第二講橢圓、雙曲線、拋物線（推薦時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1．(·滄州模擬)拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y－2＝0，則a的值是 ()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－82．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則橢圓的離心率是 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)3．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為 ()A．－2 B．2C．－4 D．44．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A，B，若|AB|＝5，則|AF1|＋|BF1|等于 ()A．11 B．10C．9 D．165．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線eq\f(x2,a)－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是 ()A.eq\f(1,25) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,3)6．(·廣東)設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為()A．拋物線 B．雙曲線C．橢圓 D．圓7．(·山東)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為 ()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝18．從雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2＋y2＝a2的切線l，切點(diǎn)為T，且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P.若點(diǎn)M是線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|－|TM|等于 ()A.eq\f(b－a,2) B．b－aC.eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)＋eq\f(b,2)二、填空題9．(·馬鞍山調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．10．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為右支上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(1,4)，則|PQ|＋|PF1|的最小值為_(kāi)_______．11．已知拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______________________________．12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為e＝2，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過(guò)原點(diǎn)O，則k1·k2的值為_(kāi)_______________________________________________________________________．三、解答題13．(·天津)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線AP與BP的斜率之積為－eq\f(1,2)，求橢圓的離心率；(2)若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>eq\r(3).14．(·北京)已知曲線C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；(2)設(shè)m＝4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y＝kx＋4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y＝1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線．

答案1．B2．D3．D4．A5．B6．A7．A8．B9．410．911.eq\r(2)－112．313．(1)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．由題意，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝eq\f(y0,x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a).由kAP·kBP＝－eq\f(1,2)，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－2yeq\o\al(2,0)，代入①并整理得(a2－2b2)yeq\o\al(2,0)＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以橢圓的離心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)證明方法一依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，,\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.))消去y0并整理得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2b2,k2a2＋b2)②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2.整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2)，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>eq\r(3).方法二依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，kx0)．由點(diǎn)P在橢圓上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),b2)＝1.因?yàn)閍>b>0，kx0≠0，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),a2)<1，即(1＋k2)xeq\o\al(2,0)<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2，整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2).代入③，得(1＋k2)eq\f(4a2,1＋k22)<a2，解得k2>3，所以|k|>eq\r(3).14．(1)解曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m－2>0，,\f(8,5－m)>\f(8,m－2).))解得eq\f(7,2)<m<5，所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，5)).(2)證明當(dāng)m＝4時(shí)，曲線C的方程為x2＋2y2＝8，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋4，,x2＋2y2＝8，))得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24>0，即k2>eq\f(3,2).設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝eq\f(－16k,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(24,1＋2k2).直線BM的方程為y＋2＝eq\f(y1＋2,x1)x，點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x1,y1＋2)，1)).因?yàn)橹本€AN和直線AG的斜率分別為kAN＝eq\f(y2－2,x2)，kAG＝－