蘇教版(2019)必修第一冊

數學

期中考點大串講串講

05第5章函數概念與性質考場練兵典例剖析010203目

錄考點透視01考點透視考點1.函數的概念函數的定義一般地，設A，B是_______________，如果對于集合A中的____________，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有________________和它對應，那么就稱____________為從集合A到集合B的一個函數函數的記法____________________定義域x叫做_________，x的______________叫做函數的定義域函數值與_________相對應的y值值域函數值的集合___________叫做函數的值域，顯然，值域是集合B的子集非空的實數集任意一個數x唯一確定的數y知識點(1)函數的概念f：A→By＝f(x)，x∈A自變量取值范圍Ax的值{f(x)|x∈A}考點1.函數的概念(2)函數的三要素：定義域、對應關系、值域是函數的三要素，缺一不可．[點撥]

(1)集合A，B是非空實數集，值域C?B.(2)函數的定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性．(3)函數符號“y＝f(x)”是數學符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定就是解析式．(4)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符號來表示函數．考點2.區間的概念(1)設a，b是兩個實數，而且a<b.我們規定：①滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做__________，表示為__________；②滿足不等式a<x<b的實數x的集合叫做__________，表示為__________；③滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數x的集合叫做______________，分別表示為______________．閉區間[a，b]開區間(a，b)半開半閉區間[a，b)，(a，b]考點2.區間的概念這里的實數a與b都叫做相應區間的_________．實數集R可以用區間表示為______________，“∞”讀作“_________”，“－∞”讀作“___________”，“＋∞”讀作“___________”．滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數x的集合，用區間分別表示為___________，_____________，_____________，_____________．端點(－∞，＋∞)無窮大[a，＋∞)負無窮大正無窮大(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)考點2.區間的概念區間數軸表示____________________________________(2)區間的幾何表示在用數軸表示區間時，用實心點表示________________的端點，用空心點表示__________________的端點．包括在區間內不包括在區間內[a，b](a，b)[a，b)(a，b]考點2.區間的概念區間數軸表示____________________________________________________[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](3)含“∞”的區間的幾何表示(－∞，b)考點3.同一個函數的判定、常見函數的值域

如果兩個函數的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自變量對應的函數值相同，那么這兩個函數是同一個函數．

(1)一次函數f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為______，值域是______．(2)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是______，當a>0時，值域為__________________，當a<0時，值域為____________________．定義域對應關系RRR考點4.函數的表示法(1)解析法：________________________________________．(2)列表法：________________________________________．(3)圖象法：________________________________________．[想一想]任何一個函數都可以用解析法或列表法表示嗎？用解析式表示兩個變量之間的對應關系列出表格來表示兩個變量之間的對應關系用圖象表示兩個變量之間的對應關系提示提示：不是．考點5.描點法作函數圖象的三個步驟(1)列表：先找出一些有代表性的自變量x的值，再計算出與這些自變量x相對應的函數值f(x)，并用表格的形式表示出來．(2)描點：把第(1)步表格中的點(x，f(x))一一在平面直角坐標系中描出來．(3)連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來．[提醒]

函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．考點6.函數的單調性及其符號表達(1)函數單調性的概念____________________________________________叫做函數的單調性．(2)函數單調性的符號表達一般地，設函數f(x)的定義域為D，區間I?D：如果____________，當x1<x2時，都有___________，那么就稱函數f(x)在區間I上單調_______．如果____________，當x1<x2時，都有___________，那么就稱函數f(x)在區間I上單調_______．函數值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質?x1，x2∈If(x1)<f(x2)遞增?x1，x2∈If(x1)>f(x2)遞減考點7.增函數、減函數當函數f(x)在它的_________上____________時，我們就稱它是增函數．當函數f(x)在它的_________上____________時，我們就稱它是減函數．[想一想]若函數f(x)在區間I?D上單調遞增，則此函數一定是增函數嗎？定義域單調遞增定義域提示提示：不一定．單調遞減考點8.單調區間

如果函數y＝f(x)在區間I上___________或__________，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)_________，________叫做y＝f(x)的單調區間．[想一想]若函數f(x)在區間[1，3]上單調遞減，則函數f(x)的單調遞減區間一定是[1，3]嗎？提示提示：不一定．單調遞增單調遞減單調性區間I考點9.函數的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足：?x∈D，都有f(x)____Mf(x)_____M?x0∈D，使得___________結論稱M是函數y＝f(x)的最大值稱M是函數y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的________f(x)圖象上最低點的_______≤≥f(x0)＝M

縱坐標縱坐標考點10.偶函數、奇函數的定義

(1)偶函數的定義一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果_________________________________，那么函數f(x)就叫做偶函數．(2)奇函數的定義一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果__________________________________，那么函數f(x)就叫做奇函數．[點撥]

奇偶性是函數的“整體”性質，只有對函數定義域內的每一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說函數為奇函數(或偶函數)．?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)考點11.偶函數、奇函數的圖象特征

