2.2.1函數的概念課程標準學習目標1.理解函數是描述變量之間的相互關系的數學模型，理解集合與對應語言刻畫的函數概念2.掌握常見的三種函數的表示方法，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如列表法、解析法圖像法)表示函數3.了解分段函數并能進行簡單應用。1.掌握函數解析式的幾種求法，理解并能表示分段函數2.求分段函數或復合函數的函數值;判斷兩個函數是否為同一函數知識點01函數的概念函數兩集合A、B設A，B是兩個非空數集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數記法y＝f(x)，x∈A【即學即練1】（2425高一上·廣東梅州·開學考試）在下列集合E到集合F的對應中，不能構成E到F的函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數的定義一一判定選項即可.【詳解】根據函數的定義可知，E中的每一個元素在F中都有唯一的元素與之對應，顯然A、B、C符合題意，而D選項中，E中的元素b在F中有兩個元素對應，不符合函數的定義.故選：D【即學即練2】（2425高一上·全國·隨堂練習）下列對應關系中是A到B的函數的是（

）A．A=[0,1]，B=[0,1]B．A=1,2,3,4，C．A=R，B=R，fD．A=Z，B=Z，f【答案】B【分析】利用函數的定義求解即可.【詳解】對于A，x2+y2=1，一個x對于B，集合A中每一個x在集合B中都有唯一對應的y，符合函數的定義，故B正確；對于C，y=1x-2中，x≠2，而A=R，故集合A對于D，y=2x-1，所以x≥12，集合A故選：B知識點02函數的有關概念1.函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．2.函數的三要素：定義域、對應關系和值域．3.函數的表示法：表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．【即學即練3】（2324高一下·廣東韶關·階段練習）函數fx=1x【答案】-∞【分析】根據二次根式有意義及分母不為0列不等式計算即可.【詳解】由題意知，x2-4≠01-x所以函數的定義域為(-∞,-2)∪(-2,1].故答案為：(-∞,-2)∪(-2,1].【即學即練4】（2324高一上·陜西榆林·階段練習）函數fx=xA．-2,2 B．-2,2 C．-2,2【答案】A【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到不等式組，解得即可.【詳解】對于函數fx=x+22-所以函數fx=x故選：A知識點03同一個函數如果兩個函數表達式表示的函數定義域相同，對應關系也相同（即對自變量的每一個值，兩個函數表達式得到的函數值都相等），則稱這兩個函數表達式表示的就是同一個函數.【即學即練5】（2425高一上·山東濟寧·階段練習）在下列函數中，與函數y=x是同一個函數的是（A．y=x2 B．y=3x【答案】D【分析】只需判斷各函數與題述函數對應法則以及定義域是否相同即可求解.【詳解】解：對于A，y=x2=x（x對于B，y=3x3=x（對于C，y=x2x=x（對于D，y=x2=x（x故選：D．【即學即練6】（2324高一上·江蘇徐州·階段練習）下列表示是同一個函數的是（

）.A．f(xB．f(xC．f(xD．f(x【答案】D【分析】利用相同函數的意義，逐項判斷即得.【詳解】對于A，函數g(x)的值域是R，而函數f對于B，函數f(x)中，x-1≥0x+1≥0函數g(x)中，x2-1≥0，解得x≤-1或x對于C，函數f(x)的值域為[0,+∞)，函數g(x對于D，f(x)=|3-x|+1=x-2,故選：D難點：分類討論思想的運用示例1：（2425高一上·廣東梅州·開學考試）已知函數f(x)=mx2+A．0<m≤4 B．0≤m<4 C．【答案】D【分析】函數f(x)=mx2+mx+1的定義域是R，等價于不等式mx2【詳解】因為函數f(x)=所以不等式mx2+mx當m=0時，1>0，對任意x∈R當m≠0時，m>0Δ≤0，即m綜上，實數m的取值范圍是0≤m故選：D【題型1：函數的概念】例1．（2024高三·全國·專題練習）下列圖象中，不能作為函數圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的定義知，定義域內的任意的自變量x，只能有唯一的y與x對應，逐項判定，即可求解.