2025屆安徽省合肥第十一中學高二上數學期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.2．方程化簡的結果是（）A. B.C. D.3．若函數恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知空間向量，則（）A. B.C. D.5．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數x的取值范圍是（）A. B.C. D.6．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.7．若橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發布中國共產黨成立100周年慶祝活動標識（如圖1）.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-110．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.11．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時12．若橢圓上一點到C的兩個焦點的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________14．函數在區間上的最小值為__________.15．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點，，則球的體積為_________________16．已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項數列的首項為，且滿足，（1）求證：數列為等比數列；（2）記，求數列的前n項和18．（12分）新冠疫情下，有一學校推出了食堂監管力度的評價與食品質量的評價系統，每項評價只有合格和不合格兩個選項，師生可以隨時進行評價，某工作人員利用隨機抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發現對監管力度滿意的占75%，對食品質量滿意的占60%，其中對監管力度和食品質量都滿意的有80人.（1）完成列聯表，試問：是否有99%的把握判斷監管力度與食品質量有關聯？監督力度情況食品質量情況對監督力度滿意對監督力度不滿意總計對食品質量滿意80對食品質量不滿意總計200（2）為了改進工作作風，針對抽取的200位師生，對監管力度不滿意的人抽取3位征求意見，用X表示3人中對監管力度與食品質量都不滿意的人數，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數據：①當時，有90%的把握判斷變量A、B有關聯；②當時，有95%的把握判斷變量A、B有關聯；③當時，有99%的把握判斷變量A、B有關聯.19．（12分）已知公差不為0的等差數列，前項和為，首項為，且成等比數列.（1）求和；（2）設，記，求.20．（12分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，橢圓上的動點到焦點的最大距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過作一條不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于，當變化時，是否為定值?若是，定值為多少?21．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束，設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結束的概率；（2）求甲獲勝的概率22．（10分）設函數.（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點和極大值點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對使用基本不等式，這樣得到關于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因為，，由基本不等式得：，所以，解得：，當且僅當，即，時，等號成立故選：C2、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內到定點、的距離的和是常數的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結果故選：D3、D【解析】分析可知，直線與函數的圖象有個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可求得實數的取值范圍.【詳解】令，可得，構造函數，其中，由題意可知，直線與函數的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有個交點，即函數有個零點.故選：D.4、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.5、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.6、D【解析】先根據圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.7、B【解析】求出拋物線的焦點坐標，可得出的值，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點坐標為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.8、C【解析】作出圖形，進而根據勾股定理并結合圓與圓的位置關系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.9、A【解析】由題可得，利用與的關系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.10、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題11、B【解析】要找入園人數最多的，只要根據函數圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結合函數的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統計圖的實際應用，屬于基礎題.12、B【解析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】解：因，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：14、【解析】先對函數求導判斷其單調性，然后利用單調性求函數的最小值【詳解】解：由，得，當且僅當時取等號，即取等號，因為，所以函數在區間上單調遞增，所以當時，函數取得最小值0，故答案為：015、【解析】由已知設出，，，分別在中和在中運用余弦定理表示，得到關于x與y的關系式，再在中運用勾股定理得到關于x與y的又一關系式，聯立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設，，，,，因為點，點分別是，的中點，所以，，在中，，在中，，整理得，因為是邊長為的正三角形，所以，又因為，所以，由，解得，所以又因為是邊長為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球為以為棱的正方體的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關鍵在于熟悉正三棱錐的結構特征，運用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求解更方便快捷，屬于中檔題16、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據與的關系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當時，c的最小值為故答案為：【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由遞推關系式化簡及等比數列的的定義證明即可；（2）根據裂項相消法求解即可得解.【小問1詳解】證明：由得，而且，則，即數列為首項，公比為的等比數列【小問2詳解】由上可知，所以，18、（1）列聯表見解析，有99%的把握判斷監管力度與食品質量有關聯；（2）X的分布列見解析，X的期望為【解析】(1)根據給定條件完善列聯表，再計算的觀測值并結合給定數據即可作答.(2)求出X的可能值及各個值對應的概率列出X的分布列，再計算期望作答.【小問1詳解】對監管力度滿意的有，對食品質量滿意的有，列聯表如下：對監督力度滿意對監督力度不滿意總計對食品質量滿意8040120對食品質量不滿意701080總計15050200則的觀測值為：，所以有99%的把握判斷監管力度與食品質量有關聯.【小問2詳解】由(1)及已知得，X的所有可能值為：0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123PX的期望為：.【點睛】易錯點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統計計算的結果作出錯誤的解釋19、（1）（2）【解析】（1）由題意解得等差數列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數和偶數兩類，分別去數列的前n項和.【小問1詳解】設等差數列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問2詳解】，當為正奇數，，當為正偶數，，所以20、（1）（2）是，【解析】(1)由拋物線方程求出其焦點坐標，結合橢圓的幾何性質列出，的方程，解方程求，由此可得橢圓方程，(2)聯立直線橢圓橢圓方程，求出弦的長和其中垂線方程，再計算，由此完成證明.【小問1詳解】拋物線的交點坐標為（1，0），，又，又，∴，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設直線的斜率為，則直線的方程為，聯立消元得到，顯然，，∴，又的中點坐標為，直線的中垂線的斜率為∴直線的中垂線方程為，令，，（常數）.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、（1）（2）【解析】（1）設事件“甲在第次投籃投中”，設事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結束”為事件，則，利用獨立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據概率的加法公式和獨立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設事件“甲在第次投籃投中”，其中設事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結束