專題22.9線段、面積與角度問題——二次函數的綜合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，且A（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線在第一象限內的一點，連接PB，PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S（3）如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．在拋物線上是否存在點M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．【思路點撥】（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）求出BC的解析式，設Pm,?m2+2m+3，則Km,?m+3（3）易得FE垂直平分AC，設OF=a，則CF=AF=a+1，勾股定理求出F點坐標，三線合一結合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分兩種情況討論，進行求解即可．【解題過程】（1）解：把A?1,0，C?1?b+c=0c=3，解得：b=2∴y=?x（2）解：∵當y=0時，?x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴設直線BC的解析式為：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=?1∴y=?x+3，設Pm,?m2+2m+3，則PK=?m2+2m+3??m+3=?∴S1=1∴S1∴當m=158時，S1（3）解：∴A?1,0，C0,3，點E為∴E?∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設OF=a，則CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，設FE的解析式為：y=kx+b，E?124k+b=0?解得：k=?1∴y=?1聯立y=?x解得x1=7+∴M7?109取點E關于x軸的對稱點，連接交拋物線于點M，則：∠MFA=∠EFA=∠OCA，?12,?3設的解析式為：y=k1則：4k+b=0?解得：k=1∴y=1聯立y=?x解得x1=5+∴M5+181綜上，點M的坐標為7+1096,17?10918或學霸必刷學霸必刷1．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出線段BC所在直線的函數表達式；（2）點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交BC于點N求線段PN長的最大值．2．（24-25九年級上·湖北荊門·階段練習）如圖，拋物線y=?12x2+32x+2交x軸于A、（1）求四邊形ABDC的面積；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PC?PB的值最大，若存在，試求出點P的坐標．3．（24-25九年級上·廣西南寧·開學考試）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A1,0，B?5,0兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標為m，拋物線上點C（1）求拋物線的解析式；（2）若點P位于線段BC上方，求△PBC面積的最大值；（3）若圖象G的最大值與最小值的差為4，求m的取值范圍．4．（23-24九年級上·寧夏石嘴山·期中）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=?x2+bx+c經過點B、C，與x軸另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=∠OCB5．（24-25九年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點，直線l：y=kx+b與拋物線交于（1）求點C的坐標和直線l的解析式；（2）點P是y軸上的一點，求滿足PB+PC的值為最小的點P坐標；（3）點Q是直線l下方拋物線上一動點，動點Q運動到什么位置時，△AQC的面積最大?求出此時Q點坐標和△AQC的最大面積．6．（24-25九年級上·重慶·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?12x2+12x+3與x軸正半軸交于點B，與（1）求△ABC的面積；（2）若點P是拋物線對稱軸上一點，且S△ABC=2S7．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3過點A(?1，0)，B（3，0），與y（1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內的拋物線y=ax2+bx+3圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD=2，當△PCD（3）拋物線y=ax2+bx+3的頂點為Q，直線y=kx與拋物線交于點E，F，M是線段EF的中點，當0<k<28．（23-24九年級上·廣東湛江·期中）如圖，二次函數y=x2+bx+c圖象的對稱軸為直線x=4，圖象過點A、B、C，B點的坐標為6,0（1）求二次函數的表達式；（2）當點M位于x軸下方的拋物線上時，過點M作x軸的垂線，交BC于點Q，求線段MQ的最大值．（3）在（2）的條件下，當點M位于x軸下方的拋物線上時，求△CBM的最大面積．9．（23-24九年級下·安徽阜陽·期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B3,0，與y軸交于點C，且

（1）求拋物線的解析式；（2）若DE是該拋物線的對稱軸，點D是頂點，點P是第一象限內對稱軸右側拋物線上的一個動點．（?。┤鐖D2，連接BP，若△PCB的面積為3，求點P的坐標；（ⅱ）如圖3，連接BC，與DE交于點G，連接PC，PG，PD，求2S

