遼寧省部分名校2024-2025學年高二上學期10月聯合質量檢測試題高二考試數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內容：人教B版必修第四冊第十一章，選擇性必修第一冊第一章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.十三棱錐的頂點的個數為A.13 B.14 C.20 D.262.已知空間向量，.若，則A.12 B.10 C.-10 D.-123.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是A.，， B.，，C.，， D.，，4.在空間直角坐標系中，已知，，為整數，則的最小值為A.3 B.4 C.5 D.65.某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內切球的直徑為A. B. C. D.6.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為A. B. C. D.7.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側面與底面所成角的正切值為，則四棱錐在頂點處的曲率為A. B. C. D.8.在三棱錐中，為的重心，，，，，，若交平面于點，且，則的最小值為A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知幾何體為長方體，則A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為10.在空間直角坐標系中，，，，，則A.點在平面內 B.四面體為正四面體C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為11.如圖，現有一個底面直徑為，高為的圓錐形容器，已知此刻容器內液體的高度為，忽略容器的厚度，則A.此刻容器內液體的體積與容器的容積的比值為B.容器內液體倒去一半后，容器內液體的高度為C.當容器內液體的高度增加時，需要增加的液體的體積為D.當容器內沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，容器內液體的高度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12若空間向量，若則_____.13.已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經過球心，，，則點到平面的距離的最大值為_____，球的表面積為__________.14.在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點，，分別為直線，上的動點，則線段的長度的最小值為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.16.（15分）在正四棱臺中，.（1）若，四棱臺的體積為，求該四棱臺的高；（2）若，求的值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面，平面，.（1）證明：平面平面.（2）若，，且異面直線與所成角的正切值為，求平面與平面所成二面角的正弦值.18.（17分）如圖，在正方體中，，.（1）當取得最小值時，求與的值.（2）設與平面所成的角為.①若，求的值；②證明：存在常數，使得為定值，并求該定值.19.（17分）空間向量的叉乘是三維歐幾里得空間中定義的一種新運算，它可以用來描述空間向量之間的垂直關系.設空間向量，，則叉乘的運算公式為（1）證明：.（2）設，，是平面內不共線的三個不同的點.①證明：是平面的一個法向量.②說明的幾何意義（即說明的長度與方向的幾何意義）.

高二考試數學試卷參考答案1.B十三棱錐的頂點的個數為.2.A依題意得，解得，，.3.C，A錯誤.，B錯誤.易得，，三個向量不共面，C正確.，D錯誤.4.C，當時，為增函數，所以，因為為整數，所以的最小值為.5.B設該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內切球的直徑為.6.D設與的夾角為，由，得，兩邊同時平方得，所以1，解得，又，所以.7.D如圖，連接,，設，連接，則平面.取的中點，連接，，則為側面與底面所成的角.設，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個側面均為正三角形，所以頂點的每個面角均為，故正四棱錐在頂點處的曲率為.8.A因為，所以.因為，，，所以.因為，，，四點共面，所以，即.因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為1.9.AC在長方體中，因為平面，所以，所以A正確，B錯誤.因為，，所以C正確，D錯誤.10.ABD因為，所以為線段的中點，所以點在平面內，A正確.因為，所以四面體為正四面體，B正確.因為點到直線的距離為，且為線段的中點，所以點到直線的距離為，C錯誤.設平面的法向量為，則令，得，因為，所以點到平面的距離為，D正確.11.BCD此刻容器內液體的體積與容器的容積的比值為，A錯誤.設容器內液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確.因為，，所以當容器內液體的高度增加時，需要增加的液體的體積為，C正確.當容器內沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，設容器內液體的高度為，體積，則，，D正確.12.-2依題意得，解得.13.4；設球的半徑為，由正弦定理得，則，則點到平面的距離的最大值為4，球的表面積為.14.連接，，設，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設與，都垂直的向量為，則，即令，得，則線段的長度的最小值為.15.證明：（1）連接，則為的中點.因為為棱的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為，分別為，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為點在棱上，且，所以，由題意易得，則，因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，，所以平面平面.16.解：（1）設該正四棱臺的高為，則，解得.（2）在正四棱臺中，底面與底面均為正方形，且對應邊互相平行，所以，，過作，垂足為（圖略），易得，所以，所以.故.17.（1）證明：底面，.，，平面.平面，平面平面，，平面.又平面，平面平面.（2）解：，直線與直線所成的角為.底面，，，即.設為2個單位長度，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，.設平面的法向量為，則取，則，，得.易知平面的一個法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.18.（1）解：以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.，，，所以，當時，取得最小值，此時.因為，所以.（2）①解：，設平面的法向量為，則即令，得.因為，