專題06函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性一．函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明（4題）1．（23-24高一上·江蘇南京·期中）（多選）下列說法正確的是（

）A．定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上的增函數(shù)B．定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上不是減函數(shù)C．定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)D．定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)【答案】BC【解析】對A：如，滿足，但不是R上的增函數(shù)，所以A錯誤；對B：若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則對于任意且，則定成立，則若，函數(shù)在R上不是減函數(shù)，故B正確；對C：若定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上時增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，則滿足對于任意且，則定成立，則函數(shù)在R上是增函數(shù)，故C正確；對D：設(shè)函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，而但，不符合增函數(shù)的定義，所以在R上不是增函數(shù)，故D錯誤；故選：BC．2．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象，如下：故單調(diào)遞減區(qū)間為.3．（23-24高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性并證明；(2)已知條件，條件，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(2)【解析】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，因為，所以所以，即，所以在上單調(diào)遞增；（2）因為是的充分條件，所以若，則為真，即在恒成立，所以在恒成立；由（1）知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，即4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增：(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：任取、，且，則，因為，所以，，，，故．所以在單調(diào)遞增．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時取等號，所以最大值為．二．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（8題）1．（23-24高一上·江蘇揚州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】開口向上，對稱軸為，要想在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則.故選：B2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，由題意得，，解得，綜上，.故選：C.3．（23-24高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)，若對于任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在單調(diào)遞減，要使在單調(diào)遞減，則或，即或.故選：A.4．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）“”是“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則，即，解得”，故“”是“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)滿足對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，為定義在R上的減函數(shù)，則要滿足，解得故選：B.6．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】繪制出函數(shù)的圖象，因為在上單調(diào)遞增，由圖可知在上單調(diào)遞增.所以實數(shù)的取值范圍是：.故選：D.7．（23-24高一上·江蘇·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，由，當(dāng)時，開口向下，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由在單調(diào)遞減得，，解得32≤a≤2當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，，由，由，只需研究在區(qū)間的單調(diào)性，當(dāng)時，開口向下，對稱軸為，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減恒成立.綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.8．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對任意實數(shù)，有.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，令，則，則，所以.（2）由，設(shè)，當(dāng)，即時，恒成立，此時，對稱軸為，則，即，所以；當(dāng)，即或時，此時有或，解得或，所以或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.三．已知函數(shù)的最值求參數(shù)（4題）1．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)的最小值是，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，解得；當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，解得；當(dāng)時，開口向下，則在上必存在比小的值，不滿足題意；當(dāng)時，，易得，不滿足題意；綜上，.故選：A.2．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而，即有，依題意，，即，又，則有，當(dāng)時，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，有，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：3．（22-23高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值是，則實數(shù)的最大值是.【答案】【解析】由題易知，即，所以，又，所以；下證時，在上最大值為3.當(dāng)時，，;當(dāng)，若，即，則，滿足題意;若，即，此時，而，滿足題意;因此，符合題意.故答案為：4．（22-23高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即取等號；此時函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，，當(dāng)時，，要想函數(shù)的最小值為，只需，而，所以；當(dāng)時，，顯然，符合題意，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.四．函數(shù)奇偶性的定義與判斷（5題）1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）已知函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，對于A選項，，定義域為：，為非奇非偶函數(shù)；對于B選項，，定義域為：，為非奇非偶函數(shù)；對于C選項，，為非奇非偶函數(shù)；對于D選項，，為奇函數(shù)；故選：D.2．