第九章整式（15類題型突破）題型一代數式1．（2023秋·七年級課時練習）下列式子符合書寫要求的是（

）A．a4 B．x÷y C． D．2．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期中）如圖，下列整式中不能正確表示圖中陰影部分面積的是（

）

A．xx+3+2x BC．xx+3+6 D鞏固訓練：1．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校校考階段練習）如圖，某長方形廣場四角均設計一塊半徑為r的四分之一圓形的花壇，正中是一個半徑為r的圓形噴水池，廣場長為a，寬為b，則廣場空地面積為（

）

A． B． C．ab D．ab-2π2．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）已知b的相反數比a的2倍多4．(1)用含a的式子表示b；(2)若，且P≤0，求a題型二代數式的值3．（2023春·浙江杭州·七年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）若m-n=1，則m-A．2 B．1 C． D．34．（2023春·安徽合肥·七年級校考期中）已知y=x2+ax+b，當x=1時，y的值為2；當x=-2時，y的值為．則當x=-3時，A．4 B．1 C．3 D．2鞏固訓練1．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，那么多項式-2x2+6x+9A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）若實數m，n滿足m-n-53．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）已知代數式ax2+bx+c，當x=1和x=-3時，它的值都為5，當x(1)求a，b，c的值；(2)當x=-2時，求代數式題型三合并同類項5．（2023春·湖南郴州·七年級校考階段練習）若12xa-by4與-13A．a=2,b=-1 B．a=2,b=C．a=-2,b=1 D．a=-2,b=6．（2023秋·全國·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．23xyz與23xy是同類項 B．C．-0.5x3y2與2x2鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·六年級校考開學考試）如果單項式-xy的和仍然是一個單項式，則a+b的值為（

）A．1 B． C．-2 D．22．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果13xa+1y2a+3與-3．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）已知a是最大的負整數，2xb+1y3與-3x2yc-3是同類項，且a(1)求出a，b，c的值；(2)若點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點B恰好是AC的中點時，求運動時間t的值．題型四整式的加減7．（2023秋·七年級課時練習）ab減去a2-ab+A．a2+2ab+b2 B．-a28．（2023秋·七年級課時練習）如果關于a,b的代數式的值與b無關，那么（

）A．a=0 B．b=0 C．m=0 D．m=6鞏固訓練1．（2023秋·全國·七年級專題練習）某同學在完成化簡：的過程中，具體步驟如下：解：原式①=-=-以上解題過程中，出現錯誤的步驟是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③2．（2023秋·七年級課時練習）若式子2x2+2ax-y-2bx23．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）小明在做一道數學題：“化簡：ax2+6x+8(1)如果這個整式化簡后是常數，求a的值；(2)若a=1，，求原式的值；(3)若x=1，原式的值為4，求a的值．題型五同底數冪的乘法9．（2023春·湖南永州·七年級校考期中）已知xm=2，xn=4，則A．2 B．6 C．8 D．1610．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）若，則n=（

）A．15 B．5 C．6 D．14鞏固訓練1．（2023春·江蘇淮安·七年級統考期末）如果xn=y，那么我們規定x，y=n．例如：因為，所以3，9=2．記m，12=a，m，A．ab=c B．ab=c C．a+b=c2．（2023春·廣東河源·七年級統考期末）已知am=2，an=43．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)a3(2)34(3)y2n+1?yn-1?(4)x-題型六冪的乘方與積的乘方11．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）若xm=5，xn=-2，則A．12 B．20 C．-20 D．-12．（2023春·陜西榆林·七年級校考期中）計算的結果是（

）A．-4x4y5 B． C．鞏固訓練1．（2023春·遼寧阜新·七年級校聯考期中）若xm=5，，則x2m+n的值為（A．40 B．100 C．254 D．2．（2023春·遼寧朝陽·七年級校考期中）計算-p2?-p3=；-3．（2023春·山東東營·六年級校考階段練習）計算：(1)-(2)(x(3)((4)(題型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）下列計算正確的是（

）A．3ab3-2abC．y+4y-3=y14．（2023春·廣西賀州·七年級校考期中）已知aa-2=8，則代數式a2A．8 B．14 C．-2 D．鞏固訓練1．（2023春·四川雅安·七年級統考期末）已知x+mx-n=x2-4x-5A．1 B．-4 C．-5 D．2．（2023春·四川達州·七年級四川省大竹中學校考期末）若的積中不含x項與項．則代數式的值為．3．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）觀察下列各式．a3aa+1(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①x-②____________③2x+1(2)應用規律計算：a題型八平方差公式15．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（

）A．2a+b2b-a B．C．3x-y-16．（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）化簡2+122+1A．232-1 B．216+1 C．鞏固訓練1．（2023春·河北石家莊·七年級校考期中）已知-2x-yA． B．2x-y C．-2x+y D．-2x2．（2023·全國·八年級專題練習）已知M=732+1343．（2023秋·河南濮陽·八年級校考期末）觀察下列各式：a+1aa-3a-(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①x-3②2x+1(；③()x(2)應用規律計算：a2題型九完全平方公式17．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如果x-1x=3，那么A．5 B．7 C．9 D．1118．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（

