專題12.3全等三角形（滿分120）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，方格紙中△DEF的三個頂點分別在小正方形的頂點上，像這樣的三個頂點都在格點上的三角形有格點三角形，則圖中與△DEF全等的格點三角形有（

）個．A．10 B．11 C．12 D．132．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，已知點D在AC上，點B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A:∠C=4:3．則∠DBC等于（

）

A．36° B．24° C．12° D．15°3．（23-24七年級下·江蘇南通·期末）如圖，△ABC中，∠A=24°，△DEF中，∠F=66°，BC，EF邊上的高相等，若AC=DF，則∠B的度數為（

）A．30° B．42° C．45° D．60°4．（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，正方形ABCD的頂點B在直線l上，將直線l向上平移線段AB的長得到直線m，直線m分別交AD，CD于點E，F，若求△DEF的周長，則只需知道（

）A．AB的長 B．EF的長 C．DE的長 D．DF的長5．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD=8，則CE長為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（23-24八年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，有下列結論：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC．其中正確的結論是（A．①② B．①②③ C．①③ D．②③7．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、AC、BC為邊長在AB同側作三個正方形，點I落在邊GF上，若要求圖中陰影部分的面積之和，則只需知道下列哪個圖形的面積？該圖形是（

A．△BCN B．△ABC C．△BHM D．正方形ABHI8．（23-24八年級上·湖北·周測）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α．點P以每秒2個單位長度的速度，沿著C→A→B路徑運動．同時，點Q以每秒x個單位長度的速度，沿著D→B→A路徑運動，一個點到達終點后另一個點隨即停止運動．它們的運動時間為t秒．①若x=1，則點P運動路程始終是點Q運動路程的2倍；②當P、Q兩點同時到達A點時，x=6；③若α=90°，t=5，x=1時，PC與PQ垂直；以上說法正確的選項為（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①③9．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在△ABC中，BE，CE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列結論：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，點B、E在CF上，且△ABC≌△DEF，若CF=8，BE=4，則CE的長為12．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）在如圖所示的3×3正方形網格中，∠1+∠2+∠3=度．13．（23-24八年級上·四川德陽·期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是．14．（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，過A作AF⊥DE，垂足為F，DE交CB的延長線于點G，連接AG．四邊形DGBA的面積為12，AF=4，則FG的長是．

15．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動點，連接AD，在直線AC右側作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM

評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）1．（6分）（2024·山西晉中·三模）如圖，已知銳角△ABG，AD為BC邊上的高．（1）尺規作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，交AC于點F；（2）在作出符合條件的（1）的圖中，若BE=AC，∠ABC=45°，求證：17．（6分）（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，若________，則AB=CD．請從①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．18．（8分）（22-23八年級上·浙江臺州·階段練習）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．

（1）求∠CAD的度數；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求19．（9分）（23-24八年級上·浙江金華·階段練習）如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，現有一動點P，從點A出發，沿著三角形的邊AB→BC→CA運動，回到點

（1）如圖①，當△ABP的面積等于△ABC面積的一半時，求t的值：（2）如圖②，點D在BC邊上CD=4cm，點E在AC邊上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q與點P同時從點A出發，沿著邊AC→CB→BA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，以A,P,Q為頂點的三角形恰好與20．（10分）（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，動點D，E分別在邊CA和射線BA上，連接BD，CE．（1）如圖1，點E在BA延長線上，且∠ECA=∠DBA．①若AD=2，求BE的長；②判斷BD和CE的關系，并證明；（2）如圖2，CF⊥CA，CF=CA，點E在邊BA上，且AE=CD，當BD+CE的值最小時，求CD的長．21．（12分）（23-24八年級上·北京東城·期中）已知，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=1

