學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教學設計2．3。2離散型隨機變量的方差eq\o(\s\up7(）,\s\do5（整體設計））教材分析本課仍是一節(jié)概念新授課,方差與均值都是概率論和數理統(tǒng)計的重要概念,是反映隨機變量取值分布的特征數．離散型隨機變量的均值與方差涉及的試題背景有:產品檢驗問題、射擊、投籃問題、選題、選課、做題、考試問題、試驗、游戲、競賽、研究性問題、旅游、交通問題、摸球問題、取卡片、數字和入座問題、信息、投資、路線等問題．從近幾年高考試題看,離散型隨機變量的均值與方差問題還綜合函數、方程、數列、不等式、導數、線性規(guī)劃等知識，主要考查能力．課時分配1課時教學目標知識與技能了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義,會根據離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差．過程與方法了解方差公式“D（aX＋b）＝a2D(X）”，以及“若X～B（n，p)，則D(X）＝np(1－p)",并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差．情感、態(tài)度與價值觀承前啟后,感悟數學與生活的和諧之美，體現數學的文化功能與人文價值．重點難點教學重點：離散型隨機變量的方差、標準差．教學難點:比較兩個隨機變量的均值與方差的大小，從而解決實際問題．eq\o（\s\up7(),\s\do5(教學過程））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(復習舊知））1．數學期望：一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為ξ的數學期望．2．數學期望的一個性質：E（aξ＋b)＝aEξ＋b。3．若ξ～B（n,p），則Eξ＝np.教師指出：數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均值．但有時兩個隨機變量只用這一個特征量是無法區(qū)別它們的，還需要對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行刻畫．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18910P0。20。60.2ξ28910P0。40.20.4試比較兩名射手的射擊水平高低．提出問題：下面的分析你贊成嗎？為什么？∵Eξ1＝8×0。2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0。4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．設計意圖:展示錯解，引出課題活動結果：不對,顯然兩名選手的水平是不同的，要進一步去分析成績的穩(wěn)定性．教師指出:初中我們也對一組數據的波動情況作過研究，即研究過一組數據的方差．在一組數據x1，x2，…,xn中，S2＝eq\f(1，n）［（x1－eq\x\to(x））2＋（x2－eq\x\to（x))2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2]叫做這組數據的方差．類似于這個概念,我們可以定義離散型隨機變量的方差．（給出定義）1．方差：對于離散型隨機變量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…xn，且取這些值的概率分別是p1，p2,…，pi,…pn，那么，D（X)＝（x1－E（X)）2·p1＋(x2－E（X））2·p2＋…＋（xi－E(X)）2·pi＋…＋（xn－E(X）)2·pn稱為隨機變量X的方差，式中的E(X）是隨機變量X的均值．標準差：D（X)的算術平方根eq\r(DX)叫做隨機變量X的標準差,記作σ(X）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知)）（1）隨機變量X的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的;（2)隨機變量X的方差、標準差也是隨機變量X的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；（3)標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．對“探究”的再思考（1）如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？（2)如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0。4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0。8,∴甲射擊水平更穩(wěn)定．若對手在8環(huán)左右,派甲參賽，易贏．若對手在9環(huán)左右,則派乙參賽，可能超常發(fā)揮．提出問題:前面我們知道若一組數據xi（i＝1，2，…，n）的方差為s2，那么另一組數據axi＋b（a、b是常數且i＝1,2，…，n）的方差為a2s2。離散型隨機變量X的方差是否也有類似性質?活動結果:同樣具有．2．方差的性質：D(aX＋b）＝a2D(X)；其他：D(X)＝E（X2)－（E（X)）2（了解）；3．