）A．2a-4b-2a-4b B．a+4bC．a-4ba+4b D．鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）若a+1a=5，則aA．23 B．8 C．-8 D．2．（2023春·福建三明·七年級校考階段練習）我們把形如“”的式子稱為完全平方式，若x2+axy+y2是一個完全平方式，，且a<b，則b3．（2023春·安徽宣城·七年級校考期中）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的整體或某一部分通過恒等變形，化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個正整數能表示成a2+b2（a、b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，5是“完美數”，理由：因為5=22+【解決問題】（1）已知29是“完美數”，請將它寫成a2+b2（a、b（2）已知x2+y【探究問題】（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x是正整數，y是大于1的正整數，k是常數），要使題型十乘法公式在幾何背景下的應用19．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習）如圖，將邊長為3a的正方形沿虛線剪成兩個正方形和兩個長方形．若去掉邊長為2b的小正方形后，再將剩余部分拼成一個長方形，則長方形的面積為（

）

A．3a+2b B．9a2-4b2 C20．（2023春·浙江杭州·七年級統考期中）如圖張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為a+b的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為．若S1=2S2

A．3:2 B．5:2 C．2:1 D．3:1鞏固訓練1．（2023春·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）現有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為AE的中點，連接DH，FH．將乙紙片放到甲的內部得到圖2．已知甲、乙兩個正方形邊長之和為6，圖2的陰影部分面積為2，則圖1的陰影部分面積為

3．（2023春·山東濟南·七年級統考期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于___________；面積等于___________．(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式a+b，a-(3)運用你所得到的公式計算：若m、n為實數，且mn=5，m-n=4，試求(4)如圖3所示，兩正方形ABCD和正方形DEFG邊長分別為α、b，且，ab=5，求圖中陰影部分的面積．題型十一提取公因式法21．（2023秋·全國·八年級課堂例題）把12a2bA．2 B．2ab C．2ab2c22．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知x-y=1，xy=2，則x2A．-12 B．-2 C．12鞏固訓練1．（2023春·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B．2mm-n2 C． D2．（2023春·安徽合肥·七年級統考期末）已知關于x的二次三項式x2-mx+n可分解為x+2x-3，則3m3．（2023秋·八年級課時練習）分解因式：(1)-8(2)2a+12(3)3x題型十二公式法23．（2023秋·八年級課時練習）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解且正確的是（

）A．x2-2x-1=(x-1)C．x2-4x+4=(x-2)24．（2023春·四川達州·七年級校考期末）若M5x-y2A．-5x-y2 B．-y2+5x C．5x+鞏固訓練1．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期末）下列因式分解正確的是（

）A．x2+yC．x2+4xy-4y2．（2023春·陜西渭南·八年級統考期中）已知a+b=3，ab=2，則代數式的值為3．（2023春·湖南岳陽·七年級校考期中）閱讀材料：因式分解：．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=(A+1)2．再將“上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，問題解決：(1)因式分解：1+6(x(2)因式分解：a(3)證明：若n為正整數，則代數式的值一定是某個整數的平方．題型十三十字相乘法25．（2023春·河北保定·八年級校考期末）若多項式x2-ax+12可分解為x-3x+b，則a+bA． B．-3 C．3 D．1126．（2023春·廣西貴港·七年級統考期中）下列各組式子中，因式分解正確的是（

）A．x2-7x+10=x-2C．10x2-5x鞏固訓練1．（2023·上海·七年級假期作業）將下列多項式分解因式，結果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x2．（2023·上海·七年級假期作業）分解因式：x+2x-3．（2023·上海·七年級假期作業）因式分解：(1)2a(2)(3)(4)y題型十四分組分解法27．（2023春·全國·七年級專題練習）用分組分解a2A．a2-bC．a2-b28．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列因式分解錯誤的是（

）A．xB．xC．-D．x鞏固訓練1．（2023·上海·七年級假期作業）如果x-2是多項式x2-4x+k的一個因式．則k的值為（A．-4 B．1 C．4 D．82．（2023·上海·七年級假期作業）已知2x2+10x+1=0，那么多項式x+13．（2023·上海·七年級假期作業）已知：關于x的多項式x2-2m+1題型十五整式的除法29．（2023春·安徽宣城·七年級校考期中）長方形的面積是12a3-6ab+3a3A．4a2-2b+a2 B． C30．（2023秋·八年級課時練習）計算-2a3A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023·上海·七年級假期作業）計算a+b2-aA． B．a-b4 C．1 D．2ab2．（2023·上海·七年級假期作業）計算：(3a63．（2023·上海·七年級假期作業）對于任何實數，我們規定符號abcd(1)按照這個規定請你計算-2(2)按規定請寫出a3(3)當a取-2的相反數時，請計算a3