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A中，函數(shù)，此時為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)，此時為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于C中，函數(shù)，此時為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于D中，設(shè)，可得的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.故選：D.3．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先定義域必須關(guān)于0對稱，C錯；不是奇函數(shù)，D錯；在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，B錯；故選：A.4．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）（多選）下列四個函數(shù)中，在定義域上是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，的定義域為，且，為偶函數(shù)，對稱軸，開口向上，且在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，，不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，在時，為反比例函數(shù)的一支，在單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，的定義域為，且，為偶函數(shù)；且由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在單調(diào)遞增，故D正確；故選：AD5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）（多選）設(shè)函數(shù)、的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】BD【解析】因為函數(shù)、的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，對于A選項，設(shè)，則該函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯；對于B選項，令，則該函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，B對；對于C選項，令，則該函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，C錯；對于D選項，令，則該函數(shù)的定義域為，，所以，是偶函數(shù)，D對.故選：BD.五．函數(shù)奇偶性求值求參求解析式（6題）1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意是定義在上的奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以，從而.故選：C.2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)f(x)=log3(3xA． B． C． D．【答案】C【解析】定義域為，∵f(∴，即log3∴l(xiāng)og33x即(-1-4k∵，∴-1-4k=0，得．故選：C3．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，.故選：D4．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）是定義在上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】若，，則有，取，則有，即，是定義在上的偶函數(shù)，，則，解得：，則，取，則有，即，故選：A.5．（23-24高一上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則.【答案】【解析】因為奇函數(shù)滿足當(dāng)時，，所以.6．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，則.【答案】-1【解析】由題意知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，故，即.六．奇函數(shù)的對稱性的應(yīng)用（6題）1．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)，且，那么的值為（

）A．1 B．5 C． D．3【答案】B【解析】因為，則則，令，即，因為，所以.故選：B.2．（23-24高一上·江蘇泰州·期中）函數(shù)，且，則（

）A． B．-2 C．0 D．2【答案】A【解析】因為，所以，則，令，得，又，所以.故選：A3．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)且，則的值為.【答案】【解析】因為，則，所以，，所以，，則.故答案為：.4．（23-24高一上·江蘇常州·期中），若，則.【答案】4【解析】令，則，為奇函數(shù)，由，解得，所以.所以.5．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，且，則的值為．【答案】【解析】，令，函數(shù)定義域為R，∵，∴為奇函數(shù)，∴．則，．故答案為：-106．（23-24高一上·江蘇揚州·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【答案】8【解析】由，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，由題意，得，所以.七．利用單調(diào)性與奇偶性比較大小（5題）1．（22-23高一上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵當(dāng)時，恒成立，∴當(dāng)時，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B.2．（22-23高一上·江蘇南通·期中）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，而在R上是增函數(shù)，則，故選：B3．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）設(shè)偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，是增函數(shù)；則，，的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是偶函數(shù)，所以，所以，，又時，是增函數(shù)，且，所以，即.故選：C4．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對于，當(dāng)時，都有恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，當(dāng)時，都有恒成立，則在上單調(diào)遞增，有，又函數(shù)是偶函數(shù)，，，，所以.故選：A5．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，又因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，故選:C,八．利用單調(diào)性與奇偶性解不等式（8題）1．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，對任意的實數(shù)且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，且，因為對任意的實數(shù)且，，則，即，所以在上是增函數(shù)，所以不等式，即為，即，所以，解得，即不等式的解集為.故選：B.2．（22-23高一上·江蘇宿遷·期中）定義在上的函數(shù)滿足（），且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，任取，，由于，，所以，所以，所以在上遞減.