學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共4頁江蘇省無錫市丁蜀區2025屆數學九年級第一學期開學質量跟蹤監視模擬試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．2、（4分）要使二次根式x-3有意義，則x的取值范圍是（）A．x>3． B．x<3. C．x≥3． D．x≤3．3、（4分）下列二次根式化簡后能與合并成一項的是（）A． B． C． D．4、（4分）在ABCD中，∠A：∠B:∠C：∠D的度數比值可能是（）A．1:2:3:4 B．1:2:2:1 C．1:1:2:2 D．2:1:2:15、（4分）下列多項式中，能用完全平方公式因式分解的是（）A．m2mnn2 B．x2y22xyC．a22a D．n22n46、（4分）方程3+9=0的根為（）A．3 B．－3 C．±3 D．無實數根7、（4分）彈簧掛上物體后伸長，已知一彈簧的長度（cm）與所掛物體的質量（kg）之間的關系如下表：下列說法錯誤的是（）物體的質量（kg）012345彈簧的長度（cm）1012.51517.52022.5A．在沒掛物體時，彈簧的長度為10cmB．彈簧的長度隨物體的質量的變化而變化，物體的質量是因變量，彈簧的長度是自變量C．如果物體的質量為mkg，那么彈簧的長度ycm可以表示為y=2.5m+10D．在彈簧能承受的范圍內，當物體的質量為4kg時，彈簧的長度為20cm8、（4分）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）A．(a3)(a3)a29 B．a22a3a(a2)C．a24a5(a4)5 D．a2b2(ab)(ab)二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）在平面直角坐標系中，若點P(2x＋6，5x)在第四象限，則x的取值范圍是_________；10、（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=__________度．11、（4分）“端午節”前，商場為促銷定價為10元每袋的蜜棗粽子，采取如下方式優惠銷售：若一次性購買不超過2袋，則按原價銷售；若一次性購買2袋以上，則超過部分按原價的七折付款．張阿姨現有50元錢，那么她最多能買蜜棗粽子_____袋．12、（4分）下面是某校八年級（1）班一組女生的體重（單位：kg）36354542334042，這組數據的平均數是____，眾數是_____，中位數是_____．13、（4分）在中，，，，_______．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，在中，，過點的直線，為邊上一點，過點作交直線于點，垂足為點，連結、．（1）求證：；（2）當點是中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若點是中點，當四邊形是正方形時，則大小滿足什么條件？15、（8分）化簡與計算：（1）；（2）16、（8分）請用無刻度尺的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）.（1）圖1中，點是的所在邊上的中點，作出的邊上中線.（2）如圖，中，，且，是它的對角線，在圖2中找出的中點；（3）圖3是在圖2的基礎上已找出的中點，請作出的邊上的中線.17、（10分）如圖①，在正方形ABCD中，，點E，F分別在BC、CD上，，試探究面積的最小值。下面是小麗的探究過程：(1)延長EB至G，使，連接AG，可以證明．請完成她的證明；(2)設，,①結合（1）中結論，通過計算得到與x的部分對應值。請求出表格中a的值：（寫出解答過程）x112345678911118.186.675.384.293.33a1.761.111.531②利用上表和（1）中的結論通過描點、連線可以分別畫出函數、的圖像、請在圖②中完善她的畫圖；③根據以上探究，估計面積的最小值約為（結果估計到1．1）。圖①圖②18、（10分）（知識背景）據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的三個正整數，稱為勾股數．（應用舉例）觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，并且勾為3時，股，弦；勾為5時，股，弦；請仿照上面兩組樣例，用發現的規律填空：（1）如果勾為7，則股24＝弦25＝（2）如果勾用（，且為奇數）表示時，請用含有的式子表示股和弦，則股＝，弦＝．（解決問題）觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根據應用舉例獲得的經驗進行填空：（3）如果是符合同樣規律的一組勾股數，（表示大于1的整數），則，，這就是古希臘的哲學家柏拉圖提出的構造勾股數組的公式．（4）請你利用柏拉圖公式，補全下面兩組勾股數（數據從小到大排列）第一組：、24、：第二組：、、1．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）一次函數y＝(m＋2)x＋3－m，若y隨x的增大而增大，函數圖象與y軸的交點在x軸的上方，則m的取值范圍是____．20、（4分）八年級（3班）同學要在廣場上布置一個矩形花壇，計劃用鮮花擺成兩條對角線．如果一條對角線用了20盆紅花，還需要從花房運來_______盆紅花．如果一條對角線用了25盆紅花，還需要從花房運來_______盆紅花．21、（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝3，AE垂直平分OB于點E，則AD的長為_____．22、（4分）己知關于的分式方程有一個增根，則_____________．23、（4分）分解因式：_____.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）為迎接：“國家衛生城市”復檢，某市環衛局準備購買A，B兩種型號的垃圾箱，通過市場調研得知：購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需540元，購買2個A型垃圾箱比購買3個B型垃圾箱少用160元．（1）求每個A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？（2）該市現需要購買A，B兩種型號的垃圾箱共30個，其中買A型垃圾箱不超過16個．①求購買垃圾箱的總花費w（元）與A型垃圾箱x（個）之間的函數關系式；②當買A型垃圾箱多少個時總費用最少，最少費用是多少？25、（10分）先化簡再求值：,再從0，﹣1，2中選一個數作為a的值代入求值．26、（12分）西蜀圖書室近日購進甲、乙兩種圖書，每本甲圖書的進價比每本乙圖書的進價高20元，花780元購進甲圖書的數量與花540元購進乙圖書的數量相同．(1)求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元？(2)西蜀圖書室計劃購進甲、乙兩種圖書共70本，總購書費用不超過4000元，則最多購進甲種圖書多少本？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】分析：要求最短路徑，首先要把圓柱的側面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．詳解：把圓柱側面展開，展開圖如圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5π，所以AC=，故選C．點睛：本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是會將圓柱的側面展開，并利用勾股定理解答．2、C【解析】