第九章整式（15類題型突破）參考答案題型一代數式1．（2023秋·七年級課時練習）下列式子符合書寫要求的是（

）A．a4 B．x÷y C． D．-5【答案】D【分析】根據代數式的書寫要求對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、應該寫成4a，錯誤；B、應該寫成xyC、應該寫成72D、-5故選：D．【點睛】本題考查了代數式的書寫要求：（1）在代數式中出現的乘號，通常簡寫成“”或者省略不寫；（2）數字與字母相乘時，數字要寫在字母的前面；（3）在代數式中出現的除法運算，一般按照分數的寫法來寫．帶分數要寫成假分數的形式．2．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期中）如圖，下列整式中不能正確表示圖中陰影部分面積的是（

）

A．xx+3+2x BC．xx+3+6 D【答案】A【分析】分別用不同方法表示出陰影部分的面積即可判斷．【詳解】解：圖中陰影部分的面積可以表示為：x2+3x+2或x故B，C，D不合題意，A不能表示陰影部分面積，故符合題意；故選A．【點睛】本題考查了列代數式，熟練掌握陰影部分面積的求法是解題的關鍵．鞏固訓練：1．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校校考階段練習）如圖，某長方形廣場四角均設計一塊半徑為r的四分之一圓形的花壇，正中是一個半徑為r的圓形噴水池，廣場長為a，寬為b，則廣場空地面積為（

）

A． B． C．ab D．ab-2π【答案】D【分析】分別求出廣場的面積，草地面積，噴水池面積，用廣場面積減去草地和噴水池的面積即可得出答案．【詳解】解：廣場的面積為ab，草地的面積為：πr噴水池的面積為：πr則廣場空地面積為：ab-故選：D．【點睛】本題考查了列代數式，掌握四個花壇的面積正好是一個圓的面積是解答本題的關鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是．【答案】12a【分析】根據“十位數字乘以10加上個位數字等于這個兩位數”，列代數式即可.【詳解】一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是10a+2a=12a故答案為：12a【點睛】本題主要考查了列代數式，熟練掌握兩位數的表示方法是解題的關鍵.3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）已知b的相反數比a的2倍多4．(1)用含a的式子表示b；(2)若，且P≤0，求a的所有負整數值．【答案】(1)b=(2)-4，-3，-2，【分析】（1）根據題意列出式子2a+4=-（2）先表示出P=-a-4，再根據P≤0求出a的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵b的相反數比a的2倍多4，∴2a+4=∴用含a的式子表示b：b=-（2）解：根據題意得：P=a+b=a+-∵P∴-解得：a≥-∴a的所有負整數值為：-4，-3，-2，．【點睛】本題主要考查了相反數的定義、列代數式、求一元一次不等式的整數解，理解題意，正確進行計算是解題的關鍵．題型二代數式的值3．（2023春·浙江杭州·七年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）若m-n=1，則m-A．2 B．1 C． D．3【答案】C【分析】原式變形后，將m-【詳解】解：∵m-∴原式=m故選：C．【點睛】此題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·七年級校考期中）已知y=x2+ax+b，當x=1時，y的值為2；當x=-2時，y的值為．則當x=-3時，A．4 B．1 C．3 D．2【答案】D【分析】由題意得到1+a+b=2①，4-2a+b=-1②，求出a=2，b=-1，把a=2，b=-1，x=-3代入y=x【詳解】解：∵當x=1時，y的值為2；當x=-2時，y的值為1+a+b=2①－②得，-3+3a=3，解得a=2，把a=2代入①得，b=-∴當x=-3時，y=-故選：D【點睛】此題考查了解二元一次方程組和求代數式的值，根據題意得到方程組，求出a=2，b=-鞏固訓練1．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，那么多項式-2x2+6x+9A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】把所求的多項式進行整理，再代入相應的值運算即可．【詳解】解：∵，==5故選：B．【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．2．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）若實數m，n滿足m-n-5+(2m+n-4)2=0【答案】7【分析】根據非負數的性質可得m-n-5=02m+n-4=0，解得m，n【詳解】解：∵m-又∵m-n-5≥0，(2m+n∴可有m-n-5=02m+n-4=0，解得m=3∴3m+n=3×【點睛】本題主要考查了非負數的性質、解二元一次方程組以及代數式求值，根據非負數的性質列出二元一次方程組是解題關鍵．3．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）已知代數式ax2+bx+c，當x=1和x=-3時，它的值都為5，當x(1)求a，b，c的值；(2)當x=-2時，求代數式ax【答案】(1)a=1，b=2，c=2(2)2【分析】（1）由題意知，a+b+c=5①（2）由（1）可知，ax2+bx+c=【詳解】（1）解：由題意知，a+b+c=5①①+③得，2a+2c=6，即c=3-②-①得，8a-4b=0，即b=2a，將c=3-a，b=2a，代入③式得，a-2a+3-a=1，解得a=1，∴b=2，c=2，∴a=1，b=2，c=2；（2）解：由（1）可知，ax把x=-2，代入x2∴ax2+bx+c【點睛】本題考查了解三元一次方程組，代數式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確運算．題型三合并同類項5．（2023春·湖南郴州·七年級校考階段練習）若12xa-by4與-13x3A．a=2,b=-1 B．a=2,b=1C．a=-2,b=1 D．a=-2,b=-【答案】A【分析】由題意知，12xa-by4與-13x3【詳解】解：由題意知a-解得a=2，b=-故選：A．【點睛】本題考查了同類項，同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數相同，是易混點，因此成了中考的常考點．6．（2023秋·全國·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．23xyz與23xy是同類項 B．C．-0.5x3y2與2x2y【答案】D【分析】根據同類項的定義進行分析判斷．【詳解】解：A、23xyz與B、1x與2x是所含相同字母xC、-0.5x3y2與D、5m2n故選：D．【點睛】本題考查了同類項的知識，解答本題的關鍵是掌握同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數相同．鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·六年級校考開學考試）如果單項式-xyb的和仍然是一個單項式，則a+b的值為（

）A．1 B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根據題意可知單項式-xyb+1與12x【詳解】解：∵單項式-xyb+1∴單項式-xyb+1，b+1=3，解得：a=-1，b=2，∴a+b=故選：A．【點睛】此題主要考查了同類項，熟記同類項的定義是解答本題的關鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果13xa+1y2a+3與-3【答案】【分析】根據同類項是定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項，求出a和b的值，再將a和b的值代入-a【詳解】解：∵13xa+1∴a+1=22a+3=2b解得：a=1,b=3，∴-a故答案為：．【點睛】本題主要考查了同類項的定義，解題的關鍵是掌握同類項是定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項．3．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）已知a是最大的負整數，2xb+1y3與-3x2yc-3是同類項，且a(1)求出a，b，c的值；(2)若點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點B恰好是AC的中點時，求運動時間t的值．【答案】(1)a=-1，b=1,c=6(2)3【分析】（1）根據最大的負整數是，即可得出a的值，根據同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項，即可求出b和c的值；（2）當運動時間為t時，點A表示的數是-1-t，點B表示的數是1+2t，點C表示的數是6則AB=1+2t--1-t，BC=6-1+2t，根據點B是【詳解】（1）解：∵最大的負整數是，，∵2xb+1y∴b+1=2,c∴b=1,c=6（2）解：當運動時間為t時，點A表示的數是-1-t，點B表示的數是1+2t，

點C表示的數是6，∴AB=1+2tBC=6-∵點B是AC的中點，∴AB=BC∴2+3t=5-解得t=3所以當點B恰好是AC的中點，t的值是35【點睛】本題主要考查了同類項的定義，數軸上兩點之間的距離，解一元一次方程，解題的關鍵是掌握同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項；線段中點的定義；以及解一元一次方程的方法和步驟．題型四整式的加減7．（2023秋·七年級課時練習）ab減去a2-ab+A．a2+2ab+b2 B．-a2【答案】C【分析】根據合并同類項的法則及去括號法則直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，ab-故選：C；【點睛】本題考查合并同類項的法則及去括號法則，解題的關鍵是去括號時括號前是負號，去掉括號所有項都要變號．8．（2023秋·七年級課時練習）如果關于a,b的代數式的值與b無關，那么（

）A．a=0 B．b=0 C．m=0 D．m=6【答案】D【分析】利用關于a,b的代數式的值與b無關，即可得出同類項的系數和為0，進而得出b的值．【詳解】∵關于a,b的代數式7a4-6∴，解得：m=6，故選D．【點睛】此題考查整式加減，根據題意得出m，n的方程是解題關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·全國·七年級專題練習）某同學在完成化簡：的過程中，具體步驟如下：解：原式①=-=-以上解題過程中，出現錯誤的步驟是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③【答案】C【分析】根據整式的加減計算中，去括號的法則即可求解．【詳解】錯誤的步驟是③正確的解答過程如下：原式①=-=-故答案為：C【點睛】本題考查了整式的加減，在去括號的時候要注意符號的變化，合并同類項時，系數相加減．2．（2023秋·七年級課時練習）若式子2x2+2ax-y-2bx2【答案】1【分析】先將原代數式化簡，再根據代數式的值與字母x的取值無關，可得式子2x2+2ax-y-2bx2-3x+2y-1的值與字母x的取值無關，2-2b=0，【詳解】解：2=2=2∵式子2x2+2ax-y∴2-2b=0，2a+6=0，∴b=1，a=-∴a=a==．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了整式加減的混合運算，根據代數式的值與字母x的取值無關，得到2-2b=0，2a+6=0是解題的關鍵．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）小明在做一道數學題：“化簡：ax2+6x+8(1)如果這個整式化簡后是常數，求a的值；(2)若a=1，，求原式的值；(3)若x=1，原式的值為4，求a的值．【答案】(1)a=5(2)-(3)a=3【分析】（1）先對原式進行化簡，根據化簡后是常數可知關于x的項系數為0，據此求解即可；（2）將a=1，代入化簡后的式子，計算即可；（3）將x=1，原式的值為4代入，可得關于a的方程，求解即可．【詳解】（1）解：a=a=∵整式化簡后是常數，∴，解得a=5．（2）解：當a=1，時，a===-（3）解：∵x=1，原式的值為4，∴a-解得a=3．【點睛】本題考查整式的加減以及代數式求值，掌握整式加減的運算法則是解題的關鍵．題型五同底數冪的乘法9．（2023春·湖南永州·七年級校考期中）已知xm=2，xn=4，則A．2 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】根據冪的運算公式：am【詳解】解：x=2×故選：C．【點睛】本題主要考查了同底數冪的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解題的關鍵．10．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）若，則n=（

