專題14數列選擇填空一、單選題1．（2022·江蘇揚州·高三期末）在正項等比數列中，，，記數列的前n項積為，，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·江蘇通州·高三期末）函數y＝[x]廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域，其中[x]為不超過實數x的最大整數，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．51293．（2022·江蘇宿遷·高三期末）記表示不超過實數的最大整數，記，則的值為（）A．5479 B．5485 C．5475 D．54824．（2022·江蘇海安·高三期末）設數列為等比數列，若，，則數列的前項和為（）A． B． C． D．5．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，則a2022＝（）A．－2 B．－1 C．1 D．26．（2022·江蘇常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為．按復利計算，則小李每個月應還（）A．元 B．元C．元 D．元7．（2022·江蘇蘇州·高三期末）記為等差數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．8．（2022·廣東潮州·高三期末）等差數列的前n項和，若的值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022·廣東清遠·高三期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有一個相關的問題：將1到2021這2021個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列的項數為（）A．58 B．59 C．60 D．6110．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.此定理講的是關于整除的問題，現將1到1009這1009個數中，能被2除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則該數列共有（）A．100項 B．101項 C．102項 D．103項11．（2022·湖南常德·高三期末）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數為（參考數據：，）（）A．35 B．42 C．49 D．5612．（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號.設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數.已知數列滿足，且，若數列的前n項和為，則（）A．4950 B．4953 C．4956 D．495913．（2022·湖北武昌·高三期末）已知等差數列，是數列的前n項和，對任意的，均有成立，則不可能的值為（）A．3 B．4 C．5 D．614．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）已知復數數列滿足，，，（為虛數單位），則（）A． B． C． D．15．（2022·湖北·高三期末）已知數列滿足：，則下列說法正確的是（）A．若，則數列是單調遞減數列 B．若，則數列是單調遞增數列C．時， D．時，16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知數列{an}的前n項和為Sn，且2an－Sn＝2，記數列的前n項和為Tn，若對于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實數k的取值范圍為（）A． B．C． D．17．（2022·山東淄博·高三期末）已知等差數列中，，設函數，記，則數列的前項和為（）A． B． C． D．18．（2022·山東青島·高三期末）已知是等差數列的前項和，的公差，是與的等比中項，設，則的前2022項和為（）A． B． C． D．19．（2022·山東淄博·高三期末）己知等比數列的前n項和為，若，，則公比（）A．－2 B．2 C． D．20．（2022·河北深州市中學高三期末）已知正項等比數列的前項和為，，且數列的前項和為，若對于一切正整數都有，則數列的公比的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題21．（2022·江蘇常州·高三期末）已知數列中，，，使的可以是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．202322．（2022·廣東東莞·高三期末）已知函數，則下列結論正確的是（）A． B．C．關于的方程的所有根之和為 D．關于的方程的所有根之積小于23．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知d為等差數列的公差，為其前n項和，若為遞減數列，則下列結論正確的為（）A．數列為遞減數列 B．數列是等差數列C．，，依次成等差數列 D．若，，則24．（2022·廣東佛山·高三期末）數列中，.則下列結論中正確的是（）A．0C．D．25．（2022·湖南婁底·高三期末）已知數列滿足，，為數列的前n項和，則（）．A．B．是關于n的單調遞增數列C．可以取到的任意一個值D．若對一切正整數n都成立，則26．（2022·山東青島·高三期末）在數列中，若，(為常數)，則稱為“等方差數列”，p稱為“公方差”，下列對“等方差數列”的判斷正確的是（）A．是等方差數列B．若數列既是等方差數列，又是等差數列，該數列必為常數列C．正項等方差數列的首項，且是等比數列，則D．若等方差數列的首項為2，公方差為2，若將，…這種順序排列的10個數作為某種密碼，則可以表示512種不同密碼27．（2022·山東日照·高三期末）數列的各項均是正數，，，函數在點處的切線過點，則下列正確的是（）A．B．數列是等比數列C．數列是等比數列D．28．（2022·山東德州·高三期末）定義在區間上的函數，如果對于任意給定的等比數列，仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”.下列函數是“保等比數列函數”的為（）A． B． C． D．29．（2022·河北保定·高三期末）對于正整數是小于或等于的正整數中與互質的數的數目.函數以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如，則（）A．