【詳解】根據函數的定義知，對于定義域內的任意的自變量x，只能有唯一的y與x對應，選項ABD中，每一個x都有唯一的y與x對應，滿足函數的定義，可以表示函數；選項C中，出現一個x都有兩個y與x對應，不滿足函數的定義，不可以表示函數.故選：C.變式1．（2324高一上·廣東韶關·階段練習）設M=1，2，3,N=e,g,hA． B．C． D．【答案】C【分析】由函數對應關系可得,對于集合M中的每個數,集合N中都有唯一且確定的數與之對應.【詳解】對于A,集合M中的3對應了集合N中的兩個數,A錯誤;對于B,集合M中的2對應了集合N中的兩個數,B錯誤;對于C,集合M中的每個數在集合N中都有唯一的數對應,C正確;對于D,集合M中的3對應了集合N中的兩個數,D錯誤,故選:C.變式2．（2324高一上·廣東佛山·期末）給定數集A=R,B=(0,+∞),x,A．f:A→C．f:A→【答案】B【分析】ACD選項，可舉出反例；B選項，利用函數的定義作出判斷.【詳解】A選項，?x∈R，當x=0時，y=B選項，?x∈0,+∞，存在唯一確定的y∈RCD選項，對于?y∈0,+∞，不妨設y=1，此時故不滿足唯一確定的x與其對應，不滿足要求，CD錯誤.故選：B變式3．（多選）（2425高一上·全國·課堂例題）下列集合A到集合B的對應關系f是函數的是（

）A．A=-1,0,1，B=0,1B．A=0,1，B=-1,0,1C．A=Z，B=Q，f：AD．A=R，B=x|x≥0【答案】AD【分析】根據函數的定義逐個分析判斷即可【詳解】對于A，因為(-1)2所以集合A中的任意元素都在集合B中對應著唯一的函數值，所以A正確，對于B，集合A中的元素1對應集合B中的元素±1，不符合函數定義中一個自變量的值對應唯一的函數值的條件，所以B錯誤，對于C，集合A中的元素0取倒數沒有意義，不符合函數定義中集合A中任意元素都對應著唯一的函數值的要求，所以C錯誤，對于D，因為任意實數的絕對值都是非負的，且是唯一的，所以集合A中的任意元素都在集合B中對應著唯一的函數值，所以D正確，故選：AD變式4．（多選）（2324高一上·浙江湖州·階段練習）下列對應關系f：A→B是集合A到集合B的函數關系的是（A．A={x|-2≤x≤2}，B．A=R，B=y|C．A=Z，B=Z，fD．A=x|x>0，【答案】AC【分析】根據函數的概念，結合對應關系，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，集合A={x|-2≤x≤2}所以f:對于B中，集合A=R,B=y|y>0，可得集合A對于C中，集合A=Z，B=Z，可得所以f:對于D中，集合A=x|x>0，B=R，可得集合A故選：AC.變式5．（2425高一上·上海·課前預習）下列四種說法中，不正確的是（填序號）．①在函數值域中的每一個數，在定義域中都至少有一個數與之對應；②函數的定義域和值域一定是無限集合；③定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了；④若函數的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素．【答案】②【分析】根據函數的定義，即可求解.【詳解】在函數值域中的每一個數，在定義域中都至少有一個數與之對應，①正確；若函數y=0,定義域為R，但值域為0，故②定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了，故③正確，由于對任意的x，有唯一的y與之對應，故函數的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素，④正確，故答案為：②變式6．（2324高一上·云南曲靖·期中）下列關于函數y=fx①y是x的函數；②x是y的函數；③對于不同的x，y也不同；④fa表示當x=a【答案】①④【分析】根據函數的知識確定正確答案.【詳解】對于函數y=y是x的函數，①正確，②錯誤.對于不同的x，y可能相同，③錯誤.fa是一個常數，④正確故答案為：①④【題型2：函數求值】例2．（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數fx的定義域為R，?a，b∈R，均滿足fa+b=A．0 B．-9 C．-12 D【答案】D【分析】先賦值a=b=0求出f0，接著賦值a=1，b=-1求出f1，再賦值a=【詳解】令a=b=0，得f令a=1，b=-1，得又f-1=3，所以f1=-4令a=1，b=2，得故選：D.