（1）為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當∠B=∠ADC=90°時．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明△ABE≌______；再證明了△AEF≌______，即可得出BE,EF,FD之間的數量關系為EF=BE+FD．（2）請你借鑒小王的方法探究圖2，當∠B+∠ADC=180°時，上述結論是否依然成立，如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段EF、BE、FD之間的數量關系為______．（不用證明）22．（12分）（23-24七年級下·江西吉安·階段練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．23．（12分）（23-24八年級上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，得到BE=AD，在△ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得AD的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE+∠CAF=180°，試判斷線段AD與EF的數量關系，并加以證明；（3）如圖3，在△ABC中，D，E在邊BC上，且BD=CE．求證：AB+AC>AD+AE．專題12.3全等三角形（滿分120）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，方格紙中△DEF的三個頂點分別在小正方形的頂點上，像這樣的三個頂點都在格點上的三角形有格點三角形，則圖中與△DEF全等的格點三角形有（

）個．A．10 B．11 C．12 D．13【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的判定，應用SSS判定三角形全等，注意觀察圖形，數形結合是解決本題的關鍵．用SSS判定兩三角形全等．認真觀察圖形可得答案．【解題過程】解：如圖示2×3排列的每6個小正方形上都可找出4個全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△CGR，△KWI，△KRW．共11個.故選：B．2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，已知點D在AC上，點B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A:∠C=4:3．則∠DBC等于（

）

A．36° B．24° C．12° D．15°【思路點撥】本題考查全等三角形的性質和三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．根據全等三角形的性質，∠BDE=∠A=∠BDA，∠E=∠C，又∠ABD=∠BDE+∠E，∠A:∠C=4:3，在△ABD中根據內角和定理求解．【解題過程】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠BDE=∠A=∠BDA，∠E=∠C，∵∠A:∠C=4:3，∴∠A:∠BDA:∠BDE:∠E=4:4:4:3，又∠A+∠BDA+∠BDE+∠E=180°，∴∠C=∠E=36°，∠BDE=∠A=∠BDA=48°，∠CDE=∠A+∠E=48°+36°=84°，∴∠DBC=180°?∠C?∠CDE?∠BDE=180°?36°?84°?48°=12°，故選：C．3．（23-24七年級下·江蘇南通·期末）如圖，△ABC中，∠A=24°，△DEF中，∠F=66°，BC，EF邊上的高相等，若AC=DF，則∠B的度數為（

）A．30° B．42° C．45° D．60°【思路點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質，三角形外角的性質，熟練掌握全等三角形的判定及性質是關鍵．分別過A、D兩點作AG⊥BC，DH⊥EF于點G、H，證明Rt△ACG≌Rt△DFH(【解題過程】解：分別過A、D兩點作AG⊥BC，DH⊥EF于點G、H，∵在Rt△ACG和RtAG=DH∴Rt∴∠∵∠ACG=∠∴∠故選：B．4．（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，正方形ABCD的頂點B在直線l上，將直線l向上平移線段AB的長得到直線m，直線m分別交AD，CD于點E，F，若求△DEF的周長，則只需知道（

）A．AB的長 B．EF的長 C．DE的長 D．DF的長【思路點撥】本題主要考查了平移的性質和全等三角形的性質和判定，同時也利用了三角形周長的定義，掌握平移的性質以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．過B作BH⊥m于H，連接BE，BF，然后利用已知條件可以證明Rt△AEB≌Rt△HEB(【解題過程】解：過B作BH⊥m于H，連接BE，BF，∵直線l向上平移線段AB的長得到直線m，∴AH=AB，而∠A=∠BHE=90°，EB=EB，∴Rt∴AE=EH，同理Rt△FCB≌∴HF=CF，∴△DEF的周長為：DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+CF=AD+CD=2AB．∴求△DEF的周長，則只需知道AB的長．故選：C．5．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD=8，則CE長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．延長BA、CE交于點F，先證明△ABD≌△ACFASA，得到BD=CF=8，再證明△BEF≌△BECASA，得到EF=CE，即可求出【解題過程】解：如圖，延長BA、CE交于點F，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ACF+∠CDE=90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACFAB=AC∴△ABD≌△ACFASA∴BD=CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∠EBF=∠EBCBE=BE∴△BEF≌△BECASA∴EF=CE，∴CE=1故選：C．6．（23-24八年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，有下列結論：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC．其中正確的結論是（A．①② B．①②③ C．①③ D．②③【思路點撥】先由條件OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD就可以得出△COD≌△AOB，就有∠CDO=∠ABO，CD=AB，進而可以得出△AOD≌△COB就有∠ADO=∠CBO，從而得出結論．【解題過程】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=90°．∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，即∠COB=∠AOD．在△AOB和△COD中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD(SAS∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．在△AOD和△COB中AO=CO∠AOD=∠COB∴△AOD≌△COB(SAS∴∠CBO=∠ADO，∴∠ABO?∠CBO=∠CDO?∠ADO，即∠ABC=∠CDA．綜上所述，①②③都是正確的．故選：B．7．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、AC、BC為邊長在AB同側作三個正方形，點I落在邊GF上，若要求圖中陰影部分的面積之和，則只需知道下列哪個圖形的面積？該圖形是（

A．△BCN B．△ABC C．△BHM D．正方形ABHI【思路點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是明△ABC≌△H'BD，Rt△ABC≌Rt△AIG，△MIF≌△NHE．延長DE交BH于H'，根據ASA證明△ABC≌△H'BD，得到AB=BH'，△BDH的面積=△ABC的面積，得到BH=BH'，因此H'和H重合，由HL推出Rt△ABC≌Rt△AIG，得到IG=BC=DE，△AIG的面積=△ABC【解題過程】解：延長DE交BH于H'∵四邊形ABHI，四邊形BDEC是正方形，∴AB=BH=AI，BC=BD，∠ABN=∠CBD=∠D=90°，∴∠ABC=∠HBD，∵BC=BD，∠ACB=∠D=90°，∴△ABC≌△H'BDASA∴AB=BH'，△BDH的面積∵AB=BH，∴BH=BH∴H'∵四邊形ACFG是正方形，∴AC=AG，∠G=∠ACB=∠F=90°，∵AB=AI，∴Rt△ABC≌∴IG=BC=DE，△AIG的面積=△ABC的面積，∵DH=AC=FG，∴FI=EH，∵四邊形CBDE是正方形，∴BC∥DH，∴∠NHE=∠CBN，∵∠F=∠MHN=90°，∠FMI=∠HMB，∴∠MIF=∠CBN，∴∠MIF=∠NHE，∵FI=EH，∠F=∠NEH=90°，∴△MIF≌△NHEASA∴△MIF的面積=△NHE的面積，∴陰影面積的和=△ABC的面積的2倍，∴要求圖中陰影部分的面積之和，只需知道△ABC的面積．故選：B．8．（23-24八年級上·湖北·周測）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α．點P以每秒2個單位長度的速度，沿著C→A→B路徑運動．同時，點Q以每秒x個單位長度的速度，沿著D→B→A路徑運動，一個點到達終點后另一個點隨即停止運動．它們的運動時間為t秒．①若x=1，則點P運動路程始終是點Q運動路程的2倍；②當P、Q兩點同時到達A點時，x=6；③若α=90°，t=5，x=1時，PC與PQ垂直；以上說法正確的選項為（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①③【思路點撥】根據路程等于時間乘以速度求出點P和點Q的路程，即可判斷①；首先求出點P到達點A時的時間，然后根據題意列出算式求解即可判斷②；首先畫出圖形，根據題意求出AC=6，AP=10?6=4，BQ=BD?DQ=8?5=3，PB=AB?AP=10?4=6，然后得到△CAP和△PBQ不全等，進而證明出∠CPQ≠90°，即可判斷③．【解題過程】解：①∵點P以每秒2個單位長度的速度，運動時間為t秒，∴點P運動路程為2t，若x=1，則點Q運動路程為t，∴點P運動路程始終是點Q運動路程的2倍，故①正確；②當P點到達A點時，t=6÷2=3秒，∵P、Q兩點同時到達A點，∴x=10+8③如圖所示，