B．數列為等比數列C．數列單調遞增D．數列的前項和恒小于4三、雙空題30．（2022·廣東東莞·高三期末）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現）.例如第一代龍曲線（圖3）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊，所得的折線圖，圖4、圖5依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.，，為第一代龍曲線的頂點，設第代龍曲線的頂點數為，由圖可知，，，則_____；數列的前項和________.31．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．32．（2022·山東濟南·高三期末）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2；第二行得到數列；第三行得到數列，則第5行從左數起第6個數的值為________.用表示第行所有項的乘積，若數列滿足，則數列的通項公式為________.33．（2022·山東臨沂·高三期末）設數列滿足且，則______，數列的通項______．34．（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）我國民間剪紙藝術在剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規格相同，取規格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規格相同.如果把次對折后得到的不同規格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.四、填空題35．（2022·江蘇海門·高三期末）數列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數列，該數列是由意大利數學家菜昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數列”．數學上，該數列可表述為，．對此數列有很多研究成果，如：該數列項的個位數是以60為周期變化的，通項公式等．借助數學家對人類的此項貢獻，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個位數為__________．36．（2022·江蘇揚州·高三期末）數學中有許多猜想，如法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想：質數，直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出F5不是質數．現設（n∈N*），bn＝，則數列{bn}的前21項和為__________．37．（2022·江蘇無錫·高三期末）設等差數列的前項和為，若，則滿足的正整數的值為__________.38．（2022·江蘇蘇州·高三期末）記數列的前項積為，寫出一個同時滿足①②的數列的通項公式：__________．①是遞增的等比數列；②．39．（2022·廣東揭陽·高三期末）在等差數列中，分別是方程的兩個根，則__________.40．（2022·廣東潮州·高三期末）設是首項為2的等比數列，是其前n項和．若，則_________．41．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等差數列的前n項和是，且，則______．42．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知數列滿足，的前項的和記為，則______.43．（2022·湖北江岸·高三期末）數列中，，，使對任意的恒成立的最大k值為___________.44．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）在等差數列中，，當取得最小值時，______.45．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）設函數，定義，其中，，則______.46．（2022·山東萊西·高三期末）記函數的圖像在點處的切線的斜率為，則數列的前n項和為___________.47．（2022·山東泰安·高三期末）設等差數列的前項和為，若，則___________.48．（2022·山東煙臺·高三期末）在等差數列中，，則______．49．（2022·河北唐山·高三期末）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則______．50．（2022·河北張家口·高三期末）已知為等差數列，，，且、、成等比數列，則___________.專題14數列選擇填空一、單選題1．（2022·江蘇揚州·高三期末）在正項等比數列中，，，記數列的前n項積為，，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據給定條件求出數列的通項，再計算，列式解不等式作答.【詳解】設正項等比數列公比為q，由得，于是得，而，解得，因此，，，由得：，從而得：，而，解得，又，則，所以n的最小值為5.故選：C2．（2022·江蘇通州·高三期末）函數y＝[x]廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域，其中[x]為不超過實數x的最大整數，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根據新函數的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯位相減法求和．【詳解】由題意時，，，在上奇數共有個，，，，設，則，相減得：，所以，所以．故選：B．3．（2022·江蘇宿遷·高三期末）記表示不超過實數的最大整數，記，則的值為（）A．5479 B．5485 C．5475 D．5482【答案】B【分析】分別使、等，然后求和即可.【詳解】由題意可知，當時，；當時，；當時，；當時，，所以.故選：B4．（2022·江蘇海安·高三期末）設數列為等比數列，若，，則數列的前項和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求出等比數列的首項和公比，再利用等比數列的求和公式可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，解得，因此，數列的前項和為.