第二章復函數§1.解析函數1.1復變函數的定義1.2.復變函數的極限1.3.復變函數的連續1.4.復變函數的導數1.5.解析函數1.1復變函數的定義1.復變函數的定義:復習實函數的定義2.單(多)值函數的定義:3.定義域和值域:4.復變函數與實函數之間的關系:例如,5.復變函數的幾何表示復變函數w=f(z)涉及四個實變量x,y,u,v，因此不能用一個二維平面或者一個三維空間來表示了。由于函數實際上是一種對應、映射或者變換，因此可以用兩個平面來表示一個復變函數。自變量z所在的平面稱為z平面，函數值w所在的平面稱為w平面。用這種思想來解釋一元實函數的幾何表示。6.反函數的定義:解例1還是線段.解仍是扇形域.解思考題“函數”、“映射”、“變換”等名詞有無區別？在復變函數中,對“函數”、“映射”、“變換”等名詞的使用,沒有本質上的區別.只是函數一般是就數的對應而言,而映射與變換一般是就點的對應而言的.1.2.復變函數的極限

一.復數列極限的定義和幾何意義復習實數列極限的定義問：復數數列與實數數列極限之間的關系？如何證明這個結論？二.復變函數極限的定義和幾何意義先復習實函數極限的定義思考：在數學分析中，極限有24種。在復變函數中，極限還有24種嗎？復變函數中，極限只有4種！

當

時，

當

時，

當

時，設

則

當且僅當

證明

如果則

使得當時，命題三.復變函數極限與實函數極限的關系：所以反之，若則當時，所以,當時與實變函數的極限運算法則類似.四.復變函數極限的四則運算法則例1證(一)故證(二)例2證故例3.求極限1.3復變函數的連續性復習實函數的連續定理復變函數的連續性與實函數連續性的關系例如,定理四連續函數的運算法則特殊的:(1)有理整函數(多項式)(2)有理分式函數在復平面內使分母不為零的點也是連續的.例1例2證.

)(

,

)(

:00也連續在那末連續在如果證明zzfzzf例3下證f(z)在復平面上除去原點和負實數軸的區域上連續。

argz0復變函數的一致連續結論1.4復變函數的導數與微分1.導數的定義:先復習實函數的導數在定義中應注意:例1解例2解對任意的復數z，有例3解對任意的復數z，有證明

因為

所以2.可導與連續:如果函數f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續。反之，函數f(z)在z0處連續不一定在z0處可導.證[證畢]3.求導法則:由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致,并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣,因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:4.微分的概念:復變函數微分的概念在形式上與一元實函數的微分概念完全一致.定義特別地,1.5解析函數1.解析函數的定義2.奇點的定義根據定義可知:函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.但是,函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念.即函數在一點處可導,不一定在該點處解析.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.反之不對.反例：例4解定理以上定理的證明,可利用求導法則.根據定理可知:(1)所有多項式在復平面內是處處解析的.3.柯西-黎曼條件問題

定理3.1

證明

設

在點

處有導數

其中a

和b為實數，

當

時，

其中

滿足條件例1判定下列函數在何處可導,在何處解析？解不滿足柯西－黎曼方程,四個偏導數均連續例2證例6解例7解課堂練習答案課后作業證參照以上例題可進一步證明:

§2.初等函數

1.實指數函數的性質

一.指數函數2.指數函數的定義域的擴充：由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，有顯然定義稱作復指數函數，記作滿足上述條件，因此得到函數由第四章解析函數的唯一性定理可知這樣的函數是唯一的，因此可以將它定義為指數函數。3.復指數函數的性質：

注：

歐拉公式

問題：

4.指數函數的幾何性態二.初等多值函數——輻角函數單值分支.連續單值分支.上沿下沿思考題：定義設是一個多值函數，是的任意一個鄰域,是內任一繞一周的簡單閉曲線.在上取一點,我們從與對應的多個值中取出一個與其對應，設為,讓點從出發，沿繞一周，回到,對應的值從連續變化為如果則稱為的一個支點.三.對數函數1.定義注意：由于對數函數是指數函數的反函數，而指數函數是周期為2π的周期函數，所以對數函數必然是多值函數。注意：2.對數函數的基本性質注：問題：3.對數函數的主值相應于Argz的主值，我們定義Lnz的主值為：連續單值分支.對數函數的主值支.支割線.證明注：4.對數函數的映射性質三.冪函數復習實冪函數：1.定義可以看出割線！其中應當理解為對它求導數的那個分支.2.冪函數的映射性質

四.三角函數由Euler公式，對任何實數y，我們有：所以有定義

三角函數的性