2025屆江西省贛州市文清外國語學校高二數學第一學期期末復習檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.132．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.4．已知數列為等差數列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.45．如圖，在四面體中，，分別是，的中點，則（）A. B.C. D.6．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.7．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.8．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.9．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5010．德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數f（x）的導函數，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.11．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-912．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、均為正實數，且，則的最小值為___________.14．已知數列滿足，則_____________15．雙曲線的離心率為，則它的一個焦點到一條漸近線的距離為______16．若向量滿足，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大?。唬?）二面角的大小.(結果用反三角表示)18．（12分）已知數列滿足（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和19．（12分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？20．（12分）同時擲兩顆質地均勻的骰子（六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的整數倍的概率21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側棱的中點，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.22．（10分）在柯橋古鎮的開發中，為保護古橋OA，規劃在O的正東方向100m的C處向對岸AB建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設立一個以線段OA上一點M為圓心，與直線BC相切的圓形保護區（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m，經測量，點A位于點O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標系（1）求新橋BC的長度；（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最小？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】畫出約束條件表示的平面區域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點時截距最小，求出點A坐標，代入目標式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點時截距最小，由，得，則.故選：C.2、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.3、A【解析】根據是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.4、D【解析】利用等差數列下標和的性質求值即可.【詳解】由等差數列下標和性質知：.故選：D5、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中，，分別是，的中點，故選：A6、D【解析】根據法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D7、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A8、C【解析】根據題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C9、A【解析】根據系統抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A10、C【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C11、D【解析】作出可行域，作出目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解【詳解】解：作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，在中，，當直線向下平移時，增大，因此把直線向上平移，當直線過點時，故選：D12、C【解析】設，由拋物線的方程可得準線方程為，由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，求出，解出縱坐標，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由基本不等式可得出關于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實數，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.14、【解析】找到數列的規律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數列是以為周期的周期數列，.故答案為：15、【解析】根據雙曲線離心率為，可得的值，進而可得雙曲線焦點到一條漸近線的距離.【詳解】由雙曲線離心率為，得，即，故雙曲線方程為，焦點坐標為，漸近線方程為：，故焦點到漸近線的距離為，故答案為：.16、【解析】根據題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據錐體的表面積公式計算可得；（2）取中點，聯結，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】解：設球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點，聯結，因為均為正三角形，因此，即為二面角的平面角.，因此二面角的大小為.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數列，再由可得答案.（2）,分為奇數、偶數，分組求和即可求解.【小問1詳解】由，得，故是公差為2的等差數列，故，由，故，于是.【小問2詳解】依題意，，當為偶數時，故，當為奇數時，，綜上，.19、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據體積得到，然后求出表面積，進而運用導數的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調遞減區間為，遞增區間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數、及骰子向上的點數相等的基本事件數，應用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數的基本事件，應用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數不相等，且一個點數是另一個點數的倍數有的概率為.21、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【解析】小問1：由于，根據線面平行判定定理即可證明；小問2：以為原點，分別為軸建立空間坐標系，根據向量垂直關系即可證明；小問3：分別求得平面與平面的法向量，根據向量夾角公式即可求解【小問1詳解】在直三棱柱中，，且平面，平面所以AC平面；【小問2詳解】因為，故以為原點，分別為軸建立空間坐標系如圖所示：則，所以則所以又平面，平面故平面；【小問3詳解】由