10．（24-25九年級上·安徽六安·階段練習）如圖1，拋物線y=ax2+bx?3經過A?1,0，B3,0兩點，與y

（1）求拋物線的函數表達式；（2）設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點P作PM⊥x軸于點M，連接AC，AP，AP與y軸交于點N．當∠MPA=2∠PAC時，求直線AP的函數表達式及點P的坐標．11．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一拋物線y=x24，直線y=kx（k≠0）與拋物線相交于點A，直線y=?（1）當k=2時，求A，B兩點坐標．（2）在（1）的條件下，第一象限一點P在拋物線上，當SΔPAB=（3）試探究直線AB是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．12．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），C，D兩點的坐標分別為?4,5（1）則點A坐標為；點B坐標為；（2）若二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象經過點C，點P是二次函數圖象上x（3）若二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD13．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點A，點B6,0（點A位于點B左側），與（1）求b，（2）連接BC，點P是直線BC下方拋物線上的一點，連接AC，（?。┤鐖D2，AP與BC交于點M，若S△ACM?S（ⅱ）如圖3，過點P作PQ∥AC交BC于點Q，連接AQ，求S△PAQ14．（23-24九年級下·山東濟寧·開學考試）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，B2,0兩點，直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若P是拋物線上的點且在直線l的下方，連接PA，PD，當△PAD的面積最大時，求出點P的坐標及該面積的最大值；（3）若Q是y軸上的點，且∠ADQ=45°，請直接寫出點Q的坐標15．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知拋物線y＝?x2+bx+c過點A?72,（1）求該拋物線的解析式；（2）點M是x軸上的一個動點，當MA+MC的值最小時，求點M的坐標；（3）如圖2，連接AB，在AB上方的拋物線上是否存在一動點D，使△ABD面積取得最大值，若存在，求出D點坐標，并求△ABD的最大面積．16．（2023·山東東營·二模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點，與y（1）求拋物線的解析式．（2）點P是第三象限拋物線上一點，當△BCP的面積為12時，求P點坐標．（3）拋物線上是否存在點Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．17．（23-24九年級上·全國·開學考試）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于點A，B（A在y軸右側，B在y軸左側），C為拋物線與y軸的交點，已知OC=3（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得PO+PC的值最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低點，點Q是直線AC下方的拋物線上的一個動點，求△ACQ18．（23-24九年級下·重慶南岸·開學考試）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=?2，點B的坐標為（1）求拋物線的解析式；（2）動點P和動點Q同時出發，點P從點A以每秒2個單位長度的速度沿AC運動到點C，點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿CO運動到點O，連接PQ，當點P到達點C時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P（3）將原拋物線沿射線CA方向平移22個單位長度，在平移后的拋物線的對稱軸上存在點G，使得∠ACG=15°，請寫出所有符合條件的點G19．（24-25九年級上·湖南長沙·開學考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(?1,0)與點B(3,0)，與y軸交于點C(0,3)（1）求拋物線的解析式；（2）在點P的運動過程中，是否存在點P，使∠CAP=45°？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）當點P在第一象限時，連接BP，設△ACP的面積為S1，△BCP的面積為S2，求20．（24-25九年級上·重慶·開學考試）如圖1，已知拋物線y=12x2+x?4的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B（1）拋物線頂點為D，連接AD、AC、CD，求點D到AC的距離；（2）如圖2，在y軸正半軸有一點E滿足OC=2OE，點P為直線AC下方拋物線上的一個動點，連接PA、AE，過點E作EF∥AP交x軸于點F，M為y軸上一個動點，N為x軸上一個動點，平面內有一點G?72,?58，連接PM、MN、（3）如圖3，連接AC、BC，將拋物線沿著射線BC平移25得到新的拋物線y'，y'上是否存在一點R，使得∠RAC+∠BCO=45°專題22.9線段、面積與角度問題——二次函數的綜合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，且A（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線在第一象限內的一點，連接PB，PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S（3）如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．