，，，，所以，所以不等式的解集為.故選：A3．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，在上單調(diào)遞增且，所以在、上，上，對于，當(dāng)，即或，可得；當(dāng)，即，可得；綜上，解集為.故選：A4．（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，，若且滿足，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)在上遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上遞增，而，則，由，有或，則或，所以不等式解集為.故選：A5．（23-24高一上·江蘇常州·期中）若函數(shù)滿足，，且，，，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，，，所以在上單調(diào)遞增，，，則函數(shù)圖像關(guān)于對稱，若，則，解得或.所以的取值范圍是.6．（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)是定義域為區(qū)間，且圖象關(guān)于點中心對稱.當(dāng)時，，則滿足的x的取值范圍是.【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，因為關(guān)于點中心對稱，所以，且在上單調(diào)遞增，不等式可整理為，即，則，解得，所以滿足的x的取值范圍是.7．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，；定義域為的函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為．【答案】【解析】，，所以在單調(diào)遞減，又是上的奇函數(shù)，所以是上的減函數(shù)，且，或，即或，解得.故答案為：8．（22-23高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）設(shè)是定義域為，滿足，若對任意的，都有不等式成立，且，則不等式解集是．【答案】【解析】是定義域為，關(guān)于原點對稱,又，所以是奇函數(shù)，因為，，設(shè)，則，所以，所以，令，則在上單調(diào)遞增，又，所以在上為偶函數(shù)，所以在0,+∞上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)x∈2,+∞時，，則，所以解集是.故答案為：九．函數(shù)對稱性與周期性的應(yīng)用（6題）1．（23-24高一上·江蘇淮安·期中）（多選）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，由此可以推廣得到：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).則下列函數(shù)圖象成中心對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于選項A，設(shè)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，因為上式對定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對稱中心為，符合題意；對于選項B，因為，所以關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對于選項C，設(shè)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，因為上式對定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對稱中心為，符合題意；對于選項D，設(shè)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則為奇函數(shù)，所以，所以，化簡得，因為上式對定義域內(nèi)的任意都成立，所以，得，所以的對稱中心為，符合題意.故選：ACD.2．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）（多選）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且，當(dāng)時，，若，則以下正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為，所以，即，又所以，所以，A正確；因為，所以，B正確；在中，令，得，即，解得，C正確；，D錯誤.故選：ABC3．（22-23高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的定義域為R，且，都有.若，，則.【答案】【解析】因為，都有所以，所以，所以是以6為周期的函數(shù)，所以，因為，所以，即.故答案為：.4．（23-24高一上·江蘇揚州·期中）有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是.根據(jù)以上結(jié)論，則函數(shù)的對稱中心是；若為正整數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)的對稱中心是，則，因為，所以有，整理得：，即，所以，則，故函數(shù)的對稱中心是；因為的對稱中心是，依題意有，則.故答案為：，.5．（23-24高一上·江蘇常州·期中）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為；的值為．【答案】【解析】令因為為奇函數(shù)，所以，即，解得.所以函數(shù)圖象的對稱中心為；所以f1-即，所以.故答案為：；.6．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．(1)證明：；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：因為奇函數(shù)滿足，所以，所以，所以，即；（2）由（1）可知4為的周期，因為，所以，得，所以，所以.十．函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用（5題）1．（22-23高一上·江蘇蘇州·期中）（多選）若的定義域為，且滿足為偶函數(shù)，關(guān)于成中心對稱，則下列說法正確的是（

）A．的一個周期為 B．的一條對稱軸為C． D．【答案】BCD【解析】因為為偶函數(shù)，則，令，可得，因為函數(shù)關(guān)于點對稱，設(shè)，則，即，所以，，則，故，即，故，所以，.對于A選項，的一個周期為，A錯；對于B選項，，故函數(shù)的一條對稱軸為，B對；對于C選項，因為，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又因為函數(shù)的定義域為，則，則，C對；對于D選項，，，，因此，，D對.故選：BCD.2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）（多選）已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．的圖像關(guān)于直線對稱【答案】AD【解析】因為是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，故A正確；因為是定義在上的函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱，所以，不一定為0，故B錯誤；因為，故C錯誤；因為，則，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：AD3．（23-24高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)①用定義證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；②判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，請直接寫出結(jié)果；(3)根據(jù)你對該函數(shù)的理解，在坐標(biāo)系中直接作出函數(shù)的圖象.