平面向量

一、單選題

1.在同一平面內(nèi)，線段AB為圓C的直徑，動(dòng)點(diǎn)P滿足福.麗〉0，則點(diǎn)P與圓C

的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)P在圓C外部B.點(diǎn)P在圓。上C.點(diǎn)P在圓C內(nèi)部D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，而圓外的點(diǎn)P使而.麗＞0，由此判斷出正確結(jié)論.

【詳解】

在同一平面內(nèi)，線段AB為圓C的直徑，動(dòng)點(diǎn)P滿足Q.麗〉0,所以NAPB為銳角，

所以點(diǎn)P在圓C外部.故選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圓的直徑所對(duì)圓周角為直角，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，考查銳角、

鈍角、直角的余弦值的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知非零向量加3滿足胴=5比cos(〃?,〃)=g.若〃，則實(shí)數(shù)f的值為

()

33。

A.-TB.TC.-3D.3

5o

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直的向量數(shù)量積為0,結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】

r/?■r>r/trr、arr2iiriir,J,r,2

由〃+得“?(〃"+")=〃〃?〃+〃=/|m|-|M|-—+|H|=0,

.-J|+lj|n|2=0,解得f=-3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)量積的基本運(yùn)算以及垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知A(2,1),B(1,-2),C(|,-,動(dòng)點(diǎn)P(a,b)滿足0W罰?罰W2,^0<OPOB<

2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于;的概率為()

4

A.1B.—C.1-—D.—

64641616

【答案】A

【解析】試題分析：依題意有｛:J/；，目標(biāo)函數(shù)J(a-|)2+(fe+l)2>l,即

以C?,-：)為圓心，半徑為：的圓外.畫出可行域如下圖所示，圓外面積為故概率

554516

4n

為率=1一變.

—64

考點(diǎn)：幾何概型.

4.已知G為AABC的重心，且4不=尤而+），阮，則》、》的值分別為（）

11221221

A?—、—B?一、一C?一、—D?一、一

33333333

【答案】D

【解析】

【分析】

iw1uum1iw

利用三角形重心的向量性質(zhì)得出AG=§AB+§AC,再將/=通+配代入即可得

出結(jié)果.

【詳解】

由于G為AABC的重心，則

AG=-~^+-AC=-AB+-(AB+BC\=-AB+-BC,

3333、'33

21

因此，x=不，＞=：.

33

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，涉及三角形重心的向量性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

5.已知向量］=（L0）與向量3=（1：、回），則向整￡與刃的夾角是（）

【答案】B

【解析】

6.如圖，在△ABC中，46=8。=4,乙48。=30°,4。是邊8。上的高，則而?林

的值等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出|叫=2,則而.恁=而?（而+反）=|碼2=4；或建立平面直角坐標(biāo)

系，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出而?恁.

【詳解】

方法一：?.?A8=4,ZA5C=3O°,AO_L0C,而1=2

=AD（^D+5C）=|AD|2=4；

方法二：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：A（0,2）,C（4-2V3,0）,AD=（0,-2）,AC=（4-273-2）

：.ADAC=4

故選：8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

TT

7.已知點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足/+G月+覺=0,若NB4C=§,AB,AC=1?

則國的最小值是（）.

A底R(shí)6c小門也

A?B.C?D.

3232

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量關(guān)系，利用了豆，市表示AG，再根據(jù)向量的模以及基本不等式求最值.

【詳解】

因?yàn)?云+畫+阮=6，所以G是AABC重心，因此XC=.AB+A：

|VAB2AC22AB->^

++?|-|p|+

七3-6J

+2AB?普1+=甘，選A.（當(dāng)且僅當(dāng)M-M時(shí)取等

號(hào)）

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積、向量的模以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬基

礎(chǔ)題.

