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文檔簡介
廣東省汕尾陸豐市林啟恩紀念中學2025屆高二上數學期末達標檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數,則函數在點處的切線方程為()A. B.C. D.2.已知拋物線,過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有()條A.0 B.1C.2 D.33.在試驗“甲射擊三次,觀察中靶的情況”中,事件A表示隨機事件“至少中靶1次”,事件B表示隨機事件“正好中靶2次”,事件C表示隨機事件“至多中靶2次”,事件D表示隨機事件“全部脫靶”,則()A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件4.從全體三位正整數中任取一數,則此數以2為底的對數也是正整數的概率為()A. B.C. D.以上全不對5.已知直線,,若,則實數的值是()A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-36.函數,則曲線在點處的切線方程為()A. B.C. D.7.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合,則m的值為()A.4 B.-4C.2 D.-29.已知條件:,條件:表示一個橢圓,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知橢圓的一個焦點坐標為,則的值為()A.1 B.3C.9 D.8111.甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽,決出第1名到第4名的名次(名次無重復),其中前2名將獲得參加市級比賽的資格,甲和乙去詢問成績,回答者對甲說:“很遺憾,你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說:“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析,4人的排名有()種不同情況.A.6 B.8C.10 D.1212.已知直線過點,,則該直線的傾斜角是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.給定點、、與點,求點到平面的距離______.14.函數在區間上的最小值為__________.15.已知,點在軸上,且,則點的坐標為____________.16.若不同的平面的一個法向量分別為,,則與的位置關系為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C對稱中心在原點,對稱軸為坐標軸,且,兩點(1)求橢圓C的方程;(2)設M、N分別為橢圓與x軸負半軸、y軸負半軸的交點,P為橢圓上在第一象限內一點,直線PM與y軸交于點S,直線PN與x軸交于點T,求證:四邊形MSTN的面積為定值18.(12分)某中醫藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物,服用后需要檢驗血液抗體是否為陽性,現有n(n∈N*)份血液樣本,每個樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗方式:①逐份檢驗,需要檢驗n次;②混合檢驗,將其中k(k∈N*,2≤k≤n)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗,若結果為陰性,則這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了,若檢驗結果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪份為陽性,就需要對這k份再逐份檢驗,此時這k份血液的檢驗次數總共為k+1次.假設在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的,且每份樣本是陽性的概率為p(0<p<1).(1)假設有5份血液樣本,其中只有兩份樣本為陽性,若采取逐份檢驗的方式,求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.(2)現取其中的k(k∈N*,2≤k≤n)份血液樣本,采用逐份檢驗的方式,樣本需要檢驗的次數記為ξ1;采用混合檢驗的方式,樣本需要檢驗的總次數記為ξ2.(i)若k=4,且,試運用概率與統計的知識,求p的值;(ii)若,證明:.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD,,,,(1)證明:;(2)當PB的長為何值時,直線AB與平面PCD所成角的正弦值為?20.(12分)甲、乙等6個班級參加學校組織廣播操比賽,若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序(序號為1,2,…,6),求:(1)甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數的概率;(2)甲、乙兩班級之間的演出班級(不含甲乙)個數X的分布列與期望21.(12分)已知點、分別是橢圓C:)的左、右焦點,點P在橢圓C上,當∠PF1F2=時,面積達到最大,且最大值為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設直線l:與橢圓C交于A、B兩點,求面積的最大值.22.(10分)設二次函數.(1)若是函數的兩個零點,且最小值為.①求證:;②當且僅當a在什么范圍內時,函數在區間上存在最小值?(2)若任意實數t,在閉區間上總存在兩實數m,n,使得成立,求實數a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】依據導數幾何意義去求函數在點處的切線方程即可解決.【詳解】則,又則函數在點處的切線方程為,即故選:C2、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程,再與的方程聯立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸,直線過點P且與y軸平行,它與拋物線C只有一個公共點,設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為:,由消去y并整理得:,則,解得或,因此,過點與拋物線C相切的直線有兩條,相交且只有一個公共點的直線有一條,所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選:D3、C【解析】根據互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解:因為A與C,B與C可能同時發生,故選項A、B不正確;B與D不可能同時發生,但B與D不是事件的所有結果,故選項D不正確;A與D不可能同時發生,且A與D為事件的所有結果,故選項C正確故選:C.4、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【詳解】從全體三位正整數中任取一數共有900種取法,以2為底的對數也是正整數的三位數有,共3個,所以以此數以2為底的對數也是正整數的概率為,故選:B5、C【解析】由,結合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知:,解得:或故選:C.6、D【解析】對函數求導,利用導數的幾何意義求出切線斜率即可計算作答.