故選：C.5．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，則a2022＝（）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】根據遞推式可求出即可歸納出數列是一個周期為3的周期數列，再根據周期性即可求出的值．【詳解】a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，，，，……由此推理可得數列是一個周期為3的周期數列，所以.故選：A6．（2022·江蘇常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為．按復利計算，則小李每個月應還（）A．元 B．元C．元 D．元【答案】A【分析】小李的還款x元每月要產生復利，小李的貸款元每月也要產生復利.這是本題的關鍵所在.【詳解】設每月還元，按復利計算，則有即解之得，故選：A7．（2022·江蘇蘇州·高三期末）記為等差數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數列的前項和公式，將進行化簡,可得，然后利用通項公式將展開，并將代入，化簡可得答案.【詳解】，則，故選：C．8．（2022·廣東潮州·高三期末）等差數列的前n項和，若的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以.故選：B.9．（2022·廣東清遠·高三期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有一個相關的問題：將1到2021這2021個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列的項數為（）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【分析】根據題意先得到數列的首項及公差，再建立不等式即可求解.【詳解】因為由1到2021這2021個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序所構成的數列是一個首項為23，公差為35的等差數列，所以該數列的通項公式為．因為，所以．即該數列的項數為58．故選：A10．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.此定理講的是關于整除的問題，現將1到1009這1009個數中，能被2除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則該數列共有（）A．100項 B．101項 C．102項 D．103項【答案】B【分析】先求出數列的通項公式，然后根據通項公式進行求解項數.【詳解】因為能被2除余1且被5除余1的數就能被10整除余1，所以按從小到大的順序排成一列可得，由，得，故此數列的項數為101.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，熟記公式是求解的關鍵，屬于容易題，側重考查數學運算的核心素養.11．（2022·湖南常德·高三期末）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數為（參考數據：，）（）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數，得到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數為，經過n輪傳染，總共感染人數為：，∵，∴當感染人數增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程．12．（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號.設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數.已知數列滿足，且，若數列的前n項和為，則（）A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C【分析】由題利用累加法可得，進而可得，分類討論的取值，即求.【詳解】由，可得，根據累加法可得所以，故，當時，；當時，；當時，；當時，，因此.故選：C.13．（2022·湖北武昌·高三期末）已知等差數列，是數列的前n項和，對任意的，均有成立，則不可能的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由已知分析可得，公差，討論當時，當，時，與的關系，計算即求得的取值范圍,得出結果.【詳解】等差數列，對任意的，均有成立，即是等差數列的前項和中的最小值，必有，公差，當，此時，、是等差數列的前項和中的最小值，此時，即，則當，此時是等差數列的前項和中的最小值，此時，，即，則,則有，綜合可得：分析選項可得：BCD符合題意；故選：A14．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）已知復數數列滿足，，，（為虛數單位），則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得的值.【詳解】由已知可得，因此，數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故.故選：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知數列滿足：，則下列說法正確的是（）A．若，則數列是單調遞減數列 B．若，則數列是單調遞增數列C．時， D．時，【答案】C【分析】將式子進行變形，構造等差數列，之后構造新函數，進而得到結果.【詳解】由得，即，所以數列是以4為公差的等差數列，函數，A項，，，在上是單調遞增函數，即數列是單調遞增數列，B項，，在上是單調遞減函數，即數列是單調遞減數列，C項，時，可知，，，D項，時，，由C知，，故選：C.16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知數列{an}的前n項和為Sn，且2an－Sn＝2，記數列的前n項和為Tn，若對于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實數k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】依題意，當時，，，兩式相減并化簡得，所以數列是首項為，公比為的等比數列，.，所以，所以的取值范圍是.故選：A17．