2025屆南通市高二上數學期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.12．（一）單項選擇函數在處的導數等于（）A.0 B.C.1 D.e3．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現在距今五千年前長江下游地區的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.4．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.5．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.6．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)7．命題“若，都是偶數，則也是偶數”的逆否命題是A.若是偶數，則與不都是偶數B.若是偶數，則與都不是偶數C.若不是偶數，則與不都是偶數D.若不是偶數，則與都不是偶數8．下列事件：①連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數是（）A.1 B.2C.3 D.49．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關D.不是定值，與取值大小有關11．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.112．內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則符合條件的的一個整數值為______.14．某企業有4個分廠，新培訓了一批6名技術人員，將這6名技術人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數為________.15．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，則點G橫坐標的取值范圍為________16．已知函數，則滿足實數的取值范圍是__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由18．（12分）某小學調查學生跳繩的情況，在五年級隨機抽取了100名學生進行測試，得到頻率分布直方圖如下，且規定積分規則如下表：每分鐘跳繩個數得分17181920（1）求頻率分布直方圖中，跳繩個數在區間的小矩形的高；（2）依據頻率分布直方圖，把第40百分位數劃為合格線，低于合格分數線的學生需補考，試確定本次測試的合格分數線；（3）依據積分規則，求100名學生的平均得分.19．（12分）已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標20．（12分）如圖，在四棱柱中，底面，，，且，（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值21．（12分）數字人民幣是由央行發行的法定數字貨幣，它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況，某機構進行了一次問卷調查，結果如下：學歷小學及以下初中高中大學專科大學本科碩士研究生及以上不了解數字人民幣35358055646了解數字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學專科及以上學歷稱為“高學歷”，根據所給數據，完成列聯表.低學歷高學歷合計不了解數字人民幣了解數字人民幣合計（2）若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查，求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率：（3）根據列聯表，判斷是否有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.22．（10分）已知直線l經過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標，代入目標函數中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當經過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B2、B【解析】利用導數公式求解.【詳解】因為函數，所以，所以，故選；B3、B【解析】本題首先可根據題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據古典概型的概率計算公式即可得出結果.【詳解】點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.4、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B5、B【解析】先證明點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】因為平面平面，所以A1C1//平面ACD1，則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因為平面，所以平面，所以是平面一個法向量，所以平面ACD1的一個法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點睛】方法點睛：求點到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.6、B【解析】求點A和M的坐標，進而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.7、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結論對換后分別否定，因此“若都是偶數，則也是偶數”的逆否命題是若不是偶數，則與不都是偶數考點：四種命題8、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點這一事件可能發生也可能不發生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發生也可能不發生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B9、D【解析】原不等式等價于，根據的圖象判斷函數的單調性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數的圖象可知：在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，；當時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.10、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點，，且，為橢圓兩焦點，根據橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B11、B【解析】計算后，根據判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計算，判斷為否，計算，輸出.故選：B.12、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.(答案不唯一)【解析】給出一個符合條件的值即可.【詳解】當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，故答案為：.(答案不唯一)14、1560【解析】先把6名技術人員分成4組，每組至少一人，有兩種情況：（1）4個組的人數按3,1,1,1分配，（2）4個組的人數為2,2,1,1，求出所有的分組方法，然后再把4個組的人分給4個分廠，從而可求得答案【詳解】先把6名技術人員分成4組，每組至少一人.（1）若4個組的人數按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有(種).（2）若4個組的人數為2,2,1,1，則不同的分配方案有(種).故所有分組方法共有20＋45＝65(種).再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有(種).故答案為：156015、【解析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.【詳解】設直線的方程為，聯立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根設點、，設的中點為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.故答案為：16、【解析】分別對，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對，分別大于1，等于1，小于1的討論，當,解得當，不存在，當時，，解得，故x的范圍為點睛】本道題考查了分段函數問題，分類討論，即可，難度中等三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，定點的坐標為，實數的值為【解析】（1）由題意可得，再結合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設在直線上存在定點，當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，，將直線方程代入橢圓方程消去，利用根與系數，再計算為常數可求出，從而可求得，當直線斜率不存在時，可求出兩點的坐標，從而可求得的值【小問1詳解】由題意知結合，可得，所以橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設在直線上存在定點，使為定值，①當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，·由得，則，，所以為常數則，解之得，即定點為，則②當直線斜率不存在時，即動直線方程為，不妨設，，此時也成立所以，存在定點使為定值，即18、（1）（2）（3）分【解析】（1）根據頻率之和為列方程來求得跳繩個數在區間的小矩形的高.（2）根據百分位數的計算方法計算出合格分數線.（3）根據平均數的求法求得名學生的平均得分.【小問1詳解】設跳繩個數在區間的小矩形的高為，則，解得.【小問2詳解】第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，第六組的頻率為，所以第百分位數為.也即合格分數線為.【小問3詳解】名學生的平均得分為分.19、（1）；（2）答案見解析，直線過定點.【解析】（1）首先根據頂點為得到，再根據離心率為得到，從而得到橢圓C的方程.（2）設，，，與橢圓聯立得到，利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關系得到，從而得到直線恒過的定點.【詳解】（1）一個頂點為，故，又，即，所以故橢圓的方程為（2）若直線l的斜率不存在，設，，此時，與題設矛盾，故直線l斜率必存在設，，，聯立得，∴，∵，即∴，化為，解得或（舍去），即直線過定點【點睛】方法點睛：定點問題，一般從三個方法把握：（1）從特殊情況開始，求出定點，再證明定點、定值與變量無關；（2）直接推理，計算，在整個過程找到參數之間的關系，代入直線，得到定點.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因為，，所以，，因為，所以，所以，即因為底面，所以底面，所以因為，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則令，得設平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為【點睛】思路點睛：解決二面