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②在上單調(diào)遞增；(3)圖像見解析【解析】（1）因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，則，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，所以.（2）①設(shè)，則，，所以，因為，所以，且，則，所以，即，故在上是單調(diào)遞減函數(shù)．②在上單調(diào)遞增，理由如下：當(dāng)時，，，則，所以在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的圖象如圖，.4．（23-24高一上·江蘇·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的定義域為.(1)判斷并用定義證明在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)解不等式；(3)若存在實數(shù)，使得在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析；(2)；(3)【解析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)為偶函數(shù)，故對稱軸為，得，，，不妨設(shè)，則，因為，所以，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2），，，函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.，即，即，因為函數(shù)在和上單調(diào)遞減，所以，或，或，解得，故不等式的解集為.（3）函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上的值域為，由題意得，，化簡得，所以，為方程的兩個實數(shù)根，因為要存在實數(shù)，，所以方程有兩個大于1的不相等的實數(shù)根，法1：，或，解得，所以實數(shù)的取值范圍為法2：由條件，，所以，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.5．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞減；證明見解析；(3)【解析】（1）由基函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，即，因為，所以，即.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明：任取，則，因為，則，，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（3）由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，則，所以，解得，則不等式的解集為.十一．抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（6題）1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A．或x>1 B．或x>2C． D．【答案】B【解析】因為，令，則，令，則，令，且，則，整理得，因為，則，可得，所以，即，可知在定義域在上單調(diào)遞增，又因為，即，可得，即，結(jié)合在定義域在上單調(diào)遞增，可得，解得或，所以不等式的解集為或x>2.故選：B.2．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）（多選）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，則（

）A． B．C． D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】對于A：令，得，則，所以A正確；對于B：令，則，令，得，即，所以B錯誤；對于C：令，得，即，所以為偶函數(shù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，所以，C正確；對于D：由C可知為偶函數(shù)，所以fx-3為向右平移3個單位得到，此時關(guān)于直線對稱，D正確，故選：ACD3．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）（多選）已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)x，y滿足：，且，當(dāng)時，，給出以下結(jié)論，正確的是（

）A． B．C．為R上的減函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】因為，則令，可得，即，解得，故A正確；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故B正確；因為，所以，令，不妨設(shè)，可得，即，因為，則，則，可得，即，所以為R上的增函數(shù)，故C錯誤；令，可得，即，整理得，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD．4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y，都有，，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】D【解析】令，則，，，選項A錯誤；令，，則，即，則，選項B錯誤；，不是奇函數(shù)，選項C錯誤；令，則，即，故，為偶函數(shù)，選項D正確；故選：D．5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)的定義域為，且．當(dāng)時，．(1)求；(2)證明：函數(shù)在為增函數(shù)；(3)如果，解不等式．【答案】(1)0；(2)證明見解析；(3)【解析】（1）∵，令，則，∴；（2）由，可得，則得，，設(shè)，由，因時，有，依題意，，即，所以函數(shù)在為增函數(shù)；（3）因，∴，又由，則，由可得，即，即，因函數(shù)在為增函數(shù)故可得，，解得，即不等式的解集為.63．（22-23高一上·江蘇南通·期中）定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，都有，且當(dāng)，．(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)求證：在上是減函數(shù)；(3)解不等式：；(4)求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)；(4)證明見解析【解析】（1）令，則，解得：；令，則，為定義在上的奇函數(shù).（2）設(shè)，則，；，，，；又，，又當(dāng)，，，，即，在上是減函數(shù).（3）由得：；定義域為且在上是減函數(shù)，，解得：，不等式的解集為.（4）；，，，；，，，.十二．二次函數(shù)的最值問題（5題）1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）函數(shù)，且的最大值是，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以，要使在處取得最大值，只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：2．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值2，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間的最小值為11，求.【答案】(1)；(2)或5【解析】（1）由題知，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，當(dāng)，即時，，解得或（舍去）；當(dāng)，即時，，不滿足題意；當(dāng)時，，解得（舍去）或.綜上，的值為或5.3．（23-24高一上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)在上是單調(diào)函數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；(3)求函數(shù)的最小值.【答案】(1)；(2)或；(3)答案詳見解析【解析】（1）因為，所以，且對稱軸，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）因為函數(shù)fx對稱軸為，且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，或.