變式1．（2324高一上·新疆·期中）已知函數fx=12xA．13 B．-1 C．1 D【答案】C【分析】代入解析式求值即可.【詳解】由fx=1故選：C.變式2．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知函數y=fx滿足fx+2=2fA．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】分別取x=4,x=2代入fx+2=2f【詳解】因為函數y=fx所以有f6=2f又f6=3f解得f4=4，則故選：A．變式3．（2324高一上·浙江杭州·期中）已知函數f(x)=x3+aA．2025 B．2017 C．-2029 D．【答案】C【分析】根據題意可得fx+f-【詳解】因為fx則f2023+f-2023故選：C.變式4．（2324高二下·上?！て谀┮阎瘮礷x=2x2+【答案】21【分析】代入求值即可．【詳解】由fx=2x故答案為：21.變式5．（2324高三上·湖北·期中）對于任意的實數x、y，函數f(x)滿足關系式f(x【答案】0【分析】先令x=y，可得fx【詳解】依題意，取x=y，有f(2x取x=2，則故答案為：0.變式6．（2324高一上·云南昆明·期中）已知函數f(1)求f2(2)求證：fx(3)求2f【答案】(1)5(2)證明見解析(3)10115【分析】（1）根據函數解析式代入運算可得解；（2）根據函數解析式列式運算可得證；（3）由（2）的結論，組合運算即可得解.【詳解】（1）因為fx所以f2（2）證明：fx（3）由（2）可知，fx+f所以2==5×2023=10115．【題型3：同一個函數的判斷】例3．（2324高一上·山東聊城·階段練習）下列各組中的函數fx，gx表示同一函數的是（A．fx=x-2，gC．fx=x2，gx【答案】D【分析】根據定義域及對應關系判斷是否是同一函數.【詳解】選項A，fx=x選項B，fx=x選項C，fx=x選項D，fx=x=x故選:D．變式1．（2324高一上·天津·期中）中文“函數”一詞，最早是由清代數學家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數的是（）A．fx=x2，gxC．fx=x2-4x【答案】B【分析】先求函數的定義域，定義域不同則不是同一個函數，定義域相同再看對應關系是否相同，對應關系相同則是同一個函數，對應關系不同則不是同一個函數.【詳解】對于A，fx和gx定義域均為R，故fx和gx定義域相同，對應關系不同，fx和g對于B，fx和gx定義域均為R，故fx和gx定義域相同，對應關系相同，fx和g對于C，fx定義域為x|x≠-2，故fx和gx定義域不相同，fx和g對于D，fx定義域為R，gx定義域為故fx和gx定義域不相同，fx和g故選：B.變式2．（1819高一上·湖南益陽·階段練習）下列函數中與函數y=x相等的函數是（A．y=x2 B．y=3x【答案】B【分析】根據函數相等的判斷方法，即從函數定義域和對應法則一一分析即可.【詳解】對A，y=x的定義域為R，而y=x2對B，y=3x3=x，其定義域為對C，y=x2x的定義域為x|x≠0對D，y=x2=x，與故選：B.變式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）下列各組函數是同一組函數的是（

）A．y=1B．y=|xC．y=xD．y=x【答案】C【分析】根據題意，利用同一函數的判定方法，結合函數的定義域與對應關系，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數y=1x函數y=x+1x兩個函數的定義域不同，所以不是同一組函數，所以A不符合題意；對于B中，由函數y=|x+1|+|其中兩個函數的定義域不同，所以不是同一組函數，所以B不符合題意；對于C中，函數y=x與所以兩個函數是同一組函數，所以C符合題意；對于D中，函數y=x的定義域為R，函數y=兩個函數的定義域不同，所以不是同一組函數，所以D不符合題意.故選：C.變式4．（2024高三·北京·專題練習）下列各組中的兩個函數是同一函數的是（

