全國普通高等學校2025屆高二數學第一學期期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區間內隨機取一個數x，則使得的概率為（）A. B.C. D.2．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.63．已知函數的定義域為，其導函數為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.4．設等差數列的前n項和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.385．若實數滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.7．已知等差數列的前項和為，若，則（）A B.C. D.8．正方體的棱長為2，E，F，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.7810．已知等差數列前項和為，且，，則此數列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項11．已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數 B.在處取極小值C.在上為減函數 D.在處取極大值12．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一組數據：，其平均數是，則其方差是________.14．已知點，，其中，若線段的中點坐標為，則直線的方程為________15．已知關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是___________.16．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數字是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別為AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當時，求點A到平面的距離.18．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數據（1）男生和女生應各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高19．（12分）某公司從2020年初起生產某種高科技產品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關系式；.（2）若企業希望經過5年后，使企業剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.20．（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.21．（12分）已知曲線上任意一點滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側的交點分別是，且，求的最小值.22．（10分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用幾何概型的長度模型求概率即可.【詳解】由，可得，其中長度為1，而區間長度為4，所以，所求概率為故選：A.2、A【解析】根據圓的幾何性質轉化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A3、B【解析】令，求出函數的導數，得到函數的單調性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調遞增，故，即，所以，故選：B4、A【解析】由已知及等差數列的通項公式得到公差d，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等差數列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A5、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區域，觀察圖形即可得解.【詳解】因實數滿足，作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B6、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面7、B【解析】利用等差數列的性質可求得的值，再結合等差數列求和公式以及等差中項的性質可求得的值.【詳解】由等差數列的性質可得，則，故.故選：B.8、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B9、D【解析】由等比數列的性質直接求得.【詳解】在等比數列中，由等比數列的性質可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D10、C【解析】設等差數列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數列為遞減數列，前6項為正，第7項及后面的項為負，又，則，則在數列中絕對值最小的項為，選C.11、C【解析】首先利用導函數的圖像求和的解，進而得到函數的單調區間和極值點.【詳解】由導函數的圖象可知:當時，或；當時，或，所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.12、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】先按照平均數算出a，再按照方差的定義計算即可。【詳解】∵，所以，方差，故答案為：2.14、【解析】根據中點坐標公式求出，再根據直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.15、【解析】參變分離，可得，設，求導分析單調性，可得，即得解【詳解】因為，所以不等式可化為，設，則，設，由于故在上單調遞增，且，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，則，即.故答案為：16、3【解析】設污損的葉對應的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數字是3.考點：莖葉圖.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數量積求出平面的法向量，結合求點到面距離的向量法即可得出結果.【小問1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，故，所以；【小問2詳解】當時，，，，，則，，，設是平面的法向量，則由，解得，取，得，設點A到平面的距離為，則，所以點A到平面的距離為.18、（1）應抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應抽取的人數；（2）利用平均數的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應抽取男生人，女生應抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計該校高二年級學生的平均身高為.19、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據題意直接得，，進而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數列的求和公式可得，結合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業剩余資金為3000萬元.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點，連接，要證明，只需證明平面即可；（2）以D為原點建系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式計算即可得到答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，連接四邊形為正方形，，且為的中點又四邊形為菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如圖，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，則由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，設為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，所以設平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為21、（1）（2）8【解析】（1）根據雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設，則，等價于，曲線為以為焦點的雙曲線，且實軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值8.22、（1）