（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以．綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．4．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）設(shè)函數(shù)，其中.(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時，的最大值記為，最小值記為，求的解析式.【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）若，則，所以可化為，方程的解為，所以，當(dāng)時不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為.（2）函數(shù)圖象的對稱軸為，①當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時；②當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，此時；③當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時；④當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，此時；綜上所述，.5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；(2)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)當(dāng)時，若函數(shù)在上既有最大值又有最小值，求證：恒成立．【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為；(3)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在單調(diào)遞減.又，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當(dāng)時，.當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為，最大值為；當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，，當(dāng)時，有，所以，最小值為，無最大值.綜上所述，在區(qū)間上，最小值為，最大值為.（3）當(dāng)時，.當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞減.又函數(shù)在上既有最大值又有最小值，所以函數(shù)的最值只能在或處取得，且最大值，最小值．又當(dāng)時，應(yīng)滿足時，即有，解得，故.當(dāng)，應(yīng)滿足時，由，解得，故.所以，.又，，恒成立．十三．函數(shù)不等式恒成立問題（5題）1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，當(dāng)時，不等式恒成立，因為函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)的定義域為．(1)求的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析；(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，即，解得，，此時，，成立，所以的值為1，任設(shè)，則，因為，所以，所以，所以，可證得在上單調(diào)遞增；（2）由，可得，因為，由（1）知，令，所以，恒成立①當(dāng)時，恒成立，滿足題意，②當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸方程為所以當(dāng)時，，解得，③當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向下，所以，解得，

綜上：實數(shù)的取值范圍是．3．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)．(1)若方程的兩根分別是，滿足，求實數(shù)的值；(2)若對，都存在，使得對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）若方程的兩根分別是，得，得又由韋達定理得，因為所以所以，解得；（2）若對，都存在，使得對任意恒成立，則對任意恒成立，對于，，，對稱軸，則，對于，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以在時恒成立，所以又，當(dāng)取最小值，且最小值為所以，解得.4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)若,求不等式的解集；(2)求函數(shù)在上的最小值；(3)若對任意,均存在,使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）由題意得，，當(dāng)時，，解得，即；當(dāng)時，，無解，所以原不等式的解集為.（2）因為，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，在上單調(diào)增，；當(dāng)時，又因為，結(jié)合時的單調(diào)性，故，，綜上，.（3），又因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，結(jié)合⑵得：當(dāng)時，由得，所以；當(dāng)時，由得，所以；當(dāng)時，由得，所以，綜上，的取值范圍是.5．（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)，時，解方程；(2)當(dāng)時，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若為常數(shù)，在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)；(3)答案見解析【解析】（1）當(dāng)，時，，所以，即或，解得或，即或；（2）當(dāng)時，，所以不等式在上恒成立，即為不等式在上恒成立，當(dāng)時，不等式恒成立，即，當(dāng)時，不等式可轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，即的取值范圍為；（3）在區(qū)間上有解，即方程在上有解，設(shè)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，，則當(dāng)時，原方程有解，即；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增；①當(dāng)，即時，，，則當(dāng)時，原方程有解，即；②當(dāng)，即時，，，則當(dāng)時，原方程有解，則；③當(dāng)時，，，，當(dāng)，即時，，則當(dāng)時，原方程有解，即；當(dāng)，即時，，則當(dāng)時，原方程有解，即；綜上所述：當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為.十四．函數(shù)的新定義問題（5題）1．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）（多選）若函數(shù)滿足對，當(dāng)時，不等式恒成立，則稱在上為“平方差減函數(shù)”，則下列函數(shù)中，在上是“平方差減函數(shù)”有（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由題意知函數(shù)為“平方差減函數(shù)”，則滿足對，當(dāng)時，不等式恒成立，即，而，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，對于A，，則，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，故為“平方差減函數(shù)”，A正確；對于B，，則，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不是“平方