）①y1=x+3x-5x+3，y2=x-5；②A．①② B．②③ C．③ D．③④【答案】C【分析】根據題意，結合同一函數的概念，逐個判定，即可求解.【詳解】對于①中，函數y1=x則兩個函數的定義域不同，所以不是同一函數；對于②中，函數fx=x對于③中，函數hx=x可得兩函數的的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數；對于④中，函數f1x=可得兩函數的的定義域不同，所以不是同一函數．綜上，是同一函數的只有③．故選：C．變式5．（多選）（2324高一上·山西呂梁·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．函數y=xxB．若fx是一次函數，且ffC．函數fx的圖象與y軸最多D．函數y=1x【答案】ABD【分析】根據相等函數的概念判斷A；利用待定系數法求出函數f(x)的解析式，即可判斷B；根據函數的定義即可判斷【詳解】A：函數y=xx的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，函數y所以這兩個函數不表示同一個函數，故A符合題意；B：設f(x)=又f(f(x))=16x+5所以f(x)=4x+1C：由函數的定義知，函數圖象至多與y軸有一個交點，故C不符合題意；D：函數y=1x+1在(-∞,-1),(-1,+∞)故選：ABD變式6．（多選）（2425高三上·黑龍江佳木斯·開學考試）下列各組函數是同一個函數的是（

）A．fx=B．fx=C．fx=D．fx=【答案】AC【分析】分別求出函數的定義域，化簡其對應關系，判斷其定義域和對應關系是否相同即可.【詳解】對于選項A：fx=x2-2x定義域相同，對應關系也相同，是同一個函數，故A正確；對于選項B：fx=-gx=x定義域相同對應關系不同，不是同一個函數，故B錯誤；對于選項C：fx=xx的定義域x|定義域相同，對應關系也相同，是同一個函數，故C正確；對于選項D：fx=x的定義域為R，g定義域相同對應關系不同，不是同一個函數，故D錯誤.故選：AC.變式7．（多選）（2324高一上·重慶沙坪壩·期中）下列各組函數是同一個函數的是（

）A．f(xB．f(xC．f(xD．f(x【答案】AC【分析】根據函數的“三要素”判斷是否為同一個函數.【詳解】對A：只是用不同的字母表示變量，所以是同一個函數，故A正確；對B：因為函數f(x)的定義域為-∞,0∪0,+∞，函數g(x)對C：函數f(x)與g(x對D：函數f(x)=x+1?x-1的定義域是：故選：AC變式8．（多選）（2425高一上·廣東梅州·開學考試）下列各組中不是同一個函數的是（

）A．y1=(x+3)(x-C．f(x)=|x|，g(【答案】BD【分析】根據函數的定義域和對應關系是否相同課判斷.【詳解】選項A：y1=(x+3)(選項B：y1=x+1x-1選項C：兩個函數的定義域都是R，f(選項D：函數f1(x)=2x-故選：BD【方法技巧與總結】當且僅當給定兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數，否則表示不同的函數【題型4：函數的定義域】例4．（2324高一上·重慶沙坪壩·期中）已知函數fx=-x2A．-1,4 B．C．-4,1 D．【答案】A【分析】根據題意求出g(x)的解析式，由二次根式內部的代數式大于等于0即可求解【詳解】由題可得：g(x)=f(-則g(x)故選：A變式1．（2425高一上·廣西欽州·開學考試）函數的定義域是指自變量的取值范圍，則函數y=x3A．x|-3≤x≤3 B．C．x|-3<x<3 D．【答案】C【分析】根據題意知3-x>0【詳解】根據題意，要使函數有意義，需滿足3-x>0，即x<3所以函數的定義域為x|-3<故選：C變式2．（2223高一上·全國·期中）已知函數f(x)的定義域是[-1,3]，則函數gA．-3,5 B．-3,0∪0,5 C．【答案】C【分析】整體代入法求函數y=f2x-1【詳解】因為函數fx的定義域是-1,3，由-1≤2所以函數y=f2要使gx=f2x所以gx=f故選：C.變式3．（2223高一上·湖北·期中）若函數f(x-1)的定義域是[-1,3]，則函數A．[1,5] B．[0,4] C．[1,25] D．[0,16]【答案】D【分析】由已知求得x-1的取值范圍，此范圍也即為f(x-【詳解】函數f(x-1)的定義域是[-1,3]，-1≤故對于函數f(x-2)，有從而函數f(x-故選：D.變式4．（2223高二下·山東濱州·期中）已知函數f2x-3的定義域為1,3，則【答案】-【分析】由題意，可得-1≤2x-3<3，即fx的定義域為【詳解】因為函數f2x-3的定義域為所以-1≤2x-3<3，即所以-1≤1-3x<3所以函數f1-3x的定義域為故答案為：-2變式5．