根據二次根式的性質，被開方數大于等于0，列不等式求解．【詳解】解：根據題意得：x-3≥0，解得，x≥3．

故選：C．本題考查二次根式有意義的條件，利用被開方數是非負數得出不等式是解題關鍵．3、D【解析】

先把各二次根式化為最簡二次根式，然后根據同類二次根式的定義分別進行判斷．【詳解】A．=3，所以A選項不能與合并；B．=，所以B選項不能與合并；C．是最簡二次根式，所以C選項不能與合并；D．=10，所以D選項能與合并．故選D．本題考查了同類二次根式：把各二次根式化為最簡二次根式后，若被開方數相同，那么這些二次根式叫同類二次根式．4、D【解析】

根據平行四邊形的兩組對角分別相等判定即可【詳解】解：根據平行四邊形的兩組對角分別相等，可知D正確．

故選：D．此題主要考查了平行四邊形的性質，熟知平行四邊形的兩組對角分別相等這一性質是解題的關鍵．5、A【解析】分析：根據完全平方公式的結構特點：必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的1倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解．詳解：A．m1﹣mn+n1其中有兩項m1、n1能寫成平方和的形式，mn正好是m與n的1倍，符合完全平方公式特點，故本選項正確；B．x1﹣y1﹣1xy其中有兩項x1、－y1不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式特點，故本選項錯誤；C．a1﹣1a+中1a不是a與的積的1倍，不符合完全平方公式特點，故本選項錯誤；D．n1﹣1n+4中，1n不是n與1的1倍，不符合完全平方公式特點，故此選項錯誤．故選A．點睛：本題主要考查了能用完全平方公式分解因式的式子特點，熟記公式結構是解題的關鍵．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b）1．6、D【解析】原方程可化為：，∵負數沒有平方根，∴原方程無實數根.故選D.7、B【解析】