當t=5，x=1時，點P運動的路程為2×5=10，點Q運動的路程為5×1=5，∵AC=6，DQ=5，∴AP=10?6=4，BQ=BD?DQ=8?5=3，∵AB=10，∴PB=AB?AP=10?4=6，∴AP≠BQ，∴△CAP和△PBQ不全等，∴∠C≠∠QPB，∵∠C+∠CPA=90°，∴∠QPB+∠CPA≠90°，∴∠CPQ≠90°，∴PC與PQ不垂直，故③錯誤；綜上所述，正確的選項為①②．故選：B．9．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，在解答時作輔助線EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q構造出全等三角形是難點，運用全等三角形的性質是關鍵，分析題意，根據正方形的性質可得可求出∠CAE=∠BAG，由“邊角邊”可得△ABG≌△AEC，可判斷①是否正確；設BG、CE相交于點N，由△ABG≌△AEC可得∠ACE=∠AGB，即可判斷②的正確性；根據同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再證明△ABH≌△EAP，根據全等三角形性質即可判斷④是否正確；證明△EPM≌△GQM，根據全等三角形的對應邊相等即可判斷③是否正確，從而完成解答．【解題過程】解：在正方形ABDE和ACFG中，AC=AG，AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，∴△ABG≌△AECSAS∴BG=CE，故①正確；設BG、CE相交于點∵△ABG≌△AEC，∴∠AGB=∠ACE，∴∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°?∠NCF+∠NGF+∠F∴BG⊥CE，故②正確；過點G作GQ⊥AM于Q，過點E作EP⊥HA的延長線于P，如圖所示：∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°?90°=90°，∴∠EAP=∠ABH，在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP，∠AHB=∴△ABH≌△EAPAAS∴∠EAM=∠ABC，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，∴△EPM≌△GQMAAS∴EM=GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結論都正確，共4個．故選：D．10．（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在△ABC中，BE，CE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列結論：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【思路點撥】由角平分線的定義及三角形外角的性質可得∠BDC=12∠BAC，進而判定①；由角平分線的定義及平角的定義可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性質及平行線的性質可判定②；利用角平分線的定義可判定③；由角平分線的性質及判定可得AD為△ABC外角∠MAC【解題過程】解：∵AB∴∠ACD=∠BAC，∠ABC=∠DCF，∵BE平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD=∠DCF=1∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=1∴1∴∠BDC=1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，∵AB∴∠CDB=∠ABD∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正確；∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC∵∠BDC=1∴∠CAB=∠CBA，故③正確；過點D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于G，DH⊥BM于H，如圖，

∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC，∴DN=DG∵BD平分∠ABC，DG⊥AC，DH⊥BM，∴DN=DH∴DG=DH∴AD為△ABC外角∠MAC的平分線，∴∠DAM=∠DAC=∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，∴∠DAC=∠CBD+∠BCE∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE∴∠ADB=∠BCE，∵AB∥∴∠ABC=∠DCF，∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°即∠ADB+∠ABC=90°，故④正確．故選：C．評卷人得分二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，點B、E在CF上，且△ABC≌△DEF，若CF=8，BE=4，則CE的長為【思路點撥】據全等三角形的性質可得BC=EF，進而可得EC=FB，再由CF=8，BE=4，即可求出CE的長．本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握“全等三角形對應邊相等”是解題的關鍵．【解題過程】解：∵△ABC≌∴BC=EF，∴BC?BE=EF?BE，即EC=FB，∵CF=8，BE=4，∴BF+EC=CF?BE，即2CE=8?4=4，∴CE=2，故答案為：2．12．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）在如圖所示的3×3正方形網格中，∠1+∠2+∠3=度．【思路點撥】證明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1=45°,根據網格的特點可知∠3=45°，即可求解．【解題過程】解：如圖，在△ABC與△DEF中，AC=DF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF，∴∠1=∠4，∵FD∥∴∠2=∠FDC，同理可得△DCG≌△CEB，∴EC=ED，∠2=∠BEC，∵∠BEC+∠ECB=90°，∴∠2+∠EBC=90°，∴∠ECD=90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°，即∠4+∠FDC=∠1+∠2=45°，根據網格的特點可知∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°，故答案為：90．13．（23-24八年級上·四川德陽·期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是．【思路點撥】本題考查了角平分線的性質，過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，利用角平分線的性質和三角形的面積可得PK=PL=PH=2，根據△OMN的面積+△PMN的面積=△POM的面積+△PON的面積，進行計算即可求出OM+ON=10，進而得到△OMN的周長，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【解題過程】解：過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，∴PL=PH，PK=PH，∴PL=PK，∵MN=2，△PMN的面積=1∴PH=2，∴PK=PL=2，∵△POM的面積=12OM·PL，△PON∴△OMN的面積+△PMN的面積=△POM的面積+△PON的面積=1∴12∴OM+ON=10，∴△OMN的周長=OM+ON+MN=10+2=12，故答案為：12．14．（23-24八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，過A作AF⊥DE，垂足為F，DE交CB的延長線于點G，連接AG．四邊形DGBA的面積為12，AF=4，則FG的長是．