）A．15 B．5 C．6 D．14【答案】C【分析】根據代數式右邊的結果可以看出，其左邊各項需要整理成以3為底的冪的形式，并進行合并進而求解．【詳解】解：=3∴3∴n=6故選：C．【點睛】本題考查同底數冪的乘法等，是初中數學中最基本的運算．一定要在深刻理解的基礎上多練習，牢記運算法則．鞏固訓練1．（2023春·江蘇淮安·七年級統考期末）如果xn=y，那么我們規定x，y=n．例如：因為，所以3，9=2．記m，12=a，m，A．ab=c B．ab=c C．a+b=c【答案】C【分析】根據題意分別表示出關于a,b,c的等式，即可判斷它們的關系。【詳解】解：∵m，12=a，∴ma=12，m又∵12∴ma×故選：C【點睛】本題考查同底數冪的乘法，掌握同底數冪的乘法法則逆用是解題的關鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級統考期末）已知am=2，an=4【答案】8【分析】根據同底數冪乘法的逆運算，即可求解．【詳解】解：∵am=2，∴am+n故答案為：8．【點睛】本題主要考查了同底數冪乘法的逆運算，熟練掌握同底數冪乘法的逆運算法則是解題的關鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)a3(2)34(3)y2n+1?yn-1?(4)x-【答案】(1)-(2)(3)y(4)-【分析】（1）先確定符號，再根據同底數冪乘法法則進行計算；（2）根據同底數冪乘法法則進行計算；（3）根據同底數冪乘法法則進行計算；（4）先變形為同底數冪，再根據同底數冪乘法法則進行計算．【詳解】（1）a==（2）3==（3）y==（4）x==【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，掌握運算法則是解題的關鍵．題型六冪的乘方與積的乘方11．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）若xm=5，xn=-2，則A．12 B．20 C．-20 D．-【答案】B【分析】利用冪的乘方的法則及同底數冪的乘法的法則進行運算即可．【詳解】解：當xm=5,x===5=20．故選：B．【點睛】本題主要考查積的乘方，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．12．（2023春·陜西榆林·七年級校考期中）計算的結果是（

）A．-4x4y5 B． C．【答案】D【分析】根據積的乘方和冪的乘方進行計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查積的乘方和冪的乘方，積的乘方等于乘方的積，冪的乘方：底數不變，指數相乘．鞏固訓練1．（2023春·遼寧阜新·七年級校聯考期中）若xm=5，，則x2m+n的值為（A．40 B．100 C．254 D．【答案】C【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則以及冪的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】∵xm=5，∴x2m+n故選：C．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘法運算以及冪的乘方運算，正確將原式變形是解題關鍵．2．（2023春·遼寧朝陽·七年級校考期中）計算-p2?-p3=；-【答案】-p5【分析】根據同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪的運算法則計算即可．【詳解】解：-p-1-3故答案為：-p5；；1【點睛】本題考查同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪，熟練掌握同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪的運算法則是解題的關鍵．3．（2023春·山東東營·六年級校考階段練習）計算：(1)-(2)(x(3)((4)(【答案】(1)-(2)(3)-(4)8【分析】（1）按照同底數冪相乘法則計算即可；（2）按照同底數冪相乘法則計算即可；（3）先計算冪的乘方和積的乘方，再合并即可；（4）利用積的乘方的逆運算計算即可．【詳解】（1）解：-a（2）解：(x-（3）解：(-=x2n=-x=-2（4）解：(=82008=88=88=88【點睛】本題考查了冪的運算，解題關鍵是熟練掌握冪的運算法則，準確進行計算．題型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）下列計算正確的是（