（2022·山東淄博·高三期末）已知等差數列中，，設函數，記，則數列的前項和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函數的圖象關于點對稱，利用等差中項的性質結合正弦型函數的對稱性質可求得結果.【詳解】，由，可得，當時，，故函數的圖象關于點對稱，由等差中項的性質可得，所以，數列的前項和為.故選：D.18．（2022·山東青島·高三期末）已知是等差數列的前項和，的公差，是與的等比中項，設，則的前2022項和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數列性質得，進而根據題意得，再結合得，故，，再根據裂項求和得的前項和，最后求解的前2022項和即可得答案.【詳解】解：由等差數列的前項和公式得，因為是與的等比中項，所以，即，因為，所以，所以，即，因為，所以所以所以，所以的前項和，所以的前2022項和為故選：C19．（2022·山東淄博·高三期末）己知等比數列的前n項和為，若，，則公比（）A．－2 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用等比數列的前項和公式列出方程組，能求出首項．【詳解】由題得，等比數列的前項和為，，，，解得，．故選：B20．（2022·河北深州市中學高三期末）已知正項等比數列的前項和為，，且數列的前項和為，若對于一切正整數都有，則數列的公比的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先可設，通過排除這種情況，再然后設，通過等比數列的求和公式即可得出、，最后根據、、即可得出結果.【詳解】因為等比數列是正項等比數列，所以，，若，則，，，不滿足題意；若，則，，，，因為，，所以若，則，，，故數列的公比的取值范圍為，故選：B.二、多選題21．（2022·江蘇常州·高三期末）已知數列中，，，使的可以是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【答案】AD【分析】求出數列的前幾項，從而可判斷出數列為周期數列，進而可求出答案.【詳解】因為，，所以，，，，，，，……所以數列為周期數列，且，所以，，，.故選：AD.22．（2022·廣東東莞·高三期末）已知函數，則下列結論正確的是（）A． B．C．關于的方程的所有根之和為 D．關于的方程的所有根之積小于【答案】ACD【分析】利用函數的表達式依次判斷.【詳解】，，A正確；當時，，關于，當時，，（，表示不超過的整數）所以B錯，的根為，，的根為，，的根為，，所有根的和為：，C正確；由，累加可得所以所有根之積小于，D正確.故選:ACD.23．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知d為等差數列的公差，為其前n項和，若為遞減數列，則下列結論正確的為（）A．數列為遞減數列 B．數列是等差數列C．，，依次成等差數列 D．若，，則【答案】BD【分析】根據題意可知等差數列公差，因此可例說明A,C的正誤，利用等差數列前n和公式寫出的表達式，判斷B正確，再根據等差數列的性質，由，可推出，，從而說明D正確.【詳解】由題意可知數列是等差數列，且遞減，則，不妨舉例如：則，這三項不構成遞減數列，故A錯；而,這三項不構成等差數列，說明C錯；對于B，，是關于n的一次函數，因此是等差數列，故B正確；對于D，，則，，則，故，故D正確，故選：BD.24．（2022·廣東佛山·高三期末）數列aA．0C．【答案】ABD【分析】由2an+2?an+1=?a【詳解】因為數列an中，a所以2a則an+1?a所以an+1由累加法得an所以an當n為奇數時，an=2當n為偶數時，an=2所以0≤an≤1，a又a8=2故選：ABD25．（2022·湖南婁底·高三期末）已知數列滿足，，為數列的前n項和，則（）．A．B．是關于n的單調遞增數列C．可以取到的任意一個值D．若對一切正整數n都成立，則【答案】BD【分析】令時，可得，利用與的關系，可求，根據裂項求和可得，從而可判斷選項BCD.【詳解】當時，，即，當時，，所以，當時，，也滿足，所以，所以A不正確；，故，因為關于n為單調遞增，所以B正確；所以，但n只能取正整數，所以不可以取到的任意一個值，所以C不正確；若對一切正整數n都成立，則，所以D正確．故選：BD26．（2022·山東青島·高三期末）在數列中，若，(為常數)，則稱為“等方差數列”，p稱為“公方差”，下列對“等方差數列”的判斷正確的是（）A．是等方差數列B．若數列既是等方差數列，又是等差數列，該數列必為常數列C．正項等方差數列的首項，且是等比數列，則D．若等方差數列的首項為2，公方差為2，若將，…這種順序排列的10個數作為某種密碼，則可以表示512種不同密碼【答案】ABD【分析】選項A.由題意可判斷；選項B.由題意有，分和兩種情況可判斷；選項C.當時可判斷；選項D.由題意，，從而可判斷.【詳解】選項A.若，則，則，所以是等方差數列，故正確.選項B.由數列是等差數列，則由數列既是等方差數列,則，則即當時，數列為常數列當時，，結合，可得，所以數列為常數列故數列為常數列，所以選項B正確.選項C.由題意，則，由等比數列，則，即，解得或當時，，滿足題意，故選項C不正確.選項D.數列是首項為2，公方差為2的等方差數列，則由題意，所以中的每一項，可能取正或負，有2種取法.所以，…有種不同的排法結果；所以選項D正確故選：ABD27．（2022·山東日照·高三期末）數列的各項均是正數，，，函數在點處的切線過點，則下列正確的是（）A．B．數列是等比數列C．數列是等比數列D．【答案】ABD【分析】求出函數在點處的切線方程，可得出，利用等比數列的定義可判斷AB選項；計算得出，可判斷C選項；推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，利用等比數列的通項公式可判斷D選項.【詳解】對函數求導得，故函數在點處的切線方程為，即，由已知可得，對任意的，，則，即，所以，，所以，數列是等比數列，且首項為，公比為，B對；，A對；且，故數列不是等比數列，C錯；由上可知，因為，且，則，即，所以，且，故數列是等比數列，且首項為，公比為，因此，，D對.故選：ABD.28．（2022·山東德州·高三期末）定義在區間上的函數，如果對于任意給定的等比數列，仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”.下列函數是“保等比數列函數”的為（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】直接利用題目中“保等比數列函數”的性質，代入四個選項一一驗證即可.【詳解】設等比數列的公比為.