(1)偶函數的圖象特征如果一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以________________________；反之，____________________________________________________．(2)奇函數的圖象特征如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________．[想一想]是否存在既是奇函數又是偶函數的函數？y軸為對稱軸的軸對稱圖形如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形提示提示：存在．既奇又偶的函數有且只有一類：f(x)＝0，x∈D，且D是關于坐標原點對稱的集合．如果一個函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形，則這個函數是奇函數考點12.函數奇偶性與單調性的關系知識點1．若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區間上單調性______．2．若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上_________，即在對稱區間上單調性_______．3．若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a<b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為_____．4．若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a<b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為_____．以上a，b符號相同．單調遞增相同單調遞減相反－MN02典例透析考點1.函數關系的判斷答案解析【例題1】圖中①②③④四個圖形各表示兩個變量x，y的對應關系，其中表示y是x的函數的有________．解析：由圖形判斷對應關系是否為函數的方法，可知當－1≤a≤1時，只有圖形②③與直線x＝a僅有一個交點，故可以表示y是x的函數的有②③.②③考點2.求函數的定義域考點2.求函數的定義域解考點3.求函數值域考點3.求函數值域解考點4.區間的應用【例題4】將下列集合用區間以及數軸表示出來：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8，且x≠5}；(4){x|3<x<5}．解(1){x|x<2}可以用區間表示為(－∞，2)，用數軸表示如圖．解考點4.區間的應用(2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用區間表示為(－1，0)∪[1，5]，用數軸表示如圖．(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用區間表示為[2，5)∪(5，8]，用數軸表示如圖．(4){x|3<x<5}用區間表示為(3，5)，用數軸表示如圖．解考點5.求函數的值域解考點5.求函數的值域解考點6.同一個函數的判定答案解析考點7.求抽象函數的定義域答案解析考點8.函數表示法解【例題8】某商場新進了10臺空調，每臺售價3000元，試求售出臺數x與收款數y(單位：元)之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．解：①列表法：x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000考點8.函數表示法解②圖象法：如圖所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考點9.函數圖象的作法及應用考點9.函數圖象的作法及應用解：(1)當x＝0時，y＝1；當x＝2時，y＝5.所畫圖象如圖①所示．(2)因為0≤x<5，所以這個函數的圖象是拋物線y＝x2－4x介于0≤x<5之間的一部分，如圖②所示．(3)函數圖象如圖③所示．解考點10.函數解析式的求法解考點10.函數解析式的求法解考點11.證明或判斷函數的單調性證明考點12.求函數的單調區間解考點13.函數單調性的應用【例題13】已知函數f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對稱軸為直線x＝2，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大小．解：由題意知函數f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝2，故f(1)＝f(3)，由題意知f(x)在[2，＋∞)上單調遞增，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)．解考點14.函數單調性的應用【例題14】已知f(x)是定義在區間[－1，1]上的增函數，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范圍．解考點15.利用圖象求函數最值【例題15】已知函數f(x)＝2|x－1|－3|x|.(1)作出函數f(x)的圖象；(2)根據函數的圖象求其最值．解考點16.利用單調性求函數最值解考點16.利用單調性求函數最值解考點17.定軸定區間求函數最值解【例題17】已知函數f(x)＝x2－2x－3，①若x∈[0，2]，求函數f(x)的最值；②若x∈[t，t＋2]，求函數f(x)的最值．解：①∵函數f(x)＝x2－2x－3圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴f(x)在[0，1]上單調遞減，在(1，2]上單調遞增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.考點17.定軸定區間求函數最值解考點17.定軸定區間求函數最值解考點18.函數最值的實際應用考點18.函數最值的實際應用解考點18.函數最值的實際應用解考點19.函數奇偶性的判斷解解：(1)f(x)的定義域是R，關于原點對稱，又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函數．考點19.函數奇偶性的判斷解考點20.奇、偶函數的圖象及應用答案解析【例題20】已知奇函數y＝f(x)的定義域為[－5，5]，且在區間[0，5]上的圖象如圖所示，則使函數值y<0的x的取值集合為__________________．解析：因為函數y＝f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，從而得到y＝f(x)在[－5，5]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數值y<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5)．(－2，0)∪(2，5)考點21.利用函數的奇偶性求值答案解析【例題21】已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，則f(1)＋g(1)的值為________．解析：由題意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1.－1考點22.利用奇偶性求函數解析式答案解析【例題22】已知函數f(x)為R上的偶函數，且當x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當x>0時，f(x)＝________．x(x＋1)解析：當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因為函數f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)．所以當x>0時，f(x)＝x(x＋1)．考點23.利用奇偶性與單調性比較大小答案解析【例題23】設偶函數f(x)的定義域為R，若在區間[0，＋∞)上函數f(x)單調遞增，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系為__________________．解析：由偶函數的單調性知，若函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則函數f(x)在區間(－∞，0)上單調遞減．故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小，則函數值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．f(π)>f(－3)>f(－2)考點24.利用奇偶性與單調性解不等式解：∵f(x)為奇函數，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，即x的取值范圍為[1，3]．答案解析【例題24】已知奇函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，且f(1)＝－1，求滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍．03考場練兵1．(2024·吉林長春十一高中高一上期中)如果函數y＝x2－2x的定義域為{0，1，2，3}，那么其值域為(

)A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝1－2＝－1；當x＝2時，y＝4－2×2＝0；當x＝3時，y＝9－2×3＝3，所以函數y＝x2－2x的值域為{－1，0，3}．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析解析6．若函數f(x)＝2x2－ax＋2在區間[1，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是(

)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[4，＋∞) D．(－∞，4]答案解析7．(2024·湖北黃岡高一上期末)若函數f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定義在[2－2a，a]上的偶函數，則a－b＝(

)A．1 B．2C．3 D．4答案解析8．設f(x)是奇函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x3＋1，則當x∈(－∞，0)時，f(x)＝(

)A．x3＋1 B．x3－1C．－x3＋1