在拋物線上是否存在點M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．【思路點撥】（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）求出BC的解析式，設Pm,?m2+2m+3，則Km,?m+3（3）易得FE垂直平分AC，設OF=a，則CF=AF=a+1，勾股定理求出F點坐標，三線合一結合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分兩種情況討論，進行求解即可．【解題過程】（1）解：把A?1,0，C?1?b+c=0c=3，解得：b=2∴y=?x（2）解：∵當y=0時，?x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴設直線BC的解析式為：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=?1∴y=?x+3，設Pm,?m2+2m+3，則PK=?m2+2m+3??m+3=?∴S1=1∴S1∴當m=158時，S1（3）解：∴A?1,0，C0,3，點E為∴E?∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設OF=a，則CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，設FE的解析式為：y=kx+b，E?124k+b=0?解得：k=?1∴y=?1聯立y=?x解得x1=7+∴M7?109取點E關于x軸的對稱點，連接交拋物線于點M，則：∠MFA=∠EFA=∠OCA，?12,?3設的解析式為：y=k1則：4k+b=0?解得：k=1∴y=1聯立y=?x解得x1=5+∴M5+181綜上，點M的坐標為7+1096,17?10918或學霸必刷學霸必刷1．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出線段BC所在直線的函數表達式；（2）點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交BC于點N求線段PN長的最大值．【思路點撥】（1）分別令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三點的坐標，再利用待定系數法即可求出線段BC所在直線的函數表達式；（2）根據題意，結合（1）線段BC所在直線的函數表達式，設點P的坐標為m,?13m2+43【解題過程】（1）解：在y=?1令x=0，則y=4，∴點C的坐標為0,4，令y=0，則?1即x2解得：x=?2或x=6，∵點A在點B的左側，∴點A的坐標為?2,0，點B的坐標為6,0，設線段BC所在直線的函數表達式為y=kx+b，將點B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=?2∴線段BC所在直線的函數表達式為y=?2（2）解：∵點P在拋物線y=?1∴設點P的坐標為m,?1∵PM⊥x軸交BC于點N，∴點N的坐標為m,?2∵點P在線段BC上方的拋物線上，∴0<m<6且PN=PM?NM=?1∵?13<0∴當m=3時，PN有最大值，線段PN長的最大值為3．2．（24-25九年級上·湖北荊門·階段練習）如圖，拋物線y=?12x2+32x+2交x軸于A、（1）求四邊形ABDC的面積；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PC?PB的值最大，若存在，試求出點P的坐標．【思路點撥】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，求一次函數的解析式，軸對稱的性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．（1）分別求得拋物線與x軸和y軸的交點，從而得出OA,OC,OB的值，進一步得出結果；（2）連接PA，PB，則|PC?PB|=PC?PA≤AC，過當A、C、P三點共線時|PC?PB|最大，據此求出直線【解題過程】（1）解：如圖，連接OD，當x=2時，y=?1∴D(2,3)，由?12x∴OA=1,OB=4，當x=0時，y=2，∴OC=2，∴S四邊形ABDC==1（2）解：如圖，拋物線的對稱軸為：直線x=?1+4連接PB，PA，根據拋物線對稱性可得：PA=PB，則PC?PB=故當A、P、C三點共線，|PC?PB|的值最大，最大值即為AC的長，設直線CP的解析式為：y=kx+b，∴b=2∴b=2∴y=2x+2，當x=32時，∴P33．（24-25九年級上·廣西南寧·開學考試）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A1,0，B?5,0兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標為m，拋物線上點C（1）求拋物線的解析式；（2）若點P位于線段BC上方，求△PBC面積的最大值；（3）若圖象G的最大值與最小值的差為4，求m的取值范圍．【思路點撥】本題考查了待定系數法求函數解析式，坐標與圖形，二次函數幾何綜合，二次函數的最值，以及二次函數圖象與性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識并靈活運用．（1）利用待定系數法求解，即可解題；（2）根據二次函數得到點C，設直線BC的解析式為y=kx+5，待定系數法求出直線BC的解析式，過點P作PD∥y軸，交BC于點D，利用坐標和三角形面積公式求解，得到（3）根據圖象G的最大值與最小值的差為4，分情況討論①當點P在點C上方時，②當點P在點C下方時，結合二次函數的最值，以及二次函數對稱性求解，即可解題．