2.2基本不等式（第2課時）導學案學習目標1.熟練掌握基本不等式及變形的應用．2.會用基本不等式解決生活中簡單的最大(小)值問題．3.能夠運用基本不等式解決幾何中的應用問題．重點難點重點：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。難點：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。導入新知基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有工具．同學們，數學是和生活聯系非常緊密的學科，我們學習數學，也是為了解決生活中的問題，比如：“水立方”是2008年北京奧運會標志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奧會歷史上體量最大的冰壺場館“冰立方”．如圖為水立方平面設計圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結構，該結構是大小相同的左、右兩個矩形框架，兩框架面積之和為18000m2，現地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD之間空白的寬度為10m，兩框架之間的中縫空白寬度為5m，請問作為設計師的你，應怎樣設計矩形ABCD，才能使水立方占地面積最小？要解決這個問題，還得需要我們剛學習過的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！學習新知一、基本不等式在生活中的應用問題利用基本不等式求最大(小)值時，應注意哪些問題？例3（1）用籬笆圍一個面積為100的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時周長最短.（2）矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大.解：設矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為m，m，籬笆的長度為.（1）由已知得.由，可得，所以，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為10m的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m.（2）由已知得，矩形菜園的面積為.由，可得，當且僅當時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為9m的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81.【變式1】某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經測算,若將樓房建為層,則每平方米的平均建筑費用為560(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?

注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積).【解析】設將樓房建為層,則每平方米的平均購地費用為.

設每平方米的平均綜合費用為元,

則.

當取最小值時,有最小值.

,當且僅當,即時,等號成立.

所以當時,有最小值2000.

因此該樓房建為15層時,每平方米的平均綜合費用最少.反思感悟利用基本不等式解決實際問題的步驟(1)理解題意．設變量，并理解變量的實際意義；(2)構造定值．利用基本不等式求最值；(3)檢驗．檢驗等號成立的條件是否滿足題意；(4)結論．應用新知二、基本不等式在幾何中的應用例4某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？分析：貯水池呈長方體形，它的高是3m，池底的邊長沒有確定．如果池底的邊長確定了，那么水池的總造價也就確定了．因此，應當考察池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低．【解析】設貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為，，水池的總造價為元．根據題意，有．由容積為4800m3，可得，因此．所以，當時，上式等號成立，此時．所以，將貯水池的池底設計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元．【變式1】為了增強生物實驗課的趣味性,豐富生物實驗教學內容,某校計劃沿著圍墻(足夠長)劃出一塊面積為100平方米的矩形區域修建一個羊駝養殖場,規定的每條邊長均不超過20米.如圖所示,矩形為羊駝養殖區,且點A,B,E,F四點共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(單位:米),養殖區域的面積為(單位:平方米).(1)將S表示為x的函數，并寫出x的取值范圍；(2)當AB為多長時，S取得最大值？并求出最大值．【解析】(1)因為,所以,

所以,

因為,解得,

所以.

(2)

當且僅當時,等號成立,經驗證,符合題意,

即當米時,取得最大值,最大值為平方米.反思感悟在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤．能力提升題型一：基本不等式在生活中的應用【練習1】某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為900元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,4)天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品()A．30件 B．60件C．80件 D．100件【答案】B【解析】根據題意,生產件產品的生產準備費用與倉儲費用之和是,設平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為,

則,

由基本不等式,得,

當且僅當,即時,等號成立,

即每批生產產品60件時,平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小.反思感悟在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤．【跟蹤練習】為了美化校園環境，園藝師在花園中規劃出一個平行四邊形，建成一個小花圃，如圖，計劃以相距6米的M，N兩點為?AMBN一組相對的頂點，當AMBN的周長恒為20米時，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析設AM＝x，AN＝y，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，當且僅當x＝y＝5時等號成立，此時(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此時四邊形AMBN是邊長為5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解決實際應用問題的思路(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值.(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解.題型二：基本不等式在幾何中的應用【練習2】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建為一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝4米，AD＝3米，當BM＝______時，矩形花壇AMPN的面積最小．【答案】4米【解析】設,則由得,解得,

矩形的面積為,當且僅當,即時等號成立.

當米時,矩形花壇的面積最小求實際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設出變量，理清思路，列出函數關系式．(2)把實際問題抽象成函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求函數的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式．(4)回到實際問題中，正確寫出答案．課堂總結1．知識清單：(1)基本不等式在生活中的應用．(2)基本不等式在幾何中的應用．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區：生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍．作業設計課本48頁習題2.2第5,6題第48頁習題2.2復習鞏固1.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，當且僅當時，即當時等號成立，的最小值為；（2）由知.當或時，；當時，，由基本不等式可得.當且僅當，即當時等號成立.綜上，的最大值為.【點睛】本題考查基本不等式求最值，重點考查轉化與化歸的思想，屬于基礎題型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.2.（1）把寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什么值時，它們的和最小？（2）把寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什么值時，它們的積最大？【答案】（1）a=b=6時，它們的和最小，為12；（2）a=b=9時，它們的積最大，為81【解析】設兩個正數為a，b（1），則，當且僅當等號成立，即a=b=6時，它們的和最小，為12.（2），則當且僅當等號成立即a=b=9時，它們的積最大，為81.【點睛】本題考查基本不等式求最值．即兩個正數，積為定值時和有最小值，和為定值時積有最大值，都是當且僅當這兩個數相等時取得最值．3.某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側面每平方米的造價為元，屋頂的造價為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？【答案】當房屋的正面邊長為，側面邊長為時，房屋總造價最低，為元.【解析】設房屋的正面邊長為，側面邊長為，總造價為元，則，即，.當時，即當時，有最小值，最低總造價為元.答：當房屋的正面邊長為，側面邊長為時，房屋總造價最低，為元.【點睛】本題考查基本不等式的應用，在利用基本不等式時，要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎題.第48頁綜合運用4.已知、、都是正數，求證：.【解析】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性質可得，當且僅當時等號成立.【點睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.5.已知，求證：的最大值是.【答案】見解析【解析】，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最大值是.【點睛】本題考查利用基本不等式求代數式的最值，在應用基本不等式時，要注意“一正二定三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于基礎題.6.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應該把倉建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？【答案】【解析】設，，當時，，，，，，，兩項費用之和為.當且僅當時，即當時等號成立.即應將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項費用之和最小，且最小費用為萬元.【點睛】本題考查基本不等式的應用，在運用基本不等式求最值時，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎題.第49頁拓廣探索7.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是小于，等于，還是大于？為什么？【答案】大于，理由見解析【解析】由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為，右臂長為，則，再設先稱得黃金為，后稱得黃金為，則，，，，，當且僅當，即時等號成立，