對于A，則，故A是“保等比數列函數”；對于B，則常數，故B不是“保等比數列函數”；對于C，則，故C是“保等比數列函數”；對于D，則常數，故D不是“保等比數列函數”.故選：AC.29．（2022·河北保定·高三期末）對于正整數是小于或等于的正整數中與互質的數的數目.函數以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如，則（）A．B．數列為等比數列C．數列單調遞增D．數列的前項和恒小于4【答案】ABD【分析】根據歐拉函數的定義結合對數的運算判斷A，由歐拉函數定義結合等比數的通項公式判斷B，根據歐拉函數求出判斷C，由歐拉函數求出，再由數列的錯位相減法求和可判斷D.【詳解】因為7為質數，所以與不互質的數為7，14，21，…，，共有個，所以，故A正確；因為與互質的數為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個，所以，則數列為等比數列，故B正確；因為，，，所以數列不是單調遞增數列，故C錯誤；因為，所以.設，則，所以，所以，從而數列的前項和為，故D正確.故選：ABD三、雙空題30．（2022·廣東東莞·高三期末）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現）.例如第一代龍曲線（圖3）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊，所得的折線圖，圖4、圖5依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.，，為第一代龍曲線的頂點，設第代龍曲線的頂點數為，由圖可知，，，則_____；數列的前項和________.【答案】【分析】根據題意并觀察圖形即可得到的值；對已知的數據進行分析，可得，進而可得，再采用裂項相消，即可求出結結果.【詳解】由題意可，觀察可知，；由……易知，所以，所以.故答案為：，.31．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．【答案】【分析】（1）根據題意可知，每次剪去的半圓的面積構成了一個等比數列，由此先求得，從而可求得答案；（2）根據題意只要使得，即可保證，使得成立，因此解不等式即可得答案.【詳解】由題意可知，依次剪去一個更小的半圓，其半徑為前一個半圓半徑的一半，故每次剪去的半圓的面積組成了首項為，公比為的等比數列，第塊紙板是剪了n-1次后得到的，故，故（1）；（2），使得成立，故只需，解得，而，所以，故答案為：；32．（2022·山東濟南·高三期末）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2；第二行得到數列；第三行得到數列，則第5行從左數起第6個數的值為________.用表示第行所有項的乘積，若數列滿足，則數列的通項公式為________.【答案】8【分析】（1）直接寫出第5行的數列，即可解決；（2）首先歸納出，進而可以求得數列的通項公式.【詳解】（1）根據題意，第5行的數列依次為：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2從左數起第6個數的值為8；（2）,,,,故有則故答案為：①8；②33．（2022·山東臨沂·高三期末）設數列滿足且，則______，數列的通項______．【答案】【分析】設，根據題意得到數列是等差數列，求得，得到，利用，結合“疊加法”，即可求得.【詳解】由題意，數列滿足，設，則，且，所以數列是等差數列，所以，即，所以，當時，可得，其中也滿足，所以數列的通項公式為.故答案為：；.34．（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）我國民間剪紙藝術在剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規格相同，取規格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規格相同.如果把次對折后得到的不同規格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.【答案】【分析】首先根據題意得到，再計算即可；根據題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故答案為：；四、填空題35．（2022·江蘇海門·高三期末）數列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數列，該數列是由意大利數學家菜昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數列”．數學上，該數列可表述為，．對此數列有很多研究成果，如：該數列項的個位數是以60為周期變化的，通項公式等．借助數學家對人類的此項貢獻，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個位數為__________．【答案】4【分析】先根據將式子化簡，進而根據該數列項的個位數是以60為周期變化求得答案.【詳解】因為，所以.又該數列項的個位數是以60為周期變化，所以的個位數字相同，的個位數字相同，易知，則，所以的個位數字為4.故答案為：4.36．（2022·江蘇揚州·高三期末）數學中有許多猜想，如法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想：質數，直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出F5不是質數．現設（n∈N*），bn＝，則數列{bn}的前21項和為__________．【答案】【分析】先對進行化簡，再以裂項相消法求數列{bn}的前21項和.【詳解】＝＝＝n＋1，所以bn＝＝＝－，則＝－＋－＋＋－＝－＝．故答案為：37．（2022·江蘇無錫·高三期末）設等差數列的前項和為，若，則滿足的正整數的值為__________.【答案】【分析】根據，可得，同理可得，，根據等差數列求和公式，結合等差數列的性質，計算分析，即可得答案.【詳解】由題意得，；，，，，，，，，.故答案為：2038．（2022·江蘇蘇州·高三期末）記數列的前項積為，寫出一個同時滿足①②的數列的通項公式：__________．①是遞增的等比數列；②．【答案】(答案不唯一)【分析】利用題干條件得到，不妨令，進而求出首項和通項公式.【詳解】，，．不妨設，則，．故答案為：(答案不唯一)39．（2022·廣東揭陽·高三期末）在等差數列中，分別是方程的兩個根，則__________.【答案】8【分析】利用等差數列的性質以及韋達定理得，利用等差數列的性質可得答案.【詳解】