（2324高一上·江西贛州·階段練習）若函數fx的定義域是2,5，則函數y=f【答案】3,4【分析】應用求解抽象函數的定義域的方法求出f2x-3【詳解】由題意得函數fx的定義域是2,5令t=2x-3，所以2≤t由x2-2x-所以函數y=f2故答案為：(3,4].變式6．（2324高一上·福建福州·階段練習）已知函數y=x2-3x-4的定義域是A．0,4 B．32,4 C．32【答案】B【分析】結合二次函數知識及題意畫出圖形，數形結合可得答案．【詳解】結合題意：函數y所以圖象是開口向上的拋物線,其對稱軸方程為x=所以f32=-由圖可知,要使函數y=x2-3則m的取值范圍是32故選：B.變式7．（2023高一·江蘇·專題練習）函數f(x)=(a-2)x【答案】-【分析】根據函數值域，結合二次函數的性質進行求解即可.【詳解】當a=2時，f當a≠2時，因為該函數的定義域為全體實數，值域為-∞所以a-2<0Δ故答案為：-2【方法技巧與總結】求函數定義域常見結論：(1)分式的分母不為零；(2)偶次根式的被開方數不小于零；(3)對數函數的真數必須大于零；(4)指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；(5)零次冪的底數不能為零；(6)實際問題中除要考慮函數解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求．【題型5：函數解析式的求法】例5．（1617高一上·寧夏石嘴山·階段練習）已知函數f(x)=x2A．x2+x+2 B．x2+1【答案】D【分析】由函數f(x)的解析式，用x+1代換x【詳解】因為函數f(x故選：D.變式1．（多選）（2425高一上·全國·課后作業）（多選）設fx=1+A．f-x=-fC．f-1x【答案】BD【分析】代入求解f1x【詳解】fx=1+x21-所以f1x=-fx，f故選：BD變式2．（2425高一上·上?！るS堂練習）已知y=fx是二次函數，且f0=1，f【答案】x【分析】由題意設fx=ax【詳解】因為f0=1，y=又因為fx所以ax所以2a=2,a故答案為：x2變式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）若函數fx-1x=x2+【答案】±【分析】先求出函數解析式，進而求解結論.【詳解】∵函數fx-1x=∴f∴f(a)=8，可得故答案為：±6變式4．（2425高一上·上?！るS堂練習）設fx=2x+3，gx=【答案】2【分析】直接由fx的定義即可代入x-【詳解】由題意gx故答案為：2x變式5．（2324高一上·重慶沙坪壩·期中）已知函數f(1)求函數fx(2)求關于x的不等式fx-2ax>【答案】(1)f(2)答案見解析.【分析】（1）令t=x+1，則f（2）將不等式轉化為(x-a)(2x+1)>0【詳解】（1）由題意，函數f(令t=則f(所以f(（2）由（1）知f(即不等式轉化為2x則(x當a>-12時，不等式的解集為{當a<-12時，不等式的解集為{當a=-12綜上所述，當a>-12時，不等式的解集為{當a<-12時，不等式的解集為{當a=-12變式6．（2425高三上·江蘇鹽城·開學考試）已知二次函數fx滿足fx=f-4-x(1)求fx(2)若x>0，求gx【答案】(1)f(2)2-【分析】（1）設出fx的解析式，然后利用待定系數法求得正確答案（2）利用基本不等式求得gx的最大值【詳解】（1）設fx依題意f0=c由于fx=f整理得4a-b所以fx設方程fx=a則x1-x解得a=1，則b=4，所以（2）若x>0，則=4-2當且僅當x=3變式7．（2024高三·全國·專題練習）已知二次函數fx滿足fx+1=fx-【答案】f【分析】設f(x)=a【詳解】設二次函數f(因為f0=c由f(x+1)=得ax所以2a+b故f(變式8．（2324高一上·山東菏澤·階段練習）（1）已知fx是二次函數，且滿足f0=1，f（2）已知fx+2f【答案】（1）fx=x2-【分析】（1）設出函數解析式，利用待定系數法求解即得.（2）根據給定條件，利用方程法求解即得.【詳解】（1）由fx是二次函數，設f由f0=1，得c=1，由f化簡并整理得2a-2x+所以fx（2）用-x替換fx+2f-由fx+2f所以fx【方法技巧與總結】函數解析式的求法(1)配湊法；(2)待定系數法；(3)換元法；(4)解方程組法．