8.如圖所示，等邊AABC的邊長為2,AM||BC,且AM=6.若N為線段CM的

中點(diǎn)，則麗?8而=（）

A.18B.22C.23D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量坐標(biāo)的點(diǎn)擊運(yùn)算得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為％軸，過點(diǎn)A作垂直于AB的直線為V軸，建立如

圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0）,B（2,0）,C（l,句.因?yàn)锳ABC為等邊三角

形，且所以NM4B=120°，所以加卜3,36）.因?yàn)镹是C例的中點(diǎn)，

所以N（—1,26），所以麗=（—1,26），的=（—5,3月）.所以麗.兩=23.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

⑴向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)

用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題；（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是

向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)

化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法；（3）向量的兩個(gè)作用：①載體

作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；

②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

9.在AABC中，N為AC的四分之一等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P在線段BN上，若

Q+通+|祝，則實(shí)數(shù)小的值為（）

11C

A.-B.-C-1D-3

【答案】A

【解析】

：.AN=-AC,

4

設(shè)87=2麗，則

AP>-=AB+BP=AB+2（AA?-A8）=（l-A）AB+/lA]V=（l-2）AB+-^AC

■：AP=\m+-\AB+-BC=mAAB+29AC,

I99

42

--8

49即A--

9-

故答案選：A.

10.已知同=2網(wǎng)，忖卜。且關(guān)于x的方程f+同％-無5=0有兩相等實(shí)根，則向量”

與石的夾角是()

7171K2%

A.--B----C.-D.—

6333

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)關(guān)于*的方程x2+\a\x-a-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根便可得到

△=同+4同Mcos1,5=0,而由11=21卜(),便可得到cos(a?=—；,從而便可

得出￡與坂夾角的大小.

【詳解】

方程x2+同x-無5=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，

.，.A=|a|2+4a-b=|?|2+4|磯司cos&,5=0,

：卜1=2"H0，二2網(wǎng)=-4碼cosO,5,

cos(a,B)=一萬，；.&與否的夾角為夸，故選D.

【點(diǎn)睛】

考查一元二次方程實(shí)根的情況和判別式A取值的關(guān)系，以及向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向

量夾角的范圍，己知三角函數(shù)值求角.

11.在Ri△NBC中，NdC8=90°，且5c=3,點(diǎn)M滿足施則

CMCB=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

如圖所示，過點(diǎn)M作MD_LCB于萬，則CD=1CB=：1，所以d而-無=

3

函-向|cos（屈，麗）=1畫-畫=3x1=3,故選B.

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義.

12.已知向量而、〃滿足同=2,卜卜3,|他一〃卜JF7,則（）

A.-V?B.-1

C.-2D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的模￡=￡-，將所q=5/萬平方，可得送2—2而i+7=17，其中

m=|w|=4,n=|??|=9,可解得五的值.

【詳解】

何―q=j萬平方可得而2一2而4+7=17，

又機(jī)=|/2z|=4,n=|n|=9,

/.m?n--2-

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的數(shù)量積運(yùn)算，模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.已知】=(2+41)石=(3,4),若＜々石＞為鈍角，則」的取值范圍

是

3

【答案】4＜一G且X。—3

2

【解析】略

14.已知向量a=(x,l),b=(2,y),若a+b=(l,—1),貝||x+y=.

【答案】-3

【解析】

試題分析：因?yàn)閍+b=(x+2,l+y)=(l,—l),所以匕+丫__］，解得：\y__2

所以x+y=—l—2=—3,所以答案應(yīng)填：—3.

考點(diǎn)：向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算.

15.AABC中，AB=i,ABAC=2,貝！］tan/ACB的最大值為

【答案】顯

4

【解析】

2e1tnACCSA

分析：先求出cosA=「；，再利用正弦定理求出S〃C=^--------再利用三角變

AC2-cos2A

換和基本不等式求其最大值.

