PAGE課時素養評價九綜合法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.A,B為△ABC的內角,A>B是sinA>sinB的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.若A>B,則a>b.又因為QUOTE=QUOTE,所以sinA>sinB.若sinA>sinB,則由正弦定理得a>b,所以A>B.2.在△ABC中,已知sinAcosA=sinBcosB,則該三角形是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【解析】選D.由sinAcosA=sinBcosB,得QUOTEsin2A=QUOTEsin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,所以A=B或A+B=QUOTE.3.設a>0,b>0且ab-(a+b)≥1,則 ()A.a+b≥2(QUOTE+1) B.a+b≤QUOTE+1C.a+b≤(QUOTE+1)2 D.a+b>2(QUOTE+1)【解析】選A.由條件知a+b≤ab-1≤QUOTE-1,令a+b=t,則t>0且t≤QUOTE-1,解得t≥2+2QUOTE.4.已知a,b為非零實數,則使不等式:QUOTE+QUOTE≤-2成立的一個充分而不必要條件是()A.a·b>0 B.a·b<0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0【解析】選C.因為QUOTE+QUOTE≤-2,所以QUOTE≤-2.因為a2+b2>0,所以ab<0,所以使不等式QUOTE+QUOTE≤-2成立的一個充分而不必要的條件是a>0,b<0.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知x,y∈(0,+∞),a=x4+y4,b=x3y+xy3,則a,b的大小關系是________.

【解析】因為a=x4+y4,b=x3y+xy3,所以a-b=(x4+y4)-(x3y+xy3)=(x3-y3)(x-y)≥0.故a≥b.答案:a≥b6.已知數列{an}的前n項和為Sn,f(x)=QUOTE,an=log2QUOTE,則S2017=________.

【解析】an=log2QUOTE=log2f(n+1)-log2f(n),所以S2017=a1+a2+a3+…+a2017=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-l+[log2f(4)-log2f(3)]+…+[log2f(2018)-log2f(2017)]=log2f=log2QUOTE-log2QUOTE=log2QUOTE+1.答案:log2QUOTE+1三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知a,b,c成等差數列,求證:a2-bc,b2-ac,c2-ab也成等差數列.【證明】因為a,b,c成等差數列,所以2b=a+c,所以4b2=(a+c)2,因為2(b2-ac)-[(a2-bc)+(c2-ab)]=2(b2-ac)-[a2+c2-b(a+c)]=2(b2-ac)-a2-c2+2b2=4b2-(a+c)2=0,所以2(b2-ac)=(a2-bc)+(c2-ab),所以a2-bc,b2-ac,c2-ab是等差數列.8.在△ABC中,若a2=b(b+c),求證:A=2B.【證明】因為a2=b(b+c),所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,cos2B=2cos2B-1=2QUOTE-1=2QUOTE-1=QUOTE=QUOTE,所以cosA=cos2B.又A,B是三角形的內角,所以A=2B.(15分鐘·30分)1.(5分)設x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最大值為()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選C.因為ax=by=3,所以x=loga3,y=logb3,所以QUOTE+QUOTE=log3(ab)≤log3QUOTE=1.2.(5分)下面的幾個不等式:①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.其中恒成立的有 ()A.1個 B.2個C.3個 D.4個【解析】選C.因為(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=QUOTE[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,a(1-a)-QUOTE=-a2+a-QUOTE=-QUOTE≤0,(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d23.(5分)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2QUOTE,a2+b2,2ab中最大的是________.

【解析】由0<a<1,0<b<1,且a≠b,得a+b>2QUOTE,a2+b2>2ab.又a>a2,b>b2,知a+b>a2+b2,從而a+b最大.答案:a+b4.(5分)已知a,b,c,m∈R,且滿意a<QUOTE<b<QUOTE<c,則m的取值范圍為________.

【解析】因為a<QUOTE<b<QUOTE<c,所以QUOTE>0,且QUOTE>0,QUOTE<0,因為a<b<c,所以b-a>0,b-c<0.所以QUOTE>0,QUOTE<0,QUOTE>0,所以m<0或1<m<2.所以m的取值范圍為(-∞,0)∪(1,2).答案:(-∞,0)∪(1,2)5.(10分)已知數列{an}的前n項和Sn滿意Sn=2an-n(n∈N*).(1)證明:數列{an+1}為等比數列.(2)若數列{bn}為等差數列,且b3=a2,b7=a3,求數列QUOTE的前n項和Tn.【解析】(1)由Sn=2an-n,得Sn-1=2an-1-n+1(n≥2),兩式作差可得:an=2an-2an-1-1,即an=2an-1+1(n≥2),所以an+1=2(an-1+1)(n≥2).由Sn=2an-n,取n=1,可得a1=1,則a1+1=2.所以數列{an+1}是以2為首項,以2為公比的等比數列.(2)由(1)知,an+1=2n,所以an=2n-1.b3=a2=3,b7=a3=7.因為數列{bn}為等差數列,所以公差d=QUOTE=QUOTE=1.所以bn=b3+(n-3)×1=n,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,則數列QUOTE的前n項和Tn=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.1.已知α,β為實數,給出下列三個論斷:①αβ>0;②|α+β|>5;③|α|>2QUOTE,|β|>2QUOTE.以其中的兩個論斷為條件,另一個論斷為結論,寫出你認為正確的命題________.(用序號及“?”表示)

【解析】因為αβ>0,|α|>2QUOTE,|β|>2QUOTE,所以|α+β|2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32>25.所以|α+β|>5.故可得①③?②.答案:①③?②2.已知函數f(x)=QUOTE.(1)證明:函數f(x)是偶函數.(2)記A=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019),B=f(1)+fQUOTE+fQUOTE+…+fQUOTE,求A+B的值.(3)若實數x1,x2滿意f(x1)+f(x2)>1,求證:|x1x2|>1.【解析】(1)對隨意實數x,有f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x),故函數f(x)是偶函數.(2)當x≠0時,f(x)+fQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE