內和CE在拋物線右側兩種情況進行討

論，①當CE在拋物線內時，②當CE在拋物線右側時，分別求出b的取值范圍，即可解答.

'1+b+c=—4

7.【答案】(1)解：根據題意，得4+2b+c=l

a=1

(a=1

解之，得b=2,所以y=%2-2x4-1=(%4-1)2

c=1

函數的表達式y=%2+2%+1或y=(x+當％=-1時，y的最小值是0

(2)解：根據題意，得y=——2%+血+1而函數的圖象與％軸有交點，所以4=b2-4ac=

(-2)2—4(m+1)70所以十40

(3)解：函數y=。產一2%+3的圖象

圖1：

a<O0

二

a>O1

(-2)--12-

一V

-3

-11

-22--

a1

所以，a的值不存在.

圖2：

的值一1<a<0.

yi

1I

—

圖3

a<0(a<0

(-2)2-12a=0_1

即<a=3

一元>1a<1

<ct—2+3<0V—1

所以a的值不存在

所以a的值不存在.

圖5：

a>0

(-2)2-12a=0

-2

----->1

2a

a-2+3>0

a>

a<1

。>一1

所以a的值為上

圖6：y=-2x+3函數與4軸的交點為(1.5,0)

圖6

所以a的值為0成立.

綜上所述，a的取值范圍是-lVaWO或aj

【解析】【分析】(1)將a的值及點(1,-4),(2,1)代入函數解析式，可得到關于a,b,c的方程

組，解方程組求出a,b,c的值，可得到函數解析式.

(2)將a,b,c代入函數解析式，由y=0,可得到關于x的一元二次方程，根據函數圖象與x軸有

交點，可得到bZacK),可得到關于m的不等式，然后求出不等式的解集.

(3)抓住已知條件：函數y=ax2-2x+3的圖象在直線x=l的右側，與x軸有且只有一個交點，分別畫

出函數圖象，分情況討論，可得到關于a的不等式組，分別求出不等式組的解集，可確定出a的取

值范圍.

8.【答案】(1)解:4(-2,0),5(6,0).C(0,-6);

(2)解：過P作PQ||y軸交BC于Q,如下圖.

設直線BC為y=k%+b(kK0),將B(6,0)、C(0,—6)代入得

(0=6k+b

Ib=-6'

w

.?.直線BC為y=x-6,

根據三角形的面積，當平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點時，點P到BC的距離最大，此

時，aPBC的面積最大，

P(m,n)(0<m<6),

]??12-26-6),Q(m,m—6),

iiQ

??PQ=(TH—6)—(262―2m_6)=一訝(rn-3)2-|-—,

V-1<0,

"=3時，PQ最大為3，

-11927

而S“BC=]PQ'\xc-XB\=2X3X6=三，

APBC的面積最大為與；

(3)解:存在.

:點F是拋物線上的動點，作FE/A4C交x軸于點E,如下圖.

.".AE||CF,設F（a,-2a2—2a—6）.

當點F在x軸下方時，

VC（O,-6）,

即OC=6,

??2-2a—6=-6,

解得%=0（舍去），a2=4,

-6）.

當點F在x軸的上方時，令y=6,

則：a2—2a—6=6,

解得d3=2+2V7,a4=2-2V7,

，F（2+2，，6）或（2—2夕，6）.

綜上所述，滿足條件的點F的坐標為（2+2夕，6）或（4,一6）或（2-2近，6）.

【解析】【解答］解：（1）令y=0,

則上2—2x—6=0>

解得久1=-2,x2=6,

，力（-2,0）,5（6,0）,

令久=0,則y=-6,

，C(0,-6);

【分析】(1)令x=0、y=0,求出y、x的值，可得點A、B、C的坐標；

(2)過P作PQ〃y軸交BC于Q,求出直線BC的解析式，易得當平行于直線BC的直線與拋物線

只有一個交點時，點P到BC的距離最大，此時APBC的面積最大，設P(m,1m2-2m-6),則Q

(m,m-6),表示出PQ,根據二次函數的性質可得PQ的最大值，然后利用三角形的面積公式進行

計算；

⑶作FE〃AC交x軸于點E,設F(a,1a2-2a-6),當點F在x軸下方時，易得OC=6,則點F的

縱坐標為-6,代入求解可得a的值，據此可得點F的坐標；當點F在x軸的上方時，同理可得點F

的坐標.

9.【答案】(1)解：將點4(一1,0)，8(3,0)代入y=x2+bx+c得：

1—b+c=0,

9+3b+c=0,

解得\b=-2,

拋物線的表達式為y=%2-2%-3

(2)解：①由(1)可知：C(0,-3),

設直線BC：y=kx+b(k中0),將點B(3,0),C(0,-3)代入得:

+b=0,

Ib=—3.

解得\k=1>

(b=-3.

直線BC：y=x-3,則直線MN：y=x.

???拋物線的對稱軸：％=_?=_嘉=1,

2azxl

把％=1代入y=%，得y=1,

?"(I,1).

設直線CD：y=k1x+b1(/c1^0),將點C(0,-3),D(L1)代入得:

3+bi=1,

bi=-3.

解得r1=4;

凡=-3.

.??直線CD：y=4x—3.

當y=0時，得久=*,

，臉，0),

二OF=1.

②存在點F,使得以B,C,D,F為項點的四邊形是平行四邊形.

理由如下：

(I)若平行四邊形以BC為邊時，由BC||FD可知，FD在直線MN上,

.??點F是直線MN與對稱軸1的交點，即F(l,1).

由點D在直線MN上，設D(t,t).

如圖2-1,若四邊形BCFD是平行四邊形，則DF=BC.

過點D作y軸的垂線交對稱軸I于點G,則G(l,t)?

（圖2-1）

*/BC||MN,

：.Z.OBC=Z.DOB,

,:GD||x軸，

:?乙GDF=AD0B,

：.^OBC=Z.GDF.

又?：乙BOC=乙DGF=90°,

**?△DGF=△BOC1

：.GD=OB,GF=OC,

;GD=t-l,OB=3,

?\￡-1=3,解得t=4.

AD(4,4),

如圖2-2,若四邊形BCDF是平行四邊形，則DF=CB.

(圖2-2)

同理可證：2DKF"COB,

：.KD=OC,

■:KD=1-t,OC=3,

/.1-t=3，解得t=-2.

??￡)(—2,—2)

(ID若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方.

???如圖23存在一種平行四邊形，即DBFCD.

F\

(圖2-3)

設D(t,t),F(l,m),同理可證：4DHC三ABPF,

：.DH=BP,HC