若X～B（n，p），則D（X）＝np(1－p）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(運用新知)）例1隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，求向上一面的點數的均值、方差和標準差．解：拋擲骰子所得點數X的分布列為X123456Peq\f(1,6）eq\f（1，6）eq\f（1,6)eq\f(1，6）eq\f(1,6）eq\f(1，6)從而E(X）＝1×eq\f(1，6）＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f（1，6)＋4×eq\f（1，6）＋5×eq\f（1，6)＋6×eq\f(1,6）＝3。5;D（X）＝(1－3。5）2×eq\f(1,6)＋（2－3.5）2×eq\f（1，6）＋（3－3.5）2×eq\f（1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1，6）＋(5－3。5)2×eq\f（1,6)＋(6－3.5）2×eq\f（1，6)≈2。92,eq\r（D(X))≈1。71.例2有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應職位的概率P10.40。30。20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應職位的概率P20。40.30.20.1根據工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位？解：根據月工資的分布列，利用計算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0。2＋1800×0。1＝1400，D（X1）＝（1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0。1＝40000；E（X2)＝1000×0.4＋1400×0。3＋1800×0。2＋2200×0.1＝1400,D(X2)＝（1000－1400）2×0。4＋(1400－1400）2×0。3＋(1800－1400)2×0。2＋（2200－1400)2×0。1＝160000.因為E（X1)＝E(X2)，D（X1）〈D(X2)，所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．【變練演編】設ξ是一個離散型隨機變量，其分布列如下表,試求Eξ、Dξ.ξ－101Peq\f（1，2)1－2qq2剖析：應先按分布列的性質，求出q的值后,再計算出Eξ、Dξ。解：因為隨機變量的概率非負且隨機變量取遍所有可能值時相應的概率之和等于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋1－2q＋q2＝1，，0≤1－2p≤1，，q2≤1，)）解得q＝1－eq\f（\r（2)，2)。于是，ξ的分布列為ξ－101Peq\f（1，2)eq\r(2)－1eq\f（3，2）－eq\r(2）所以Eξ＝(－1)×eq\f（1,2）＋0×(eq\r(2)－1）＋1×（eq\f（3,2）－eq\r（2））＝1－eq\r（2)，Dξ＝[－1－（1－eq\r（2）)]2×eq\f(1，2）＋（1－eq\r（2）)2×（eq\r（2）－1)＋[1－(1－eq\r（2）)]2×（eq\f（3,2）－eq\r(2))＝eq\r（2)－1。教師點評：解答本題時，應防止機械地套用均值和方差的計算公式,出現以下誤解：Eξ＝(－1）×eq\f(1,2)＋0×(1－2q）＋1×q2＝q2－eq\f(1，2).另外既要會由分布列求Eξ、Dξ，也要會由Eξ、Dξ求分布列，發(fā)展逆向思維．變式：若ξ是離散型隨機變量，P（ξ＝x1）＝eq\f(3,5),P（ξ＝x2)＝eq\f（2，5),且x1〈x2,又知Eξ＝eq\f(7，5)，Dξ＝eq\f(6，25)，求ξ的分布列．解:依題意ξ只取2個值x1與x2，于是有Eξ＝eq\f(3,5)x1＋eq\f（2，5）x2＝eq\f（7，5）,Dξ＝eq\f（3,5)xeq\o\al(2,1）＋eq\f（2,5)xeq\o\al(2，2）－Eξ2＝eq\f（6,25),從而得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x1＋2x2＝7，，3x\o\al(2，1）＋2x\o\al（2,2）＝11.））解之得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝1，，x2＝2，））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝\f(9，5），，x2＝\f（4，5）。))而x1〈x2，∴x1＝1,x2＝2。∴ξ的分布列為：ξ12Peq\f(3,5)eq\f(2，5)【達標檢測】1．設隨機變量ξ的分布列為ξ12…nPeq\f（1，n）eq\f（1,n)…eq\f(1,n）求Dξ.略解：Eξ＝eq\f（n＋1，2）,Dξ＝eq\f(n2－1,12)。2．有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數為ξ，求Eξ,Dξ.分析：涉及產品數量很大，而且抽查次數又相對較少的產品抽查問題．