【題型6：新定義習題】例6．（2023高一上·上海·專題練習）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.1930年美國人給出了集合論的函數定義，已知集合M=-1,1,2,4，N=1,2,4,16，給出下列四個對應法則：①y=1x，②y=x+1，③A．①③ B．①② C．③④ D．②④【答案】C【分析】利用函數的定義逐一分析判斷即可．【詳解】對應關系若能構成從M到N的函數，須滿足：對M中的任意一個數，通過對應關系在N中都有唯一的數與之對應，對于①，y=1x，當x=2時，對于②，y=x+1，當x=-1時，對于③，y=x，當x=1時，y=1∈N當x=2時，y=2∈N，當x=4時，對于④，y=x2，當x當x=2時，y=4∈N，當x=4時，故選：C.變式1．（1819高一上·上海徐匯·期末）如果函數fx在其定義域內存在實數x0，使得fx0+1=fx0+f1成立，則稱函數fxA．12,32 B．32,3【答案】B【分析】根據條件將問題轉化為方程a2x0【詳解】解：∵∴∵函數f(x)=lga∴存在實數x0，使lg∴方程a2x0即a=3(2∵x0∈R，∴a∴a的取值范圍為：3故選B【點睛】本題主要考查了函數值的計算和對新定義的理解，關鍵是將問題轉化為方程有解問題，屬中檔題．變式2．（多選）（2021高一·全國·單元測試）對?x∈R，x表示不超過x的最大整數，十八世紀，y=x被數學王子高斯采用，因此得名為高斯函數，人們更習慣稱為“A．?B．?C．?x、D．若?t∈R，使得t3=1,t4=2,【答案】CD【分析】分x∈Z和x?Z兩種情況討論，可判斷AB選項的正誤；利用取整函數的基本性質可判斷C【詳解】解：對于AB選項，當x∈Z時，當x?Z時，設k<x<綜上，[x]≤x對于C選項，由上可知，[x]≤x<[x若0≤x+y若1≤x+y綜上，?x、y∈R對于D選項，由題意可得1≤t3<2∵64=32，若n≥6，則不存在只有當n≤5時，存在t∈53故選：CD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合不等式的性質，利用取整函數的定義，依次判斷各選項求解.變式3．（1920高一上·山東濰坊·期中）在平面直角坐標系xOy中，對于點A(a,b)，若函數y=f(x)滿足：?x∈[a-1,a+1]，都有y∈[b-1,b+1]，則稱這個函數是點A【答案】-【分析】對m分成m≤-1,-1<m<1,m≥1三種情況，結合?x【詳解】函數y=-12x2開口向下，對稱軸為y軸.由于B在函數y=-12x2的圖像上，所以n當m+1≤0，即m≤-1時，函數y=-12x2在[m-1,當m-1<0<m+1，即-1<m<1時，函數y=-12x點m-1≥0，即m≥1時，函數y=-12x2在[m-綜上所述，m的取值范圍是-1故答案為-【點睛】本小題主要考查新定義函數的理解，考查分類討論的數學思想方法，考查不等式的解法，屬于中檔題.變式4．（1819高一上·上海徐匯·期末）已知x>0，定義fx表示不小于x的最小整數，若f3x+f【答案】4【分析】由題意可得6<3x+f(x【詳解】解：∵f∴∴6<3x∴6-3當0<x?1時，f當x?2時，f(當1<x<2時，f(x)=2，∴故答案為43【點睛】本題主要考查了函數值的計算和對新定義的理解，關鍵是將問題轉化為方程有解問題，屬中檔題．變式5．（2021高一上·江蘇無錫·階段練習）對于函數fx，若fx0=x0，則稱x0為fx的“不動點”，若ffx0=x0，則稱x0為fx的“穩定點”，函數fx（1）求函數fx=3x-8的“不動點”（2）求證：A?（3）若fx=ax2【答案】（1）“不動點”為4，“穩定點”為4；（2）證明見解析；（3）-【解析】（1）由fx=3x-8=x即可求出“不動點”，求方程ff（2）若x∈A，有fx=x這是不動點的定義，此時得出f（3）先求出A≠?即fx存在“不動點”的條件，同理取得到存在“穩定點”【詳解】（1）由fx=3x由ffx=x有所以函數fx=3x-8的“不動點”為4，“（2）證明：若A=?，則A?若A≠?，設t∈A，有f所以t∈B，故綜上，A?（3）因為A≠?，所以方程ax2所以a=0或a≠0Δ又由ffx=x得：由（1）知A?B，故方程*左邊含有因式所以ax2-所以方程a2x2當方程a2x2+ax-a當方程a2x2+ax則有a2x2=ax+a將x=-12a代入方程ax綜上：a的取值范圍是-1【點睛】關鍵點睛：作為新型定義題，題中需要求什么，我們就從條件中去得到相應的關系，比如本題中，求不動點，就去求fx=x；求穩定點，就去求ff變式6．