彈簧類模型中的最值問題在高考復習中，常常遇到有關“彈簧類”問題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯系在一起，彈簧與其“關聯物”之間總存在著力、運動狀態、動量、能量方面的聯系，因此學生普遍感到困難，本文就此類問題作一歸類分析。一、最大、最小拉力問題例1.一個勁度系數為k＝600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質量均為m＝15kg的物體A、B，將它們豎直靜止地放在水平地面上，如圖1所示，現加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開始向上做勻加速運動，經0.5s，B物體剛離開地面（設整個加速過程彈簧都處于彈性限度內，且g＝10m/s2）。求此過程中所加外力的最大和最小值。圖1解析：開始時彈簧彈力恰等于A的重力，彈簧壓縮量，0.5s末B物體剛要離開地面，此時彈簧彈力恰等于B的重力，，故對A物體有，代入數據得。剛開始時F為最小且，B物體剛要離開地面時，F為最大且有，解得。二、最大高度問題例2.如圖2所示，質量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時彈簧的壓縮量為。一物體從鋼板正上方距離為的A處自由下，落打在鋼板上并立即與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動，已知物塊質量也為m時，它們恰能回到O點，若物體質量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到O點時還有向上的速度，求物塊向上運動到達的最高點與O點的距離。圖2解析：物塊與鋼板碰撞時的速度為v0，由機械能守恒得

①

設v1表示質量為m的物塊與鋼板碰撞后一起開始向下運動的速度，因碰撞時間極短，動量守恒，則有mv0=2mv1

②

剛碰完時彈簧的彈性勢能為Ep，當它們一起回到O點時，彈簧無形變，彈性勢能為零。根據題給條件，這時物塊與鋼板的速度為零，由機械能守恒

③

設v2表示質量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始一起向下運動的速度，則有2mv0=3mv2

④

剛碰完時彈簧的彈性勢能為Ep'，它們回到O點時，彈性勢能為零，但它們仍繼續向上運動，設此時速度為v，則有:Ep'+

⑤

在以上兩種情況中，彈簧的初始壓縮量都是x0，故有Ep'=Ep

⑥

當質量為2m的物塊與鋼板一起回到O點時，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力作用，加速度為g。一過O點，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g。故在O點物塊與鋼板分離，分離后，物塊以速度v豎直上拋，則由以上各式解得，物塊向上運動所到最高點與O點的距離為三、最大速度、最小速度問題例3.如圖3所示，一個勁度系數為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質量為m的平板B相連而處于靜止狀態。今有另一質量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運動到速度最大時，系統增加的彈性勢能與動能相等，求系統的這一最大速度v。圖3解析：A下落到與B碰前的速度v1為：①A、B碰后的共同速度v2為：②B靜止在彈簧上時，彈簧的壓縮量為x0，且：③A、B一起向下運動到最大速度v時的位移為x，此時A、B的加速度為0，即有：④由機械能守恒得：⑤⑥解①~⑥得：例4.在光滑水平面內，有A、B兩個質量相等的木塊，，中間用輕質彈簧相連?，F對B施一水平恒力F，如圖4所示，經過一段時間，A、B的速度等于5m/s時恰好一起做勻加速直線運動，此過程恒力做功為100J，當A、B恰好一起做勻加速運動時撤除恒力，在以后的運動過程中求木塊A的最小速度。圖4解析：當撤除恒力F后，A做加速度越來越小的加速運動，彈簧等于原長時，加速度等于零，A的速度最大，此后彈簧壓縮到最大，當彈簧再次回復原長時速度最小，根據動量守恒得:2mv①根據機械能守恒得:②由以上兩式解得木塊A的最小速度v＝0。四、最大轉速和最小轉速問題例5.有一水平放置的圓盤，上面放一個勁度系數為k的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長為L，現將彈簧伸長后置于旋轉的桌面上，如圖5所示，問：要使物體相對于桌面靜止，圓盤轉速n的最大值和最小值各是多少？圖5解析：當轉速n較大時，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即：①當轉速n較小時，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即：②所以圓盤轉速n的最大值和最小值分別為：和五、最大加速度問題例6.兩木塊A、B質量分別為m、M，用勁度系數為k的輕質彈簧連在一起，放在水平地面上，如圖6所示，用外力將木塊A壓下一段距離靜止，釋放后A做簡諧運動，在A振動過程中，木塊B剛好始終未離開地面，求木塊A的最大加速度。圖6解析：撤去外力后，A以未加外力時的位置為平衡位置作簡諧運動，當A運動到平衡位置上方最大位移處時，B恰好對地面壓力為零，此時A的加速度最大，設為am。對A：由牛頓第二定律有對B：所以，方向向下。六、最大振幅例7.如圖7所示，小車質量為M，木塊質量為m，它們之間靜摩擦力最大值為Ff，輕質彈簧勁度系數為k，振動系統沿水平地面做簡諧運動，設木塊與小車間未發生相對滑動，小車振幅的最大值是多少？圖7解析：在最大位移處，M和m相對靜止，它們具有相同的加速度，所以對整體有：①對m有：②所以由①②解得：。七、最大勢能問題例8.如圖8所示，質量為2m的木板，靜止放在光滑的水平面上，木板左側固定著一根勁度系數為k的輕質彈簧，彈簧的自由端到小車右端的距離為L0，一個質量為m的小木塊從板的右端以初速度v0開始沿木塊向左滑行，最終回到木板右端，剛好不從木板右端滑出，設木板與木塊間的動摩擦因數為，求在木塊壓縮彈簧過程中（一直在彈性限度內）彈簧所具有的最大彈性勢能。圖8解：彈簧被壓縮至最短時，具有最大彈性勢能，設m在M上運動時，摩擦力做的總功產生內能為2E，從初狀態到彈簧具有最大彈性勢能及從初狀態到末狀態，系統均滿足動量守恒定律，即：①由初狀態到彈簧具有最大彈性勢能，系統