2024-2025學年河南省平頂山市汝州市有道實驗學校九年級（上）月考數學試卷（9月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.把一元二次方程，配成的形式，則p、q的值是(

)A.， B.， C.， D.，2.如圖，已知直線，直線m交直線a，b，c于點A，B，C，直線n交直線a，b，c于點D，E，F，若，則(

)A.

B.

C.

D.13.已知，則的值是(

)A. B. C. D.4.如圖，在中，，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，，，則(

)A.2

B.3

C.4

D.5.如圖，如圖，等邊的邊長為3，P為BC上一點，且，D為AC上一點，若，則CD的長是(

)A.

B.

C.

D.6.如圖，在正方形ABCD外側，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則為(

)A.

B.

C.

D.7.一個不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的10個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數的前提下，小亮為了估計其中的紅球數，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復上述過程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估計口袋中的紅球大約為(

)A.60個 B.50個 C.40個 D.30個8.若m，n是方程的兩根，則的值是多少？(

)A.4 B. C. D.9.如圖，，，點D在邊BC上與B、C不重合，四邊形ADEF為正方形，過點F作，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：

①；

②：：2；③；

④，其中正確的結論的個數是A.

1 B.

2 C.

3 D.

410.已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，頂點，，點P是對角線OB上的一個動點，，當最短時，點P的坐標為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是______.12.某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么方程是______.13.某電腦的密碼是兩位數字，如果陌生人想打開該電腦，那么他一次就能打開電腦的概率是______.14.如圖，矩形ABCD中，，，P為CD邊上的動點，當與相似時，________.

15.已知正方形ABCD的邊長為4，點E是邊AB上靠近點B的四等分點，連接EC，將線段EC繞點E旋轉，交外角的平分線于點F，若，則FG的長為______.

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題8分

如圖，一個矩形廣場的長為60m，寬為40m，廣場內兩條縱向小路的寬均為，如果設兩條橫向小路的寬都為xm，那么當x為多少時，小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似？17.本小題8分

某景區商店以2元的批發價進了一批紀念品．經調查發現，每個定價3元，每天可以能賣出500件，而且定價每上漲元，其銷售量將減少10件．根據規定：紀念品售價不能超過批發價的倍．

當每個紀念品定價為元時，商店每天能賣出______件；

如果商店要實現每天800元的銷售利潤，那該如何定價？18.本小題8分

如圖1，將邊長為2的正方形OABC如圖放置在平面直角坐標系內.

如圖2，若將正方形OABC繞點O順時針旋轉，直接寫出A點坐標______.

如圖3，若將正方形OABC繞點O順時針旋轉，求點B的坐標.19.本小題8分

為響應垃圾分類處理，改善生態環境的號召，某小區將生活垃圾分成四類：廚余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分別記為a、b、c、d，且設置了相應的垃圾箱：“廚余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分別記為A，B，C，

如果將一袋有害垃圾任意投放進垃圾箱，則投放正確的概率是______；

小明將家里的廚余垃圾、可回收垃圾分裝在兩個袋中，用畫樹狀圖或列表的方法求這兩袋垃圾都投放正確的概率．20.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點

若，，求EF的長；

若G是EF的中點，連接BG和DG，求證：21.本小題8分

如圖，在中，CD是邊AB上的高，且，

求的大小；

求證22.本小題8分

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，，，連接EF并延長交BC的延長線于點

求證：；

若正方形的邊長為4，求BG的長．23.本小題8分

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分，，，點E為AB的中點，

求證：∽

若，，求的值.

在的條件下，______直接寫答案

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查解一元二次方程-配方法的應用，解題的關鍵是會用配方法解方程．

移項后，兩邊配上一次項系數一半的平方即可得．

【解答】解：，

，即，

則，，

故選2.【答案】C

【解析】解：，

，

，

故選：

根據平行線分線段成比例定理得到，根據比例性質得，于是得到

本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．3.【答案】D

【解析】解：由，得

，

，

故選：

根據等式的性質，可用b表示a，根據分式的性質，可得答案．

本題考查了比例的性質，利用等式的性質得出是解題關鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查直角三角形的性質，關鍵是根據直角三角形的性質得出

根據直角三角形的性質得出，進而得出，利用勾股定理解答即可．

【解答】

解：在中，，CE為AB邊上的中線，，

，

，

，

為AB邊上的高，

在中，

故選5.【答案】C

【解析】解：為等邊三角形，

，

又，且，

，

∽，

，

，，

，

，

故選：

由等邊三角形的性質結合條件可證明∽，由相似三角形的性質可求得

本題主要考查相似三角形的判定和性質，由條件能找到是解題的關鍵，注意三角形外角性質的靈活運用．6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．

由正方形的性質和等邊三角形的性質得出，，由等腰三角形的性質和內角和得出，再運用三角形的外角性質即可得出結果．

【解答】

解：四邊形ABCD是正方形，

，，，

是等邊三角形，

，，

，，

，

；

故選：7.【答案】C

【解析】解：小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，則有800次摸到紅球，

白球與紅球的數量之比為1：4，

白球有10個，

紅球有個

故選

由條件共摸了1000次，其中200次摸到白球，則有800次摸到紅球；所以摸到白球與摸到紅球的次數之比可求出，由此可估計口袋中白球和紅球個數之比，進而可計算出紅球數．

本題考查的利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．解答此題的關鍵是要計算出口袋中白色球所占的比例．8.【答案】A