2

詳解：由題得lxACxcosA=2,「.cosA=——,

AC

由正弦定理得

ACACI

ACsinC=sin(A+C),

sinBsin(A+C)sinC

ACsinC=sinAcosC+cosAsinC,

ACsinC=sinAcosC+—sinC,

AC

2

(AC------)sinC=sinAcosC,

AC

2sinAsinA_sinAcosA

/.(AC------)tanC=sinA,/.tanC=

2

AC2——cosA2-cosA

AC-ACcosA

sinAcosA_tanA_1-1_V2

2sin2A+cos2A2tan2A+l2tan/A+一南F

tanA

所以tanZACB的最大值為之.故答案為：在

44

點(diǎn)睛：（2）本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查正弦定理和三角變換，考查基本不

等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力（2）本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn),

q〔n4ccqAInn/X

其一是求出相〃c=-------r-）其二是化簡得到相〃c=7;~~2“,‘再利用基本不

2-cos'A2tan2A+l

等式求最大值.

16.已知正A43C的邊長為3,點(diǎn)尸是邊上一點(diǎn)，且—區(qū)4,則。戶。4

3

【答案】6

【解析】

試題分析：如圖所示,

->—>->

因?yàn)镃F=CB+BF，

所以CFCA

—>—>fT->t—>

^CB+BF^CA=CBCA+BFCA=^xcos60+3xlxcos60=6.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積.

三、解答題

17.已知o4=G，OB=B，點(diǎn)G是△048的重心，過點(diǎn)G的直線P0與。4、0B

分別交于產(chǎn)、。兩點(diǎn).

(1)用￡、b表示旃；

_.———11

(2)若0P=mG,OQ=nh,試問一+一是否為定值，證明你的結(jié)

mn

o

論.

一1一

【答案】(1)OG=-(a+b)；(2)定值為3,證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)延長0G交A8于。，即有。為A8的中點(diǎn)，應(yīng)用重心的性質(zhì)和中點(diǎn)向量表示，可

得前；

(2)由已知條件求得2、B，結(jié)合(1)的結(jié)論，應(yīng)用三點(diǎn)共線的向量表示，其系數(shù)和

為1,即可得到所求定值.

【詳解】

(1)點(diǎn)G是△Q4B的重心，

延長OG交A5于。，即有。為A3的中點(diǎn)，

可得。6=3。方=§乂5(04+08)=§(5+B)；

11日—

(2)-H—為定值3.

mn

理由：由0戶=加。，OQ=nb，

可得萬二OP,b=—0Q,

mn

即有oG--^―OP+-^―OQ,

3m3力

由三點(diǎn)尸，G,Q共線，可得—I"丁=1,

3m3n

即為--1——3.

mn

則上+工為定值3.

mn

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量和應(yīng)用，主要是向量共線定理和三點(diǎn)共線的向量表示，考查運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

18.在正方形中，設(shè)E為邊45的中點(diǎn)，且麗=￡,而=況試用基底桓，耳表

示徐M.

【答案】CE=-\a-b,DE=\a-b

22

【解析】

【分析】

由區(qū)=圍+8無=/+3區(qū)4,詼=礪+荏可得.

【詳解】

如圖，CE=CB+BE=DA+-BA=-b--a,DE^DA+AE=-b+-a.

222

即Cm=---a-b,DE--a-h

22

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理.考查平面向量線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖，已知向量a和向量5,用三角形法則作出a—b+a?

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分析題目，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作向量函=a,作向量礪="根據(jù)向量的減法法則得

到麗=。-6;接下來作向量恁=a,至此便可得到所求作的向量a—h+a,從而解答此

題.

【詳解】

作法：作向量礪=a,向量詼=江則向量函=。一從

如圖所示；作向量衣=a,則而=〃-h+a.

【點(diǎn)睛】

本題是一道關(guān)于向量的題目，關(guān)鍵掌握向量的三角形法則與平行四邊形法則.

20.若3加+2〃=a，m-3n=5,其中a，很是已知向量，求〃z,n.

32-

m=—aH——b

1111

【答案】

_13

n=—a-----br

1111

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算解方程組，即可.

【詳解】

把已知中的兩個(gè)等式看作關(guān)于石，n的方程

32-

m--a-\——b

3m+2n-a

聯(lián)立得方程組《r解得｛1111

m-3n=b1