CAGD出

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計算機輔助幾何設計

廈門大學曾曉明教授

助教楊軍

1.課程簡介

計

算

計算機輔助幾何設計(ComputerAidedGeometric

機Design,簡稱CAGD)這一術語1974年由巴恩希爾

輔(Barnhill)與里森費爾德(Riesenfeld)在美國猶他(Utah

助大學的一次國際會議上提出，以描述計算機輔助設

幾計(CAD)的更多的數學方面，為此加上“幾何”的

何修飾詞，在當時，其含義包括曲線、曲面和實體的

表示，及其在實時顯示條件下的設計，也擴展到其

設

他方面，例如四維曲面的表示與顯示。自此以后，

計

◎計算機輔助幾何設計開始以一門獨立的學科出現。

碎

計

算

機

1971年英國的福里斯特(Forrest)曾給出了含

輔義與CAGD大致相同的另一名稱——計算幾何

助(ComputationalGeometry),定義為形狀信息的計

幾算機表示、分析與綜合。但是由于“計算幾何”

何同時也用于另外一門介紹關于幾何搜索、凸包、

設近似、相交等算法的學科，因此為避免“計算幾

計何”這一名稱的二義性，這里沿用計算機輔助幾

何設計這一學科名稱。

◎

碎

1.1CAGD的研究對象與核心問題

計

算本學科是隨著航空、汽車等現代工業的發展與

機計算機的出現而產生與發展起來的一門新興學科。

輔其主要研究對象是工業產品的幾何形狀。一類僅在

初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、森面、

助

幾圓環面等）組成，大多數機械零件屬于這一類；第

何二類由以復雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由

型曲線曲面組成，例如飛機、汽車、船舶的外形零

設

件，而這一類形狀單純用畫法幾何與機械制圖是不

計

◎能表達清楚的。

碎

圖例：工業產品中的解析曲面和自由型曲面

計

算

機

輔

助

幾

何

設

計

◎滑動軸承座及軸承蓋等汽車車身由若干自由型

機械零件，由若干解析曲面拼接而成，無法用

碎曲面拼接而成。解析曲面表示。

計

算

機

輔在工業上，人們一直在尋求用數學方法惟一

地定義自由型曲線曲面的形狀以便由計算機來完

助成大量的工作。形狀的幾何定義為所有的后置處

幾理（如數控加工、物性計算、有限元分析等）提供

何了必要的先決條件。在形狀信息的計算機表示、

設分析與綜合中，々心內向紅］計算機表示，即要

計找到既適合計算機處理且有效地滿足形狀表示與

幾何設計要求，又便于形狀信息傳遞和產品數據

交換的形狀描述的數學方法。

1.2形狀數學描述的發展主線(歷史回顧)

計

算自由型曲線曲面因不能由畫法幾何與機械制圖

機方法表達清楚，成為工程師們首先要解決的問題。

輔1963年，美國波音(Boeing)飛機公司的弗格森

助(Ferguson)首先提出將曲線曲面用參數方程表示。

幾他最早引入參數三次曲線，構造了組合曲線和由四

何角點的位置矢量及兩個方向的切矢定義的弗格森雙

設三次曲面片。弗格森所采用的曲線曲面的參數形式

計從此成為形狀數學描述的標準形式。

爭

碎

計

算1964年，美國麻省理工學院(Massachusetts

機InstituteOfTechnology,簡稱MIT)的孔斯(Coons)發

輔表了一個具有一般性的曲面描述方法。但它與

助弗格森曲面片一樣都存在形狀控制與連接問題。

幾同年，舍恩伯格(schoenberg)提出的樣條函

何數提供了解決連接問題的一種技術，樣條方法用

設于解決插值問題，在構造整體上達到某種參數連

計續階(指可微性)的插值曲線、曲面時是很方便的

,但不存在局部形狀調整的自由度，而且樣條曲

線和曲面的形狀難以預測。

◎

碎

計

算法國雷諾(Renault)汽車公司的貝齊爾(Bezier)于

機1971年發表了一種由控制多邊形定義曲線的方法。

輔設計員只要移動控制頂點就可方便地修改曲線的形

助狀，而且形狀的變化完全在預料之中，貝齊爾方法

幾簡單易用，又出色地解決了整體形狀控制問題。為

何CAGD的進一步發展奠定了堅實基礎。貝齊爾方

法仍存在連接問題，還有局部修改問題。稍早于貝

設齊爾，在法國雪鐵龍(Citroen)汽車公司工作的德卡

計斯特里奧(deCasteljau)也曾獨立地研究發展了同樣

的方法，但結果從未公開發表。

@

山

計

算

機德布爾(deBoor)于1972年給出了關于B樣條

輔的一套標準算法。美國通用汽車公司的戈登

助(Gordon)和里森費爾德(Riesenfeld)于1974年將

B樣條理論應用于形狀描述.提出了B樣條曲線

幾曲面。它幾乎繼承了貝齊爾方法的一切優點，克

何服了貝齊爾方法存在的缺點，較成功地解決了局

設部控制問題，又輕而易舉地在參數連續性基礎上

計解決了連接問題。

◎

碎

計

算B樣條方法較成功地解決了自由型曲線曲面形狀

機的描述問題。然而，將其應用于圓錐截線及初等解

輔析曲面卻是不成功的，都只能給出近似表示。為此

助,1975年美國錫拉丘茲(Syracuse)大學的弗斯普里

幾爾(Versprille)在他的博士論文中首先提出了有理B樣

何條方法。以后，主要由于皮格爾(Piegl)、蒂勒

設(Tiller)和法林(Farin)等人的功績，至20世紀80年代

計后期，非均勻有理B樣條(NonUniformRationalB

spline,簡稱NURBS)方法成為用于曲線曲面描述的

最廣為流行的數學方法。

◎

碎

1.3其他一些重要進展與趨向

計

算

機當今大部分CAD系統中的曲面都定義在矩形

輔上。其主要原因要追溯到曲面設計方法的最初應用

助上。當初設計的汽車與飛機機身等物體的外形曲面

幾均具有內在的矩形結構。這導致早期系統都圍繞矩

何形曲面片建立。后來，在一些更復雜的零件造型中

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設矩形曲面片與矩形拓撲的局限性就暴露出來。N

邊曲面片特別是三邊曲面片成為一個廣泛