因為表中的數據主要涉及到彈簧的長度和所掛物體的重量，所以反映了所掛物體的質量和彈簧的長度之間的關系，所掛物體的質量是自變量；彈簧的長度是因變量；由已知表格得到彈簧的長度是y=10+2.5m，質量為mkg，y彈簧長度；彈簧的長度有一定范圍，不能超過．【詳解】解：A．在沒掛物體時，彈簧的長度為10cm，根據圖表，當質量m=0時，y=10，故此選項正確，不符合題意；B、反映了所掛物體的質量和彈簧的長度之間的關系，所掛物體的質量是自變量；彈簧的長度是因變量，故此選項錯誤，符合題意；C、當物體的質量為mkg時，彈簧的長度是y=12+2.5m，故此選項正確，不符合題意；D、由C中y=10+2.5m，m=4，解得y=20，在彈簧的彈性范圍內，故此選項正確，不符合題意；故選B．點評：此題考查了函數關系式，主要考查了函數的定義和結合幾何圖形列函數關系式．函數的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數，x叫自變量．8、D【解析】

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，結合選項進行判斷即可．【詳解】解：A、是整式的乘法，故A錯誤；

B、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故B錯誤；

C、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故C錯誤；

D、把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故D正確；

故選：D．本題考查了因式分解的意義，注意因式分解后左邊和右邊是相等的，不能憑空想象右邊的式子．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、﹣3＜x＜1【解析】

根據第四象限內橫坐標為正，縱坐標為負可得出答案.【詳解】∵點P（2x-6，x-5）在第四象限，∴2x+解得-3＜x＜1．故答案為-3＜x＜1.本題考查了點的坐標、一元一次不等式組，解題的關鍵是知道平面直角坐標系中第四象限橫、縱坐標的符號.10、22.5°【解析】

四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OB═OC，∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∠EAC=2∠CAD，∠EAO=∠AOE，AE⊥BD，∠AEO=90°，∠AOE=45°，∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．考點：矩形的性質；等腰三角形的性質．11、6【解析】

根據一次性購買不超過2袋，則按原價銷售；若一次性購買2袋以上，則超據：2袋原價付款數+超過2袋的總錢數≤50，列出不等式求解即可得.【詳解】解：設可以購買x（x為整數）袋蜜棗粽子.，解得：，則她最多能買蜜棗粽子是6袋.故答案為：6.此題考查了一元一次不等式的應用，關鍵是讀懂題意，找出題目中的數量關系，列出不等式，注意x只能為整數.12、【解析】

分別利用平均數、眾數及中位數的定義求解后即可得出答案．【詳解】解：將數據重新排列為33、35、36、40、42、42、45，所以這組數據的平均數為，眾數為、中位數為，故答案為：、、．此題考查了平均數、眾數和中位數，一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數．將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以總個數．13、1【解析】

根據10°所對的直角邊等于斜邊的一半求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠A＝10°，BC＝，∴AB＝2BC＝1．故答案為：1．本題考查含10°角的直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】

（1）連接，利用同角的余角相等，得到，利用平行四邊形的判定和性質得結論；（2）先證明四邊形是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半說明鄰邊相等，證明該四邊形是菱形；（3）由平行線的性質得出，由正方形的性質得出，，即可得出結論．【詳解】解：（1）證明：，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，；（2）解：四邊形是菱形．理由如下：由（1）知：四邊形是平行四邊形，，，在中，點是的中點，，又，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．（3）解：，理由如下：，，四邊形是正方形，，，．本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定、正方形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、平行線的性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．15、（1）；（2）.【解析】

（1）根據二次根式的化簡的方法可以解答本題；（2）根據二次根式的乘法、除法和加法可以解答本題．【詳解】解：（1）（x≥0，y≥0）==5xy；(2)==6×+4×=3+8=11.本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是明確二次根式的混合運算的計算方法．16、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）根據三角形的三條中線交于一點即可解決問題．（2）延長AD，BC交于點K，連接AC交BD于點O，作直線OK交AB于點E，點E即為所求．（3）連接EC交BD于K，連接AK，DE交于點O，作直線OB交AD于F，線段BF即為所求【詳解】（1）圖1中，中線CE即為所求．（2）如圖2中，AB的中點E即為所求（3）圖3中，AD邊上中線BF即為所求．本題考查作圖-復雜作圖，三角形的中線等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.17、（1）見解析；（2）①，②見解析；③41.4或41.5.【解析】