【詳解】依題意,,即有,而,則過點,斜率為1的直線方程為:,所以曲線在點處切線方程為.故選:D7、B【解析】把雙曲線的標準方程中的1換成0,可得其漸近線的方程【詳解】雙曲線的漸近線方程是,即,故選B【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程與簡單的幾何性質等知識,屬于基礎題8、B【解析】根據拋物線和橢圓焦點與其各自標準方程的關系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為,橢圓左焦點為,∴.故選:B.9、B【解析】根據曲線方程,結合充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系.【詳解】由,若,則表示一個圓,充分性不成立;而表示一個橢圓,則成立,必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選:B10、A【解析】根據條件,利用橢圓標準方程中長半軸長a,短半軸長b,半焦距c關系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為,則半焦距c=2,于是得,解得,所以值為1.故選:A11、C【解析】由題可知甲不在前2名,乙不在最后一名,然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名,則其他三人沒有限制,4人排名即為,若甲是第三名,4人的排名為,所以4人的排名有種情況.故選:C12、C【解析】根據直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設該直線的傾斜角為,該直線的斜率,即.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先求出平面的法向量,再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設平面的法向量為,點到平面的距離為,,,即,令,得故答案為:.14、【解析】先對函數求導判斷其單調性,然后利用單調性求函數的最小值【詳解】解:由,得,當且僅當時取等號,即取等號,因為,所以函數在區間上單調遞增,所以當時,函數取得最小值0,故答案為:015、【解析】設P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2,解得z=3,故點P的坐標為(0,0,3).16、平行【解析】根據題意得到,得出,即可得到平面與的位置關系.【詳解】由題意,平面的一個法向量分別為,,可得,所以,所以,即平面與的位置關系為平行.故答案為:平行三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設橢圓方程為,利用待定系數法求得的值,即可得出答案;(2)設,,,易得,分別求出直線PM和直線PN的方程,從而可求出的坐標,再根據即可得出答案.【小問1詳解】解:依題意設橢圓方程為,將,代入得,解得得,,∴所求橢圓方程為;【小問2詳解】證明:設,,,,P點坐標滿足,即,直線PM:,可得,直線PN:,可得,.18、(1);(2)(i);(ii)證明見解析.【解析】(1)設恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,由古典概型概率計算公式可得答案;(2)(i)由已知,可能取值分別為1,,求解概率然后求期望推出關于的關系式;(ii)由,計算出,再由,構造函數,利用導數判斷函數的最值可得答案..【詳解】(1)設恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,所以前2次檢驗中有一陽性有一陰性樣本第三次為陽性樣本,或者前3次均為陰性樣本,則.(2)(i),所以,可能取值分別為1,,,,因為得,因為,所以,.(ii)因為,由(i)知,所以,設,,所以在單調遞增,所以由于,所以,即,得證.【(4)(5)選做】19、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由線面垂直的判斷定理證明平面PAB,再由線面垂直的性質定理即可證明;(2)以A為原點,AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,設,求出平面PCD的法向量的坐標,根據直線AB與平面PCD所成角的正弦值為,利用向量法可求得,從而可求解PB的長.【小問1詳解】證明:因為底面ABCD,又平面ABCD,所以,又,,AB,平面PAB,所以平面PAB,又平面PAB,所以;小問2詳解】解:因為底面ABCD,,所以以A為原點,AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,因為,,,所以,則,,所以,,,,設,則,,,設平面PCD的法向量為,則,令,則,,所以,所以,解得,則,所以當時,直線AB與平面PCD所成角正弦值為20、(1)(2)X01234p期望為.【解析】(1)求出甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數的概率,進而求出答案;(2)求出X的可能取值及相應的概率,寫出分布列,求出期望值.【小問1詳解】由題意得:甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數的概率為,故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數的概率;【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4,,,,故分布列為:X01234p數學期望為21、(1)(2)3【解析】(1)根據焦點三角形的性質可求出,從而可得標準方程,(2)聯立直線方程和橢圓方程,消元后利用公式表示三角形面積,從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達到最大時為橢圓的上頂點或下頂點,而此時∠PF1F2=,故面積最大時為等邊三角形,故,因面積的最大值為,故,故,故橢圓的標準方程為:.【小問2詳解】設,則由可得,此時恒成立.而,到的距離為,故的面積,令,設,則,故在上為增函數,故即的最大值為3.22、(1)①證明見解析;②(2)【解析】(1)①根據二次函數的性質和一元二次方程的求根公式,求得,即可證得;②由①知,區間,根據二次函數的性質,即可求解.(2)存在兩實數,使得成立,
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