）A．3ab3-2abC．y+4y-3=y【答案】D【分析】根據整式乘除運算、多項式乘多項式法則即可求出答案．【詳解】解：選項A，原式=-選項B，原式=m選項C，原式=y選項D，原式=x故選：D．【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式乘除運算、多項式乘多項式法則，本題屬于基礎題型．14．（2023春·廣西賀州·七年級校考期中）已知aa-2=8，則代數式a2A．8 B．14 C．-2 D．【答案】D【分析】先根據單項式乘以多項式法則可得aa【詳解】解：∵a∴a∴a故選：D．【點睛】本題考查了代數式求值、單項式乘以多項式，熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則是解題關鍵．鞏固訓練1．（2023春·四川雅安·七年級統考期末）已知x+mx-n=x2-4x-5A．1 B．-4 C．-5 D．【答案】B【分析】根據多項式乘以多項式，即可解答.【詳解】解：x+mx∵x+mx∴x2∴m-故選：B.【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，解決本題的關鍵是熟記多項式乘以多項式.2．（2023春·四川達州·七年級四川省大竹中學校考期末）若的積中不含x項與項．則代數式的值為．【答案】12【分析】利用多項式乘多項式的法則進行計算，然后根據題意可得1-2m=0，，從而可得m，n【詳解】解：，的積中不含x項與項，∴1-2m=0∴m=12，=1=1∴代數式的值為12，故答案為：12【點睛】此題考查的是多項式乘多項式，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．3．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）觀察下列各式．a3aa+1(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①x-②____________③2x+1(2)應用規律計算：a【答案】(1)①x3-27；②x-y；(2)a【分析】（1）根據給出的等式可知，三項式的特點為：因式中二項式首平方，尾平方，首尾相乘的相反數在中央；計算結果為兩個因式首項的積加上尾項的積；（2）將第一個因式分解因式，然后利用得出的規律計算即可得到結果．【詳解】（1）解：∵a+1ax-2a+34∴得到三項式的特點為：因式中二項式首平方，尾平方，首尾相乘的相反數在中央；計算結果為兩個因式首項的積加上尾項的積；∴①x-②x-③2x+14故答案為：①x3-27；②x-y；③（2）解：原式===．【點睛】本題考查了規律探索，多項式的乘法，因式分解，解題的關鍵是根據所給等式探究規律，得出規律，運用得到的規律解答．題型八平方差公式15．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（

）A．2a+b2b-a B．C．3x-y-【答案】D【分析】根據平方差公式的特點逐項判斷即可．【詳解】解：A、2a+b2bB、12C、3x-D、2-故選：D．【點睛】本題考查了平方差公式，屬于基本題型，熟知平方差公式的結構特點是解題的關鍵．16．（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）化簡2+122+1A．232-1 B．216+1 C．【答案】A【分析】添一個2-1，從而和2+1湊成平方差，然后再連續運用平方差公式進行計算即可．【詳解】解：2+1======2故選：A．【點睛】本題考查了平方差的應用，添項是解決此類問題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·河北石家莊·七年級校考期中）已知-2x-yA． B．2x-y C．-2x+y D．-2x【答案】B【分析】根據平方差公式：，即可確定答案；【詳解】，故選：B【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌據平方差公式是解題的關鍵2．（2023·全國·八年級專題練習）已知M=732+134【答案】0【分析】先變形為M=73-13+1【詳解】M=73=7=…=7∵31=3，，33=27，34=81，…∴M的個位數字為0，故答案為：0．【點睛】此題考查了平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差，即a+ba3．（2023秋·河南濮陽·八年級校考期末）觀察下列各式：a+1aa-3a-(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①x-3②2x+1(；③()x(2)應用規律計算：a2【答案】(1)①x3-27；②4x2(2)a【分析】（1）根據材料中的規律可得結論；（2）先將a2-b【詳解】（1）①x-②2x+14③x-故答案為：①x3-27；②4x2（2）a=[=．【點睛】本題考查了平方差公式及整式的混合運算，能根據求出的算式得出規律是解此題的關鍵．題型九完全平方公式17．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如果x-1x=3，那么A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】將所求式子變形為，再整體代入求值即可．【詳解】解：原式=x=x=3=11．故選：D．【點睛】本題考查利用完全平方公式變形求值．熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．18．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（