【思路點撥】過點A作AH⊥BC于H，證△ABC≌△AED，得AF=AH，再證Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt【解題過程】解：過點A作AH⊥BC于H，如圖所示：在△ABC和△ADE中，BC=DE∠C=∠E∴△ABC≌△AED∴AD=AB,又∵AF⊥DE，∴12∴AF=AH，∵AF⊥DE,AH⊥BC，∴∠AFG=∠AHG=90°，在Rt△AFG和RtAG=AG∴Rt△AFG≌同理：Rt△ADF≌∴S四邊形∵Rt△AFG≌∴∵AF=4,∴12解得：FG=3；故答案為：3．15．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動點，連接AD，在直線AC右側作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM

【思路點撥】添加輔助線，構造全等三角形，根據全等三角形的性質求出線段間的數量關系，最后進行分類討論即可求解．【解題過程】解：①如圖，過E作EG⊥AC于點G，

∴∠ACB=∠AGE=∠CGE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠GAE=90°，∴∠ADC=∠GAE，在△ADC和△EAG中，∠ACD=∠AGE∠ADC=∠GAE∴△ADC≌△EAGAAS∴AC=GE，CD=AG，∴△BMC≌△EMGAAS∴GM=MC，設CM=2a，則AC=7a，∴GM=CM=2a，BC=AC=7a，∴AG=CD=AC?GM?CM=7a?2a?2a=3a，∴BD=BC?CD=7a?3a=4a，AM=AG+GM=3a+2a=5a，則S△ADB②如圖，過E作EH⊥AC交AC延長線于點H，

∴∠ACB=∠AHE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠HAE=90°，∴∠ADC=∠HAE，在△ADC和△EAH中，∠ACD=∠AHE∠ADC=∠HAE∴△ADC≌△EAHAAS∴AC=HE，CD=AH，∴AC=CB=HE，在△BMC和△EMH中，∠BMC=∠EMH∠BCM=∠EHM∴△BMC≌△EMHAAS∴HM=MC，設CM=2m，則AC=7m，∴HM=CM=2m，BC=AC=7m，∴AH=CD=AC+GM+CM=7m+2m+2m=11m，∴BD=CD?BC=11m?7m=4m，AM=AC+CM=7m+2m=9m，則S△ADB故答案為：45或4評卷人得分三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）1．（6分）（2024·山西晉中·三模）如圖，已知銳角△ABG，AD為BC邊上的高．（1）尺規作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，交AC于點F；（2）在作出符合條件的（1）的圖中，若BE=AC，∠ABC=45°，求證：【思路點撥】本題主要考查了尺規作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識點成為解題的關鍵．（1）以B為圓心，任意長為半徑畫弧，與AB、BC的兩個交點，再分別以這兩個交點為圓心，大于這兩個交點間的距離的一半為半徑畫弧，得兩弧的交點，以B為端點，過兩弧的交點作射線交AD于點E，交AC于點F即可．（2）通過證明△BED≌△ACD可得∠BDE=∠DAC，再由對頂角相等可得∠BED=∠AEF，然后根據直角三角形的性質及等量代換即可解答．【解題過程】（1）解：如圖，射線AE即為所求．（2）解：∵∠ABC=45°，AD為BC邊上的高，∴∠BAD=∠ABC=45°，∠ADB=∠ADC=90°，∴BD=AD，∵BE=AC，∴Rt△BED≌∴∠DBE=∠DAC，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF+∠DAC=∠BED+∠DBE=90°，即BF⊥AC．17．（6分）（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，若________，則AB=CD．請從①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．【思路點撥】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，再由全等三角形的判定和性質得出AC=BD，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的判定得出△AEC≌△BFD(SAS【解題過程】解：選擇①CE∥DF；∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，∵AE=BF，∴△AEC≌△BFD(AAS∴AC=BD，∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD；選擇②CE=DF；無法證明△AEC≌△BFD，無法得出AB=CD；選擇③∠E=∠F；∵AE∥∴∠A=∠FBD，∵AE=BF，∠E=∠F，∴△AEC≌△BFD(ASA∴AC=BD，∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD；故答案為：①或③（答案不唯一）18．（8分）（22-23八年級上·浙江臺州·階段練習）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．

