專題1.7充分條件與必要條件-重難點題型精講1．命題及相關概念2．充分條件與必要條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．溫馨提示：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【題型1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【方法點撥】(1)定義法：首先分清條件和結論，然后判斷p?q、q?p和p?q是否成立，最后得出結論．(2)命題判斷法：①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【例1】（2022?呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【變式1-1】（2022春?溫州期中）設x，y都是實數，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【變式1-2】（2022?西寧一模）設m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式1-3】（2022?柯橋區模擬）設x∈R，則“x＞2”是“2xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型2充分條件、必要條件及充要條件的探索】【方法點撥】(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．【例2】（2022春?射洪市校級期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【變式2-1】（2021秋?南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜【變式2-2】（2022?全國一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（）A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．1【變式2-3】（2021秋?湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【題型3由充分條件、必要條件求參數】【方法點撥】根據充分、必要條件求參數的取值范圍時，先將p，q等價轉化，再根據充分、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解．【例3】（2021秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為（）A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1【變式3-1】（2021秋?羅莊區校級月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【變式3-2】（2022?晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【變式3-3】（2022?渭濱區校級模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C【題型4充要條件的證明】【方法點撥】證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結論”，必要性需要證明“結論”?“條件”．【例4】（2021秋?禪城區校級月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【變式4-1】（2021秋?金山區校級月考）設n∈Z，求證：“n是偶數”是“（n+1）2是奇數”的充要條件．【變式4-2】已知a，b，m都是正數．求證：“ba＜b+ma+m”的充要條件是“【變式4-3】求證：一個三角形是鈍角三角形的充要條件是三角形內有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和．專題1.7充分條件與必要條件-重難點題型精講1．命題及相關概念2．充分條件與必要條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．溫馨提示：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【題型1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【方法點撥】(1)定義法：首先分清條件和結論，然后判斷p?q、q?p和p?q是否成立，最后得出結論．(2)命題判斷法：①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【例1】（2022?呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【解題思路】分別化簡集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判斷出．【解答過程】解：由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件．故選：B．【變式1-1】（2022春?溫州期中）設x，y都是實數，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【解題思路】利用或和且的含義，再結合充要條件的定義判定即可．【解答過程】解：①當x＞2且y＞3時，則x＞2或y＞3，∴充分性成立，②∵x＞2或y＞3?x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要條件，故選：A．【變式1-2】（2022?西寧一模）設m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【解題思路】“m＜0”?“m＜1”，反之不成立，取m=1【解答過程】解：“m＜0”?“m＜1”，反之不成立，取m=1因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要條件．故選：C．【變式1-3】（2022?柯橋區模擬）設x∈R，則“x＞2”是“2xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】先將結論等價化簡，再根據充分與必要條件的概念即可求解．【解答過程】解：∵“2x＜1”等價于：2x?1＜0，即2?xx＜0，即x（x﹣2）＞∴“x＞2”是“2x故選：A．【題型2充分條件、必要條件及充要條件的探索】【方法點撥】(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．【例2】（2022春?射洪市校級期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【解題思路】利用子集和充要條件的關系判定即可．【解答過程】解：∵（0，1）?（0，2），∵p的一個充分不必要條件是0＜x＜1，故選：C．【變式2-1】（2021秋?南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜【解題思路】由（13，34）?（0，【解答過程】解：∵（13，34）?（0，∴p的一個充分不必要條件是13＜x故選：C．【變式2-2】（2022?全國一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（）A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．1【解題思路】取特殊值判斷ACD，根據充分必要條件的定義判斷B．【解答過程】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A錯誤，對于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分條件，故B正確，對于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C錯誤，對于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出1a+1b故選：B．【變式2-3】（2021秋?湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【解題思路】解不等式，可得x＞1，進而依次分析選項，判斷選項所給的不等式與x＞1的關系，可判斷選項．【解答過程】解：對于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根據題意，分析選項可得，A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要條件，B中，x＞2，當x＞2時，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，則不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要條件，C中，當x＜3時，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，則不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要條件，D中，x＞0，當x＞0時，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，則能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分條件，故選：D．【題型3由充分條件、必要條件求參數】【方法點撥】根據充分、必要條件求參數的取值范圍時，先將p，q等價轉化，再根據充分、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解．【例3】（2021秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為（）A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1【解題思路】根據充分條件、必要條件的定義進行求解即可．【解答過程】解：因為“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，所以a≤1a+4≥4，即0≤a故選：B．【變式3-1】（2021秋?羅莊區校級月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【解題思路】根據“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，可得P?Q，再建立a的不等式組可求解．【解答過程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，∴P?Q，∴a?4≤1a+4≥3，∴﹣1故選：A．【變式3-2】（2022?晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【解題思路】利用充分不必要條件的定義建立，建立條件關系即可求實數m的取值范圍．【解答過程】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則{x|﹣1＜x＜1}?{x|x＞m}，則m≤﹣1，故選：D．【變式3-3】（2022?渭濱區校級模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C【解題思路】由題意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，進而結合充分、必要條件與集合間包含關系的對應關系可得不等式組則有a?【解答過程】解：根據題意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，設此命題為p，命題12＜x則p的充分不必要條件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；則有a?解可得12故選：B．【題型4充要條件的證明】【方法點撥】證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結論”，必要性需要證明“結論”?“條件”．【例4】（2021秋?禪城區校級月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【解題思路】先假設a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立，化簡可得a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2]，從而證明a﹣b＝0，再假設a﹣b＝0證明a3﹣2a2b+2ab2﹣b【解答過程】證明：若a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0，則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝a3﹣b3+（2ab2﹣2a2b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+2ab（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2∵ab≠0，∴（a?12b）2+34b∴a﹣b＝0；若a﹣b＝0，則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（a?12b）2+34b2故a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【變式4-1】（2021秋?