）A．2a-4b-2a-4b B．a+4bC．a-4ba+4b D．【答案】B【分析】分別計算各選項后，即可得到答案．【詳解】解：A．2a-B．a+4b-C．a-D．2a-故選：B．【點睛】此題考查了乘法公式和多項式的乘法，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）若a+1a=5，則aA．23 B．8 C．-8 D．【答案】A【分析】根據完全平方公式得出a+1【詳解】解：∵a+1∴a+1∴a2故選：A．【點睛】本題主要考查了了完全平方公式，解題的關鍵是掌握完全平方公式a±2．（2023春·福建三明·七年級校考階段練習）我們把形如“”的式子稱為完全平方式，若x2+axy+y2是一個完全平方式，，且a<b，則b【答案】4【分析】根據完全平方式的特點，以及負整數指數冪的法則，求出a,b的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵x2∴a=±∵，∴b=1∵a<b，∴a=-∴ba故答案為：4．【點睛】本題考查完全平方式和負整數指數冪．熟練掌握完全平方式的特點和負整數指數冪的法則，是解題的關鍵．3．（2023春·安徽宣城·七年級校考期中）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的整體或某一部分通過恒等變形，化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個正整數能表示成a2+b2（a、b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，5是“完美數”，理由：因為5=22+【解決問題】（1）已知29是“完美數”，請將它寫成a2+b2（a、b（2）已知x2+y【探究問題】（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x是正整數，y是大于1的正整數，k是常數），要使【答案】（1）22+52；（2）-1【分析】（1）根據“完美數”的定義，即可求解；（2）可化為x2-2x+1+y2（3）可化為S=x+22+2y-32+k-13，根據【詳解】解：（1）根據題意得29=2故答案：22（2）由題意得x2即x-x-12=0，y+2∴x-1=0，y+2=0，解得：x=1，y=則x+y=1-（3）當k=13時，S為“完美數”，理由如下：S===x+2∵S為“完美數”，∴k解得：k=13，是正整數，y是大于1的正整數，∴x+2，2y-∴S是一個“完美數”【點睛】本題考查了新定義，配方法，理解新定義，掌握配方法是解題的關鍵．題型十乘法公式在幾何背景下的應用19．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習）如圖，將邊長為3a的正方形沿虛線剪成兩個正方形和兩個長方形．若去掉邊長為2b的小正方形后，再將剩余部分拼成一個長方形，則長方形的面積為（

）

A．3a+2b B．9a2-4b2 C【答案】B【分析】根據題意，先將剩余部分拼成長方形，再根據圖形的邊長關系將新長方形的長和寬表示出來，就可以計算面積．【詳解】解：如下圖所示，

可以將圖①拼到到圖②的位置，就構成了長方形：該長方形的長為：3a+2b，寬為：3a-則長方形的面積為：3a+2b3a故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形周長的計算，單項式乘以單項式，題目較簡單，解題的關鍵是能夠用剩余部分圖形拼出矩形．20．（2023春·浙江杭州·七年級統考期中）如圖張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為a+b的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為．若S1=2S2

A．3:2 B．5:2 C．2:1 D．3:1【答案】C【分析】如下圖，先求出空白部分的面積，然后求出陰影部分的面積，利用S1=2S2，可得出【詳解】如下圖

則空白部分的面積S1=S6S7S5化簡得：SS2∵S∴a化簡得：a∴a=2b，即a:b=2:1，故選：C．【點睛】本題考查完全平方公式的計算與化簡，解題關鍵是先求出S1和的面積．鞏固訓練1．（2023春·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【答案】D【分析】根據各個圖形中陰影部分面積的“算兩次”，進而判斷是否驗證平方差公式即可．【詳解】解：圖①中，將陰影部分沿著虛線裁剪，可以拼成右側的平行四邊形，陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2-b2，所拼成的是底為a+b，高為a-b的平行四邊形，因此面積為所以圖①可以驗證平方差公式，不符合題意；圖②中陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2-b2，所拼成的長方形的長為a+b，款為a-b，因此面積為因此圖②可以驗證平方差公式，不符合題意；圖③中陰影部分可以看作是邊長為a-b的正方形，因此面積為a-b2，所拼成的圖形中陰影部分的面積可以看作四個小正方形的面積和，a故選：D．【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的前提，用代數式表示圖形中陰影部分的面積是解決問題的關鍵．2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）現有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為AE的中點，連接DH，FH．將乙紙片放到甲的內部得到圖2．已知甲、乙兩個正方形邊長之和為6，圖2的陰影部分面積為2，則圖1的陰影部分面積為

【答案】10【分析】設甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據題意可得：a+b=6a-b2=2，根據完全平方和公式得到a2+【詳解】解：設甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據題意可得：a+b=6a，∴2∴a∵H是AE的中點，∴AH=EH=∴S△AHD=∴S故答案為：10．