（1920高一上·江西撫州·期中）若f(x)為定義域D上的單調函數,且存在區間a,b?D（其中a<b),使得當x∈a,b1函數f(x)=x是否為“優美函數”？若是,2若f(x)=x+t為“3若函數f(x)=m-x+3為【答案】（1）f(x)=x是（2）-1（3）-【分析】（1）由已知條件中“優美函數”的定義，說明函數f(x)=x在區間a,b的值域是（2）由題意知，函數fx=x+t為“優美函數”（3）函數f(x)=m-x+3為“優美函數”，可得m-a【詳解】解：1因為函數fx=x在區間a∴a∵a∴a所以fx=x是“優美函數”,此時a2因為函數fx=要使fx在定義域區間上存在a,b,使得f則只需x+t由x+t=x得x2-x∴1+4t解得t∈3因為函數f(x)=由題意得m-得b+3∴b-可得b+3將上式代入方程組得m-a,b是方程令x+3=s,s∴解得m∈【點睛】本題考查的知識點是函數單調性和函數的值域，根據新定義構造出滿足條件的方程（組）或不等式（組），將新定義轉化為熟悉的數學模型是解答本題的關鍵，其中將方程組化歸為二次方程是第（3）問的關鍵，本題難度較大．變式7．（1920高一上·北京海淀·期中）已知x為實數，用x表示不超過x的最大整數.（1）若函數fx=x（2）若函數fx=x（3）若存在m∈R且m?Z，使得fm=fm，則稱函數fx是Ω【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）a>0且?k∈【分析】（1）根據取整函數的定義直接計算；（2）考慮x+12與x2（3）對a進行分類討論：a>0,a<0,a=0，利用單調性證明fm=fm在a=0,【詳解】（1）f(1.2)=1,f(1.2)=2；（2）因為[x+12]=[x2]或[x所以若函數fx=x+1（3）當函數f（x）=x+ax是Ω若a=0，則f（x）=x顯然不是Ω函數，矛盾．若a＜0，則fx所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞增，此時不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不會出現[m]＜0＜m的情形，所以此時f（x）=x+ax不是Ω當a＞0時，設f（m）=f（[m]），所以m+am=[m]+am，所以有a=m[m]，其中當m＞0時，因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，當m＜0時，[m]＜0，因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，記k=[m]，綜上，我們可以得到：a＞0且?k∈N?，a≠k2且a≠k（k+1）．【點睛】本題考查新定義背景下的取整函數問題，主要考查學生的運算和推理能力，難度較難.取整函數是一個比較?？嫉囊粋€函數，它實際上可以看做是一個分段函數，其函數圖象的每一段都是平行于x軸的.一、單選題1．（2324高一上·安徽淮北·期中）函數f(x)=A．[3,+∞) B．(-∞,-1)∪(-1,3] C．(-1,+∞) D．[-3,-1)∪(-1,+∞)【答案】A【分析】利用函數有意義列出不等式求解即得.【詳解】函數f(x)=x-所以原函數的定義域為[3,+∞).故選：A2．（2324高一上·江蘇徐州·階段練習）已知函數f(x)=2x-4，若fA．2 B．-2 C．±2 D．【答案】C【分析】根據給定的函數，代入解方程即得.【詳解】函數f(x)=2x-4，由f(2所以a的值等于±2.故選：C3．（2425高一上·上?！るS堂練習）函數y=2--x2+4A．-2,2 B．1,2 C．0,2 D．【答案】C【分析】由x∈0,4，得-【詳解】由x∈0,4，得所以y=2-故選：C.4．（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（