【解析】解：，n是方程的兩根，

，，

，

故選：

根據根與系數的關系可得，，然后利用完全平方公式求出，進而可得答案．

本題考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．9.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、三角形的面積，矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．

由正方形的性質得出，，證出，由AAS證明≌，得出，①正確；證明四邊形CBFG是矩形，得出，②正確；由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出，③正確；證出∽，得出對應邊成比例，得出，④正確．

【解答】

解：四邊形ADEF為正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，①正確；

，

，

，，

，

，，

四邊形CBFG是平行四邊形，

又，

四邊形CBFG是矩形，

，，②正確；

，，

，③正確；

易證，

，，

∽，

，

，④正確；

故選10.【答案】D

【解析】解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作于

四邊形OABC是菱形，

，，，A、C關于直線OB對稱，

，

此時最短，

在中，，

，

，

，，

點B坐標，

直線OB解析式為，直線AD解析式為，

由解得，

點P坐標

故選：

如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作于首先說明點P就是所求的點，再求出點B坐標，求出直線OB、DA，列方程組即可解決問題．

本題考查菱形的性質、軸對稱-最短問題、坐標與圖象的性質等知識，解題的關鍵是正確找到點P位置，構建一次函數，列出方程組求交點坐標，屬于中考常考題型．11.【答案】

【解析】解：方程有實數根，

，

解得：

若一元二次方程有實數根，則根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．

本題考查擦的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關系是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】解：七月份生產零件50萬個，設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，

八月份的產量為萬個，九月份的產量為萬個，

故答案為

本題考查由實際問題抽象出一元二次方程.

根據七月份的產量表示出八月和九月的產量即可列出方程．13.【答案】

【解析】解：這兩個數字每個數都有，10種情況，

這個兩位數字共有種等可能的結果，

陌生人一次就能打開電腦的結果有1種，

他一次就能打開電腦的概率是，

故答案為：

先判斷出共有種等可能的結果，再根據概率公式即可得出結論．

本題考查了概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比．判斷出共有100種等可能的結果是解題的關鍵．14.【答案】1或4或

【解析】【分析】

本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質．對于動點問題，需要分類討論，以防漏解.需要分類討論：∽和∽，根據該相似三角形的對應邊成比例求得DP的長度.

【解答】

解：①當∽時，，

即，

解得：，或；

②當∽時，，即，

解得：

綜上所述，DP的長度是1或4或

故答案是1或4或15.【答案】

【解析】解：過點F作于H，于N，設的外角為，

平分，，，

，，

，

，

，

，

，

，

點E是邊AB上靠近點B的四等分點，

，

，

將線段EC繞點E旋轉，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

過點F作于H，于N，由“HL”可證，可得，可證，由勾股定理可求FC的長，通過證明∽，可得，即可求解．

本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，正方形的性質，勾股定理，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵．16.【答案】解：小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，

，

解得，，

答：當x為1m時，小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似．

【解析】根據相似多邊形的性質：對應邊的比相等列出比例式，解出x的值即可．

本題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的性質：對應邊的比相等是解題的關鍵．17.【答案】解：；

設實現每天800元利潤的定價為x元/個，根據題意，得

整理得：

解之得：，

物價局規定，售價不能超過批發價的倍．即

不合題意，舍去，得

答：應定價4元/個，才可獲得800元的利潤．

【解析】解：每個定價3元，每天可以能賣出500件，而且定價每上漲元，其銷售量將減少10件，

當每個紀念品定價為元時，商店每天能賣出：件；

故答案為：450；

見答案．

直接利用每個定價3元，每天可以能賣出500件，而且定價每上漲元，其銷售量將減少10件，進而得出當每個紀念品定價為元時，商店每天能賣出的件數；

利用銷量每件利潤，進而得出等式求出答案．

此題主要考查了一元二次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．18.【答案】

【解析】解：如圖，作軸于D，則，，

，，

點的坐標為，

故答案為：

如圖，連接OB，過點B作軸于E，則，，

，

在中，，

在中，，，

點B的坐標為

作軸于點D，則，，求出AD和OD，即可得出點A的坐標；

連接OB，過點B作軸于E，根據旋轉角為，可得，求出，再利用勾股定理求出OB，然后在中，利用含直角三角形的性質和勾股定理求出BE和OE，進而可得點B的坐標．

本題考查了旋轉變換，正方形的性質，坐標與圖形性質，含直角三角形的性質以及勾股定理，解決問題的關鍵是作輔助線構造含的直角三角形．19.【答案】

【解析】解：將一袋有害垃圾任意投放進垃圾箱有4種等可能結果，其中投放正確的只有1種結果，

投放正確的概率是，

故答案為：；

列表如下：ABCDABCD所有等可能的情況數有16種，其中垃圾投放正確的有1種，

垃圾投放正確的概率為

直接利用概率公式求解可得答案；

列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．20.【答案】解：四邊形ABCD是矩形，

，，

，

平分，

，

，

，，

，

在中，利用勾股定理可得：

；

連接CG，

因為是等腰直角三角形，G為EF中點，

，

又，

在和中，

，

≌

【解析】先證明是等腰直角三角形，得到，同理可得，在中利用勾股定理可求EF；

連接CG，在等腰直角中，證明，，然后用SAS證明≌，則

本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質，解決這類問題時，特殊四邊形中有角平分線一般涉及了等腰三角形性質，證明線段相等一般利用全等三角形的性質．21.【答案】解：是邊AB上的高，

，