【點睛】本題考查完全平方公式的運用，正確對完全平方公式進行變形是解題的關鍵．3．（2023春·山東濟南·七年級統考期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于___________；面積等于___________．(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式a+b，a-(3)運用你所得到的公式計算：若m、n為實數，且mn=5，m-n=4，試求(4)如圖3所示，兩正方形ABCD和正方形DEFG邊長分別為α、b，且，ab=5，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)a-b；a(2)a+b(3)m+n=±6(4)10【分析】（1）根據圖中給出的數據即可求得圖乙中陰影部分正方形邊長，根據正方形的面積公式求得面積；（2）用兩種不同方式求得陰影部分面積可得關于a+b2、a-b2、（3）根據（2）中結論即可解題；（4）利用S陰影=S梯形ABGD【詳解】（1）解：圖中陰影部分邊長為a-則陰影部分的面積為a-故答案為：a-b；a-（2）解：用兩種不同的方法表示陰影的面積：方法一：陰影部分為邊長=a-b的正方形，故面積=方法二：陰影部分面積=a+b∴(a+b)即a+b2故答案為：a+b2（3）解：由（2）得，m+n2∵mn=5，∴m+n2∴m+n=±6（4）解：S==1【點睛】本題考查了完全平方公式及應用，解題關鍵是用不同方法表示同一圖形面積．題型十一提取公因式法21．（2023秋·全國·八年級課堂例題）把12a2bA．2 B．2ab C．2ab2c【答案】C【分析】找出各項的公因式即可．【詳解】解：把12a2b故選：C．【點睛】此題考查了因式分解-提公因式法，找出各項的公因式是解本題的關鍵．22．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知x-y=1，xy=2，則x2A．-12 B．-2 C．12【答案】D【分析】將所求代數式化為xyx【詳解】解：∵x-y=1，xy=2，∴x=xy=2=2，故選：D．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式的方法是解答的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B．2mm-n2 C． D【答案】C【分析】先提取公因式m-【詳解】解：==-故選：C．【點睛】本題考查用提公因式法進行因式分解的能力，難點在于把m-2．（2023春·安徽合肥·七年級統考期末）已知關于x的二次三項式x2-mx+n可分解為x+2x-3，則3m【答案】9【分析】把x+2x-3展開，求出m、n【詳解】解：∵x+2x2-∴m=1，n=-∴3m故答案為：9．【點睛】本題考查了整式的乘法和因式分解，解題關鍵是熟練運用整式乘法法則進行計算．3．（2023秋·八年級課時練習）分解因式：(1)-8(2)2a+12(3)3x【答案】(1)-(2)2(3)3x【分析】（1）直接提取公因式-2（2）直接提取公因式2a+1進行分解因式即可；（3）直接提取公因式3xx【詳解】（1））解：原式=-（2）解：原式===22a+1（3）解：原式=3=3xx【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解題的關鍵．題型十二公式法23．（2023秋·八年級課時練習）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解且正確的是（

）A．x2-2x-1=(x-1)C．x2-4x+4=(x-2)【答案】C【分析】根據因式分解的定義進行逐一判斷即可：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式叫做因式分解．【詳解】解：A、x2B、a+baC、x2D、a2故選C．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義和公式法分解因式，熟知因式分解的定義和方法是解題的額關鍵．24．（2023春·四川達州·七年級校考期末）若M5x-y2A．-5x-y2 B．-y2+5x C．5x+【答案】A【分析】對式子進行因式分解，即可求解．【詳解】解：∵M5x∴M=-故選：A．【點睛】此題考查了利用平方差公式進行因式分解，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．鞏固訓練1．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期末）下列因式分解正確的是（

）A．x2+yC．x2+4xy-4y【答案】D【分析】根據完全平方公式因式分解，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.x2+B.x2C.x2-D.x+1x+2故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．2．（2023春·陜西渭南·八年級統考期中）已知a+b=3，ab=2，則代數式的值為【答案】18【分析】先因式分解再代入數據解題即可．【詳解】解：=ab，當a+b=3，ab=2故答案為：18．【點睛】本題主要考查整式的因式分解，能夠熟練運用提公因式以及完全平方公式是解題關鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級校考期中）閱讀材料：因式分解：．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=(A+1)2．再將“上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，問題解決：(1)因式分解：1+6(x(2)因式分解：a(3)證明：若n為正整數，則代數式的值一定是某個整數的平方．【答案】(1)1+3x(2)a(3)見解析【分析】（1）用換元法設x-y=A，將原式化為1+6A+9A2，再利用完全平方公式得出1+3A2，再將（2）設a2-4a=B，則原式=B+42（3）先計算n+1n+2【詳解】（1）解：令x-1+6(x-y)+9(x-y=1+3A將“A”還原，可以得到：原式=1+3x（2）解：令a2則a===B+4將“B”還原，可以得到：原式==a（3）解：n+1===n∵n為正整數，∴n2∴n+1n+2即代數式n+1n+2【點睛】本題考查換元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．題型十三十字相乘法25．（2023春·河北保定·八年級校考期末）若多項式x2-ax+12可分解為x-3x+b，則a+bA． B．-3 C．3 D．11【答案】C【分析】根據十字相乘法的分解方法和特點可知：-a=-3+b，12=-3b，據此可得a=7，b=-【詳解】解：∵多項式x2-ax+12可分解為∴-a=-3+b，12=-∴a=7，b=-∴a+b=7故選：C．【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對常數項的不同分解是解本題的關鍵26．（2023春·廣西貴港·七年級統考期中）下列各組式子中，因式分解正確的是（

）A．x2-7x+10=x-2C．10x2-5x【答案】A【分析】根據十字相乘法，完全平方公式，提公因式法因式分解，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.x2-B.4mC.10x2D.x2故選：A．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023·上海·七年級假期作業）將下列多項式分解因式，結果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【分析】首先把每個選項中的多項式進行因式分解，再根據結果即可判定．【詳解】解：A．原式＝x（x+2），故此選項不符合題意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此選項不符合題意；C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此選項不符合題意；D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此