）A．y=|x|,????C．y=1,y=【答案】A【分析】利用同一個函數的條件是定義域相同，解析式也要相同，從而來作出判斷.【詳解】選項A，解析式等價，定義域也相同，所以是同一個函數；選項B，解析式化簡后相同，但定義域不同，因為分母不能取0，所以不是同一個函數；選項C，解析式化簡后都是1，但定義域不同，因為0的0次冪沒有意義，所以不是同一個函數；選項D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個函數.故選:A.5．（2223高一上·湖北咸寧·自主招生）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-x2A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【分析】根據題意，求出y=-x【詳解】y=-x2+4x故選：A.6．（2526高一上·全國·課前預習）已知集合M=-1,1,2,4，N=1,2,4，給出下列四個對應關系，其中能構成從MA．y=x2 B．y=x+1【答案】D【分析】根據函數定義判斷.【詳解】對應關系若能構成從M到N的函數，則應滿足：對M中的任意一個數x，通過對應關系在N中都有唯一的數y與之對應.A選項中，當x=4時，y=4B選項中，當x=-1時，y=-1+1=0?NC選項中，當x=-1時，y=-1-1=-2?ND選項中，當x=±1時，y=x=1∈N，當x=2時，y=x=2∈故選：D.7．（2425高一上·上?！るS堂練習）據調查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車的存車費是每輛一次3元，普通車的存車費是每輛一次2元．若普通車存車數為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系式是（

）A．y=x+8000B．y=x+12000C．y=-x+8000D．y=-x+12000【答案】D【分析】根據普通車存車數為x輛次，則變速車存車數為400-x【詳解】根據題意可知，存車總收入y（元）與x的函數關系式是y=2x+4000-x故選：D.8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=ax2+2axA．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．1,+∞【答案】B【分析】轉化為不等式ax2+2ax+1≥0對任意的x∈R恒【詳解】由題意，不等式ax2+2ax當a=0時，1≥0恒成立，即a當a≠0時，則a>0Δ=4綜上，a的取值范圍是0,1．故選：B二、多選題9．（2324高一上·浙江·期中）若函數y=x2-2x-3的定義域為A．12 B．1 C．32 D【答案】BCD【分析】根據已知條件及二次函數的性質即可求解.【詳解】由y=x2當x=1時，函數取得最小值為-x=0或2時，函數值為-因為函數y=x2-2所以1≤t實數t的可能取值為1，32，故選：BCD.10．（2324高一上·湖北·期中）下列命題為真命題的是（

）A．?n∈Z，B．?a∈R，二次函數y=x2C．“a>b”是“aD．fx=x【答案】BC【分析】根據全稱量詞命題、存在量詞命題、必要條件、同一函數等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當n是整數時，n2+B選項，二次函數y=x2+a的對稱軸為C選項，當ac2>所以“a>b”是“ac2>D選項，fx的定義域是R，gx的定義域是所以不是同一函數，故為假命題.故選：BC11．（2324高一上·浙江·期中）已知函數fx是一次函數，滿足ffx=4xA．fx=2xC．fx=2x【答案】AB【分析】設fx=kx+b，則由ff【詳解】由題意設fx因為ff所以kf(即k2所以k2=4kb+b所以fx=2x故選：AB三、填空題12．（2324高一上·廣東佛山·期中）已知函數fx-1=-x【答案】f【分析】利用換元法求函數解析式即可.【詳解】函數fx設t=x-1，則所以ft=-t則fx故答案為：fx13．（2324高一上·河南開封·期末）已知函數fx=x-1x【答案】[-1,0)∪[1,+∞)（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到x范圍，寫出符合題意的定義域即可.【詳解】令x-1x≥0，解得則f(x)故答案為：[-1,0)∪[1,+∞)（答案不唯一）.14．（2223高一上·貴州貴陽·階段練習）若函數y=ax2+4x+1【答案】0,4【分析】對a進行分類討論，結合判別式求得a的取值范圍.【詳解】當a<0時，函數y則函數y=ax2當a=0時，y定義域是x|x≥-1當a>0時，函數y=a則a>0Δ=16-4a綜上所述，a的取值范圍是0,4.故答案為：0,4四、解答題15．（2223高一上·