2025屆黑龍江省哈爾濱市南崗區第三中學校高一上數學期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的圖像大致是A. B.C. D.2．已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知向量，且，則A. B.C.2 D.-24．化簡A. B.C.1 D.5．在中，滿足，則這個三角形是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形6．在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為A. B.C. D.7．設全集，集合，，則=（）A. B.{2，5}C.{2，4} D.{4，6}8．已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是A. B.C. D.9．設a，bR，，則（）A. B.C. D.10．函數f（x）=lnx﹣1的零點所在的區間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過兩直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點,且平行于直線4x-3y-7=0的直線方程為_______________.12．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當時，，則函數的零點個數為______13．若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.（寫出滿足題意的一個即可）14．已知函數，若存在，使得f（）＝g（），則實數a的取值范圍為___15．已知函數的部分圖像如圖所示，則_______________.16．已知角的終邊經過點，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，已知平面平面，平面平面，，求證:平面.18．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.19．某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，下面是水深數據：t(小時)03691215182124y(米)10.013.09.97.010013.010.17.010.0據上述數據描成的曲線如圖所示，該曲線可近似的看成函數的圖象（1）試根據數據表和曲線，求的解析式；（2）一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？20．已知函數，（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）將函數的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在區間上的值域21．設函數f（x）的定義域為I，對于區間，若，x2∈D（x1＜x2）滿足f（x1）＋f（x2）＝1，則稱區間D為函數f（x）的V區間（1）證明：區間（0，2）是函數的V區間；（2）若區間[0，a]（a＞0）是函數的V區間，求實數a的取值范圍；（3）已知函數在區間[0，＋∞）上的圖象連續不斷，且在[0，＋∞）上僅有2個零點，證明：區間[π，＋∞）不是函數f（x）的V區間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】依題意，，函數為減函數，且由向右平移了一個單位，故選.點睛：本題主要考查對數函數的圖像與性質，考查圖像的平移變換.對于對數函數，當時，函數為減函數，圖像過，當時，函數為增函數，圖像過.函數與函數的圖像可以通過平移得到，口訣是“左加右減”.在平移過程中要注意原來圖像的邊界.2、D【解析】根據二次函數的單調性進行求解即可.【詳解】當時，函數是實數集上的減函數，不符合題意；當時，二次函數的對稱軸為：，由題意有解得故選：D3、A【解析】由于兩個向量垂直，故有.故選：A4、D【解析】先考慮分母化簡，利用降次公式，正切的兩角和與差公式打開，整理，可得答案【詳解】化簡分母得.故原式等于.故選D【點睛】本題主要考查了兩角和與差公式以及倍角公式．屬于基礎題5、C【解析】由可知與符號相同,且均為正,則,即,即可判斷選項【詳解】由題,因為,所以與符號相同,由于在中,與不可能均為負,所以,,又因為,所以,即,所以,所以三角形是銳角三角形故選：C【點睛】本題考查判斷三角形的形狀,考查三角函數值的符號6、C【解析】設AC=x，則BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面積S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率考點：幾何概型7、D【解析】由補集、交集的定義，運算即可得解.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：D.8、C【解析】由函數單調性的定義，若函數在上單調遞減，可以得到函數在每一個子區間上都是單調遞減的，且當時，，求解即可【詳解】若函數在上單調遞減，則，解得.故選C.【點睛】本題考查分段函數的單調性．嚴格根據定義解答，本題保證隨的增大而減小，故解答本題的關鍵是的最小值大于等于的最大值9、D【解析】利用不等式的基本性質及作差法，對結論逐一分析，選出正確結論即可.【詳解】因為，則，所以，即，故A錯誤；因為，所以，則，所以，即，∴，，即，故B錯誤；∵由，因，所以，又因為，所以，即，故C錯誤；由可得，，故D正確.故選：D.10、B【解析】∵，在遞增，而，∴函數的零點所在的區間是，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】聯立兩直線方程求得交點坐標，求出平行于直線4x-3y-7=0的直線的斜率，由點斜式的直線方程，并化為一般式【詳解】聯立，解得∴兩條直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點為（3，2），∵直線4x-3y-7=0的斜率為，∴過兩條直線2x+y-8=0和x-2y+1=0的交點，且平行于直線4x-3y-7=0的直線的方程為y-2=（x-3）即為4x-3y-6=0故答案為4x-3y-6=0【點睛】本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關系，訓練了二元一次方程組的解法，是基礎題12、10【解析】將原函數的零點轉化為方程或的根，再作出函數y=f(x)的圖象，借助圖象即可判斷作答.【詳解】函數的零點即方程的根，亦即或的根，畫出函數y=f(x)的圖象和直線，如圖所示，觀察圖象得：函數y=f(x)的圖象與x軸，直線各有5個交點，則方程有5個根，方程也有5個根，所以函數的零點有10個.故答案為：1013、，（答案不唯一）【解析】由充分條件和必要條件的定義求解即可【詳解】因為當時，一定成立，而當時，可能，可能，所以是的充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）14、【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，故，即因為，依題意得，解得故答案為：.15、【解析】首先確定函數的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，，令可得：，據此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.16、【解析】根據終邊上的點，結合即可求函數值.【詳解】由題意知：角在第一象限，且終邊過，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】平面內取一點，作于點，于點，可證出平面，從而，同理可證，故平面.【詳解】證明：如圖所示，在平面內取一點，作于點，于點．因為平面平面，且交線為，所以平面．因為平面，所以同理可證．又，都在平面內，且，所以平面【點睛】本題主要考查了兩個平面垂直的性質，線面垂直的性質，判定，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出結果；（2）根據，分別討論，兩種情況，即可得出結果.【詳解】（1）若，則，又，所以；（2）因為，若，則，即；若，只需，解得，綜上，取值范圍為.【點睛】本題主要考查求集合的并集，考查由集合的包含關系求參數，屬于常考題型.19、（1）；（2）至或至.【解析】（1）根據數據，可得，由，可求，從而可求函數的表達式；（2）由題意，水深，即，從而可求t的范圍，即可得解；【詳解】解：（1）根據數據，可得，，，，，函數的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，，1，，或，；所以，該船在至或至能安全進港20、（1）；（2）【解析】（1）根據正弦函數的周期性和單調性即可得出答案；（2）根據周期變換和平移變換求出函數，再根據余弦函數的性質即可得出答案.【小問1詳解】解：由函數，則函數f（x）的最小正周期，令，解得，所以函數f（x）的單調遞增區間為；【小問2詳解】解：函數的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的，得到，再把所得到的圖象向左平移個單位長度，得到，當時，，所以，所以函數在區間上的值域為.21、（1）證明詳見解析；（2）a＞1；（3）證明詳見解析.【解析】（1）取特殊點可以驗證；（2）利用的單調遞減可以求實數a的取值范圍；（3）先證f（x）在上存在零點，然后函數在區間[0，＋∞）上僅有2個零點，f（x）在[π，＋∞）上不存在零點，利用定義說明區間[π，＋∞）不是函數f（x）的V區間.詳解】（1）設x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）若f（x1）＋f（x2）＝1，則所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，取，，滿足定義所以區間（0，2）是函數的V區間（2）因為區間[0，a]是函數的V區間，所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得因為在[0，a]上單調遞減所以，，所以，a-1＞0，a＞1故所求實數a的取值范圍為a＞1（3）因為，，所以f（x）在上存在零點，又因