（1）求∠CAD的度數；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【思路點撥】（1）根據垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性質得到∠BAE=140°，再根據∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度數；（2）過點E作EG⊥AD，EH⊥BC，根據角平分線的性質得到EF=EG，EF=EH，進而得到EG=EH，再根據角平分線的判定定理即可證明結論；（3）根據三角形的面積公式求出EH=3，再根據三角形的面積公式計算，即可求出△ABE的面積．【解題過程】（1）解：∵EF⊥AB，∴∠F=90°，∵∠AEF=50°，∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°，∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=100°，∴∠CAD=∠BAE?∠BAD=140°?100°=40°，（2）證明：過點E作EG⊥AD交AD于點G，EH⊥BC交BC于點H，由（1）可知，∠EAF=∠CAD=40°，∴AE平分∠FAD，∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF=EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF=EH，∴EG=EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；

（3）解：∵S∴∴∵AD=4，CD=8，EG=EH，∴1∴EH=3∴EF=3∵AB=6∴S19．（9分）（23-24八年級上·浙江金華·階段練習）如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，現有一動點P，從點A出發，沿著三角形的邊AB→BC→CA運動，回到點

（1）如圖①，當△ABP的面積等于△ABC面積的一半時，求t的值：（2）如圖②，點D在BC邊上CD=4cm，點E在AC邊上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q與點P同時從點A出發，沿著邊AC→CB→BA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，以A,P,Q為頂點的三角形恰好與【思路點撥】（1）根據三角形中線平分三角形面積可知，當點P為BC的中點時和點P為AC中點時，△ABP的面積等于△ABC面積的一半，據此根據時間=路程÷速度進行求解即可；（2）根據題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質得出點P、Q所走的路程，進而可求出P的運動時間，即Q的運動時間，再利用速度=路程÷時間求解即可．【解題過程】（1）解：當點P在BC上時，由三角形中線平分三角形面積可知，當點P為BC的中點時，△ABP的面積等于△ABC面積的一半，∴此時t=12+同理當點P為AC中點時，△ABP的面積等于△ABC面積的一半，∴此時t=12+16+綜上所述，t的值為10或19；（2）解：設點Q的運動速度為xcm/s，由題意得，DC=4cm,CE=5①當點P在AB上，點Q在AC上，△APQ≌

