PAGE10.1.3古典概型素養目標·定方向素養目標學法指導1．古典概型的計算方法.(數學抽象)2．運用古典概型計算概率.(數學運算)3．在實際問題中建立古典概型模型.(數學建模)1．明確古典概型的基本特征，依據實際問題構建概率模型，解決簡潔的實際問題.2．留意區分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物體總數不變)與無放回抽取(每次抽取之后被抽取的物體總數削減).必備學問·探新知學問點1隨機事務的概率對隨機事務發生__可能性大小__的度量(數值)稱為事務的概率，事務A的概率用__P(A)__表示.學問點2古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有__有限個__；(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性__相等__.稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為__古典概率__模型，簡稱__古典概型__.學問點3古典概型的概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事務A包含其中的k個樣本點，則定義事務A的概率P(A)＝__eq\f(k,n)__＝__eq\f(nA,nΩ)__.[學問解讀](1)隨機試驗E中的樣本點①任何兩個樣本點都是互斥的；②任何事務(除不行能事務)都可以表示成某些樣本點的和.(2)求解古典概型問題的一般思路①明確試驗的條件及要視察的結果，用適當的符號(字母、數字、數組等)表示試驗的樣本點(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出全部樣本點)；②依據實際問題情景推斷樣本點的等可能性；③計算樣本點總個數及事務A包含的樣本點個數，求出事務A的概率.關鍵實力·攻重難題型探究題型一古典概型的推斷典例1下列試驗是古典概型的是__①②④__.①從6名同學中選出4人參與數學競賽，每人被選中可能性大小相等；②同時擲兩顆骰子，點數和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.[分析]緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進行推斷.[解析]①②④是古典概型，因為符合古典概型的特征.③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響.[歸納提升]推斷試驗是不是古典概型，關鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能性.【對點練習】?下列是古典概型的是(C)A．隨意擲兩枚骰子，所得點數之和作為基本領件時B．求隨意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將去除的正整數作為基本領件時C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣首次出現正面為止[解析]A項中由于點數的和出現的可能性不相等，故A不是；B項中的基本領件是無限的，故B不是；C項滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本領件可能會無限個，故D不是.題型二古典概型的概率計算典例2甲、乙兩校各有3名老師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的老師中各任選1名，寫出全部可能的結果，并求選出的2名老師性別相同的概率；(2)若從報名的6名老師中任選2名，寫出全部可能的結果，并求選出的2名老師來自同一所學校的概率.[分析](1)要求2名老師性別相同的概率，應先寫出全部可能的結果，可以采納列舉法求解.(2)要求選出的2名老師來自同一所學校的概率，應先求出2名老師來自同一所學校的基本領件.[解析](1)甲校2名男老師分別用A，B表示，1名女老師用C表示；乙校1名男老師用D表示，2名女老師分別用E，F表示.從甲校和乙校報名的老師中各任選1名的全部可能的結果為：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9種.從中選出2名老師性別相同的結果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4種，所以選出的2名老師性別相同的概率為P＝eq\f(4,9).(2)從甲校和乙校報名的6名老師中任選2名的全部可能的結果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種.從中選出2名老師來自同一所學校的結果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6種，所以選出的2名老師來自同一所學校的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[歸納提升]1．對于古典概型，任何事務A的概率為：P(A)＝eq\f(A包含的基本領件的個數m,基本領件的總數n).2．求古典概型概率的步驟為：(1)推斷是否為古典概型；(2)算出基本領件的總數n；(3)算出事務A中包含的基本領件個數m；(4)算出事務A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).在運用公式計算時，關鍵在于求出m、n.在求n時，應留意這n種結果必需是等可能的，在這一點上比較簡潔出錯.3．對于事務總數較多的狀況，在解題時，沒有必要一一列舉出來，只將我們解題須要的列舉出來分析即可.【對點練習】?某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.[解析](1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的樣本點有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事務所包含的樣本點有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個，則所求事務的概率為p＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的樣本點有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個.包括A1但不包括B1的事務所包含的樣本點有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2個，則所求事務的概率為p＝eq\f(2,9).題型三較困難的古典概型的概率計算典例3某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參與活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x，y.嘉獎規則如下：①若xy≤3，則嘉獎玩具一個；②若xy≥8，則嘉獎水杯一個；③其余狀況嘉獎飲料一瓶.假設轉盤質地勻稱，四個區域劃分勻稱.小亮打算參與此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.[解析]用數對(x，y)表示兒童參與活動先后記錄的數，則基本領件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應.因為S中元素的個數是4×4＝16，所以基本領件總數n＝16．(1)記“xy≤3”為事務A則事務A包含的基本領件共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事務B，“3<xy<8”為事務則事務B包含的基本領件共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事務C包含的基本領件共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.[歸納提升]解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式.但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時須要留意以下兩個問題：(1)試驗必需具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性.(2)計算基本領件的數目時，須做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出全部基本領件.【對點練習】?甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩嬉戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數字，寫出試驗的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你認為此嬉戲是否公允？說明你的理由.[解析](1)方片4用4′表示，試驗的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點的總數為12．(2)不公允.甲抽到牌的牌面數字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5種，甲勝的概率為P1＝eq\f(5,12)，乙勝的概率為P2＝eq\f(7,12)，因為eq\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此嬉戲不公允.易錯警示對“有序”與“無序”推斷不準而致錯典例4甲、乙兩人參與普法學問競賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題.求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率.[錯解]因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，且甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結果有10個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[錯因分析]錯解中忽視了甲、乙兩人依次抽取1道題與依次有關，甲從5道題中任抽1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本領件總數應為20．[正解]因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結果有6個，而甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結果有20個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).[誤區警示]在計算基本領件的總數時，若分不清“有序”和“無序”，將會出現“重算”或“漏算”的錯誤.突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對結果造成影響，有影響是“有序”，無影響是“無序”.【對點練習】?小李在做一份調查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道.(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率.[解析]將3道選擇題依次編號為1,2,3；2道填空題依次編號為4,5．(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個樣本點，而且這些樣本點發生的可能性是相等的.設事務A＝“所選的題不是同一種題型”，則事務A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12個樣本點，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6．(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回