（1）AB=AD，BG=DF，則AG=AF，∠DAF+∠BAE=91°-∠EAF=45°=∠EAF，AF=AG，AE=AE，則△AFE≌△AGE（SAS），即可求解；

（2）①∵CE=BC-6=4，設DF=a，CF=11-a，EF=DF+BE=6+a，由勾股定理即可求解；②由①得：y2=y1+x，描點畫圖即可；

（3）利用分割法即可得出．【詳解】（1）證明：如圖①，延長EB至G，使，連接AG.四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，.（2）①在中，，，，解這個方程，得.②如圖②所示.③S△AEF=SABCD-S△ADF-S△ABE-S△EFC=111=111-（DF+BE）11-=111-EF11-=111-5y2-（11-x）（11-y1）=51-xy1當x=4，y1=4.29時，S△AEF最小S△AEF=51-×4×.29≈41.4或41.5.圖①圖②本題為四邊形綜合題，涉及到三角形全等、函數作圖，此類題目通常在作圖的基礎上，從圖表查閱符合條件的數據點，進而求解．18、（1）；；（2）；；（3）；；（4）10；26；12；2；【解析】

（1）依據規律可得，如果勾為7，則股24=，弦25=；

（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股=，弦=；

（3）根據規律可得，如果a，b，c是符合同樣規律的一組勾股數，a=2m（m表示大于1的整數），則b=m2-1，c=m2+1；

（4）依據柏拉圖公式，若m2-1=24，則m=5，2m=10，m2+1=26；若m2+1=1，則m=6，2m=12，m2-1=2．【詳解】解：（1）依據規律可得，如果勾為7，則股24=，弦25=；

故答案為：；；

（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股=，弦=；

故答案為：；；（3）根據規律可得，如果a，b，c是符合同樣規律的一組勾股數，a=2m（m表示大于1的整數），則b=m2-1，c=m2+1；

故答案為：m2-1，m2+1；

（4）依據柏拉圖公式，

若m2-1=24，則m=5，2m=10，m2+1=26；

若m2+1=1，則m=6，2m=12，m2-1=2；

故答案為：10、26；12、2．此題主要考查了勾股數的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、－2＜m＜1【解析】

解：由已知得：，解得：-2＜m＜1．故答案為：-2＜m＜1．20、201【解析】

根據矩形的對角線相等且互相平分，即可得出結果．【詳解】解：如果一條對角線用了20盆紅花，還需要從花房運來20盆紅花；理由如下：

∵矩形的對角線互相平分且相等，

∴一條對角線用了20盆紅花，

∴還需要從花房運來紅花20盆；

如果一條對角線用了25盆紅花，還需要從花房運來1盆紅花；理由如下：

一條對角線用了25盆紅花，中間一盆為對角線交點，25-1=1，

∴還需要從花房運來紅花1盆，

故答案為：20，1．本題考查矩形的性質，解題關鍵是熟練掌握矩形的對角線互相平分且相等的性質．21、3【解析】

由矩形的性質和線段垂直平分線的性質證出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝；故答案是：3．考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．22、【解析】

增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根．有增根，那么最簡公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值．【詳解】方程兩邊都乘(x?3)，得x?2(x?3)=k+1，∵原方程有增根，∴最簡公分母x?3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=2.本題主要考查了分式方程的增根，熟悉掌握步驟是關鍵.23、【解析】

直接提取公因式a即可得答案.【詳解】3a2+a=a(3a+1)，故答案為：a(3a+1)本題考查提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（1）每個A型垃圾箱100元，每個B型垃圾箱120元；（2）①w＝﹣20x+3600（0≤x≤16且x為整數）；②買16個A型垃圾箱總費用最少，最少費用是1元【解析】

(1)設每個A型垃圾箱m元，每個B型垃圾箱n元，根據“購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需540元，購買2個A型垃圾箱比購買3個B型垃圾箱少用160元”，即可得出關于m、n的二元一次方程組，解之即可得出結論；(2)①設購買x個A型垃圾箱，則購買(30﹣x)個B型垃圾箱，根據總價＝單價×購進數量，即可得出w關于x的函數關系式；②利用一次函數的性質解決最值問題．【詳解】解：(1)設每個A型垃圾箱m