AP=DE=3cm，∴32解得x=103②當點P在AB上，點Q在AC上，△APQ≌

AP=EC=5cm，∴52解得x=65③當點P在AC上，點Q在AB上，△APQ≌

AP=ED=3，∴點P的路程為AB+BC+PC=12+16+20?3=45cm，點Q的路程為∴452解得：x=8645④當點P在AC上，點Q在AB上，△APQ≌

AP=EC=5cm，∴點P的路程為AB+BC+PC=12+16+20?5=43cm，點Q的路程為∴432解得：x=9043綜上所述，點Q的運動速度為103cm/s或65cm/s或9043cm/s或8620．（10分）（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，動點D，E分別在邊CA和射線BA上，連接BD，CE．（1）如圖1，點E在BA延長線上，且∠ECA=∠DBA．①若AD=2，求BE的長；②判斷BD和CE的關系，并證明；（2）如圖2，CF⊥CA，CF=CA，點E在邊BA上，且AE=CD，當BD+CE的值最小時，求CD的長．【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題關鍵．（1）①利用“ASA”證明△ABD≌△ACE，由全等三角形的性質可得AE=AD=2，然后由BE=AB+AE，即可獲得答案；②延長BD，交CE與P，由全等三角形的性質可得BD=CE，結合∠E+∠ECA=90°，∠ECA=∠DBA，易得∠E+∠DBA=90°，即可證明BD⊥CE；（2）首先證明△CDF≌△AEC，由全等三角形的性質可得FD=CE，易得BD+CE=BD+FD，故當點B、D、F在同一直線上時，BD+FD取最小值，即BD+CE取最小值，再證明△FCD≌△BAD，由全等三角形的性質可得CD=AD，故CD=1【解題過程】（1）解：①∵∠BAC=90°，動點D，E分別在邊CA和射線BA上，∴∠CAE=180°?∠BAC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ECA=∠DBA∠BAD=∠CAE=90°∴△ABD≌△ACEASA∴AE=AD=2，∵AB=AC=6，∴BE=AB+AE=6+2=8；②BD=CE且BD⊥CE，證明如下：如下圖，延長BD，交CE與P，∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∵∠CAE=90°，∴∠E+∠ECA=90°，∵∠ECA=∠DBA，∴∠E+∠DBA=90°，∴∠BPE=180°?∠E+∠DBA即BD⊥CE；（2）∵CF⊥CA，∴∠FCD=90°=∠BAC，在△CDF和△AEC中，CF=AC∠FCD=∠CAE=90°∴△CDF≌△AECSAS∴FD=CE，∴BD+CE=BD+FD，如下圖，當點B、D、F在同一直線上時，BD+FD取最小值，即BD+CE取最小值，∵CF=CA，AB=AC=6，∴CF=AB，在△FCD和△BAD中，∠CDF=∠ADB∠DCF=∠DAB=90°∴△FCD≌△BADAAS∴CD=AD，∵AB=AC=6，∴CD=121．（12分）（23-24八年級上·北京東城·期中）已知，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=1

（1）為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當∠B=∠ADC=90°時．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明△ABE≌______；再證明了△AEF≌______，即可得出BE,EF,FD之間的數量關系為EF=BE+FD．（2）請你借鑒小王的方法探究圖2，當∠B+∠ADC=180°時，上述結論是否依然成立，如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段EF、BE、FD之間的數量關系為______．（不用證明）【思路點撥】（1）根據題意，畫出圖形，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出結論；（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出結論；（3）在BC上取一點G，使BG=DF，先證明△ABG≌△ADF，再證明△AEG≌△AEF，即可得出結論．本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用截長補短法，構造全等三角形．【解題過程】（1）解：補全圖形，如圖：

解題思路為先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出BE,EF,FD之間的數量關系為EF=BE+FD；故答案為：△ADG,△AGF；（2）成立，證明如下：延長FD到點G，使DG=BE，則∠ADF+∠ADG=180°，

∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AG=AE，∠1=∠3，∵∠EAF=1∴∠1+∠2=1∴∠3+∠2=12∠BAD∴∠EAF=∠FAG，又AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=GF，∵GF=DF+DG，∴EF=DF+BE；（3）解：在BC上取一點G，使BG=DF，

∵∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF，又AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∴∠GAE=1又AE=AE，∴△AGE≌△AFE，∴EF=EG=BE?BG=BE?DF．’故答案為：EF=BE?DF．22．（12分）（23-24七年級下·江西吉安·階段練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．【思路點撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質，由條件證明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解題的關鍵．（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°?α，且∠DBA+∠BAD=180°?α，可得∠DBA=∠CAE，結合條件可證明△ABD≌（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結論I是【解題過程】解：（1）如