由于產品數量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小,所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξ~B(200，1%),從而可用公式：Eξ＝np，Dξ＝npq（這里q＝1－p)直接進行計算．解:因為商品數量相當大，抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗,所以ξ～B(200,1%)．因為Eξ＝np，Dξ＝npq,這里n＝200，p＝1%，q＝99%，所以，Eξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99％＝1.98.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結))1．求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據分布列，由均值的定義求出Eξ;④根據方差、標準差的定義求出Dξ、eq\r（Dξ）.若ξ～B(n，p）,則不必寫出分布列，直接用公式計算即可．2．對于兩個隨機變量ξ1和ξ2,在Eξ1和Eξ2相等或很接近時，比較Dξ1和Dξ2,可以確定哪個隨機變量的性質更適合生產生活實際，適合問題的需要．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(補充練習)）【基礎練習】1．已知ξ～B(n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6,則p等于(）A。eq\f（1,7）B.eq\f（1,6)C。eq\f(1，5）D.eq\f（1,4)解析：Eξ＝np＝7，Dξ＝np（1－p)＝6，所以p＝eq\f（1，7)。答案：A2．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設發(fā)病的牛的頭數為ξ，則Dξ等于（)A．0。2B．0。8C．0。196D．0.804解析：Dξ＝10×0。02×0.98＝0.196。答案：C3．有兩臺自動包裝機甲與乙,包裝重量分別為隨機變量ξ1、ξ2,若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2,則自動包裝機________的質量較好．解析:Eξ1＝Eξ2說明甲、乙兩機包裝的重量的平均水平一樣．Dξ1>Dξ2說明甲機包裝重量的差別大，不穩(wěn)定．∴乙機質量好．答案：乙4．一次單元測試由50個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中恰有1個是正確答案．每題選擇正確得2分，不選或錯選得0分，滿分是100分．學生甲選對任一題的概率為0。8，求他在這次測試中成績的均值和標準差．解:設學生甲答對題數為ξ,成績?yōu)棣牵瑒tξ~B（50,0.8)，η＝2ξ，故成績的均值為Eη＝E(2ξ)＝2Eξ＝2×50×0。8＝80；成績的標準差為eq\r(Dη)＝eq\r(D（2ξ))＝eq\r(4Dξ）＝2eq\r(50×0。8×0。2）＝4eq\r（2）≈5。7.【拓展練習】若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p〈1），用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數．(1）求方差Dξ的最大值；(2）求eq\f(2Dξ－1，Eξ）的最大值．剖析：要求Dξ、eq\f（2Dξ－1，Eξ)的最大值，需求Dξ、Eξ關于p的函數式,故需先求ξ的分布列．解：隨機變量ξ的所有可能取值為0，1,并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，從而Eξ＝0×(1－p）＋1×p＝p，Dξ＝（0－p)2×(1－p）＋(1－p）2×p＝p－p2。（1)Dξ＝p－p2＝－（p－eq\f（1，2))2＋eq\f（1，4)，∵0〈p<1，∴當p＝eq\f(1，2)時,Dξ取得最大值為eq\f(1,4)。(2）eq\f（2Dξ－1，Eξ)＝eq\f（2(p－p2）－1,p)＝2－(2p＋eq\f(1,p)），∵0〈p〈1,∴2p＋eq\f（1,p）≥2eq\r(2)。當且僅當2p＝eq\f（1，p)，即p＝eq\f(\r（2),2)時,eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r（2)。評述：在知識的交匯點處出題是高考的發(fā)展趨勢，應引起重視．eq\o(\s\up7(），\s\do5(設計說明))本節(jié)課從新課標評價理念出發(fā)，以問題作為教學的主線,教師適時點撥為輔助手段，使學生在猜想、對比性問題中展開探索，在實踐應用性問題中感悟數學的思維與方法．教學中以課堂作為教學的輻射源，通過教師、學生、多媒體多點輻射,帶動和提高所有學生的學習積極性與主動性．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料）)備選例題：某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二道工序加工而成,兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級．對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品．（1)已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如