山東省青島市第二中學2025屆高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－62．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確3．如圖是函數的導函數的圖象，下列說法正確的是（）A.函數在上是增函數B.函數在上是減函數C.是函數的極小值點D.是函數的極大值點4．橢圓中以點為中點的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.5．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.6．已知直線和互相平行，則實數的取值為（）A或3 B.C. D.1或7．拋物線的準線方程是，則實數的值為（）A. B.C.8 D.8．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.9．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.10．已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.11．下列關于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④12．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.14．狄利克雷是十九世紀德國杰出的數學家，對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數”.若，根據“狄利克雷函數”可求___________.15．設a為實數，若直線與直線平行，則a值為______.16．已知為數列{}前n項和，若，且），則＝___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積18．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.19．（12分）有三個條件：①數列的任意相鄰兩項均不相等，，且數列為常數列，②，③，，中，從中任選一個，補充在下面橫線上，并回答問題已知數列的前n項和為，______，求數列的通項公式和前n項和20．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的菱形，且，側棱，，M是PC的中點，設，，（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長22．（10分）已知等差數列的前n項和為，若公差，且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D2、B【解析】由向量數量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.3、A【解析】根據圖象，結合導函數的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數的極值點，可知C，D錯誤故選：A4、A【解析】先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設弦的兩端點為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A5、B【解析】根據正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.6、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實數m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結論，可避免討論：已知，，則，7、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.8、A【解析】根據給定幾何體利用空間向量基底結合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A9、A【解析】根據離心率求出的值，再根據漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.10、D【解析】作出正的實際圖形和直觀圖，計算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【點睛】本題考查直觀圖面積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.11、B【解析】根據斜二側直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結論【詳解】由斜二測畫法規則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤.故選：B.12、A【解析】利用空間向量的三角形法則可得，結合平行六面體的性質分析解答【詳解】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得存在實數，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.詳解】P，A，B，C四點共面,則存在實數，使得所以即所以，解得故答案為：14、1【解析】由“狄利克雷函數”解析式，先求出，再根據指數函數的解析式求即可.【詳解】由題設，，則.故答案：115、【解析】根據兩直線平行得到，解方程組即可求出結果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.16、2【解析】第一步找出數列周期，第二步利用周期性求和.【詳解】,,,，，，可知數列{}是周期為4的周期數列，所以故答案為:2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】【小問1詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，D為BC的中點，所以,又,所以平面【小問2詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.18、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離.（3）設（），由可得關于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設存在滿足條件的點M，設（），則，從而.即，即，此方程無實數解，故不存在滿足條件的點M.19、；【解析】選①，由數列為常數列可得，由此可求，根據任意相鄰兩項均不相等可得，由此證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式，利用分組求和法求數列的前n項和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式，利用分組求和法求數列的前n項和為，選③由取與原式相減可得，取可求，由此可得，故，由此證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式，利用分組求和法求數列的前n項和為，【詳解】解：選①：因為，數列為常數列，所以，解得或，又因為數列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數列為2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以為首項，公比為-1的等比數列，所以，即；所以選②：因為，易知，，所以兩式相減可得，即，以下過程與①相同；選③：由，可得，又，時，，所以，因為，所以也滿足上式，所以，即，以下過程與①相同20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當且僅當時，等號成立，故.21、（1）；（2）.【解析】（1）將，代入中化簡即可得到答案；（2）利用，結合向量數量積運算律計算即可.【小問1詳解】是PC的中點，，，，，結合，，，得.【小問2詳解】∵底面ABCD是邊長為1的菱