【解題過程】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1+b+c=0?25?5b+c=0解得b=?4c=5∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：∵拋物線的解析式為y=?x2?4x+5，與y∴C0,5設直線BC的解析式為y=kx+5，∴?5k+5=0，解得k=1，∴直線BC的解析式為y=x+5，∵點P位于線段BC上方，點P的橫坐標為m，∴Pm,?過點P作PD∥y軸，交BC于點∴Dm,m+5∴S△PBC∵?5∴△PBC面積的最大值為1258（3）解：∵圖象G的最大值與最小值的差為4，①當點P在點C上方時，∵y=?x2?4x+5=??m解得m=?4或0（舍去），∴?4≤m≤?2，②當點P在點C下方時，此時點P在點C左側，不滿足題意，∴點P在點C右側，∴5??解得m=?2+22或m=?2?2綜上所述，m的取值范圍是?4≤m≤?2或m=?2+224．（23-24九年級上·寧夏石嘴山·期中）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=?x2+bx+c經過點B、C，與x軸另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=∠OCB【思路點撥】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、等腰三角形性質、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（1）直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，3)，將點B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；（2）如圖1，作點C關于x軸的對稱點C'，連接CD'交x軸于點E，則此時EC+ED為最小，即可求解；（3）分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解．【解題過程】（1）直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，3)，將點B、C的坐標代入二次函數表達式得：?9+3b+c=0c=3，解得：b=2故函數的表達式為：y=?x令y=0，則x=?1或3，故點A(?1，0)；（2）如圖1中，作點C關于x軸的對稱點C'，連接CD'交x軸于點E，則此時EC+ED為最小，函數頂點D坐標為(1，4)，點C'(0，?3)，設直線C'D的解析式為y=kx+a，將C'、D的坐標代入得：k+a=4a=?3，解得k=7直線C'D的表達式為：y=7x?3，當y=0時，x=3故點E(3則EC+ED的最小值為DC'=1（3）①當點P在x軸上方時，如圖2中，∵OB=OC=3，則∠OCB=45°=過點B作BH⊥AP于點H，設PH=BH=m，則PB=PA=2由勾股定理得：AB2=AH解得：m2則PB2則yP②當點P在x軸下方時，同理可得yP故點P的坐標為(1，2+225．（24-25九年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點，直線l：y=kx+b與拋物線交于（1）求點C的坐標和直線l的解析式；（2）點P是y軸上的一點，求滿足PB+PC的值為最小的點P坐標；（3）點Q是直線l下方拋物線上一動點，動點Q運動到什么位置時，△AQC的面積最大?求出此時Q點坐標和△AQC的最大面積．【思路點撥】（1）由C點橫坐標可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線l的函數表達式；（2）作點B(3,0)關于y軸的對稱點B'(?3,0)，連接B'C交y軸于點P，此時（3）過Q作QM∥y軸交AC于M，用m表示出M和Q的坐標，從而可表示出QM的長，表示出△AQC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時的【解題過程】（1）解：把x=2代入拋物線解析式y=x2?∴C(2,?3)，把A、C坐標代入直線l：y=kx+b可得，0=k+b?3=2k+b解得k=?1b=?1∴直線l解析式為y=?x?1；（2）解：作點B(3,0)關于y軸的對稱點B'(?3,0)，連接B'C交y軸于點P，此時設直線B'C的解析式為把B'(?3,0)、C(2,?3)坐標代入可得，解得a=?3∴直線B'C解析式為令x=0，則y=?9∴點P坐標為0,?9（3）解：過Q作QM∥y軸交AC于設Q(m,m2?2m?3)∴QM=(?m?1)?(m∴==?3∵?3∴當m=12時，△AQC的面積最大，最大值為此時Q16．（24-25九年級上·重慶·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?12x2+12x+3與x軸正半軸交于點B，與（1）求△ABC的面積；（2）若點P是拋物線對稱軸上一點，且S△ABC=2S【思路點撥】（1）先求出點B、C坐標，再利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而求出點D坐標，最后利用S△ABC（2）由y=?12x2+12x+3可得拋物線的對稱軸為直線x=12，利用待定系數法可得直線BC的解析式為y=?x+3，設直線BC與拋物線對稱軸相交于點M，點本題考查了二次函數與坐標軸的交點問題，待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【解題過程】（1）解：把y=0代入y=?12x解得x1=?2，∴B3,0把x=0代入y=?12x∴C0,3設直線AB的解析式為y=kx+b，直線AB與y軸相交于點D，把A?1,2、B3,02=?k+b0=3k+b解得k=?1∴直線AB的解析式為y=?1把x=0代入y=?12x+∴D0,∴CD=3?3∴S△ABC（2）解：由y=?12x設直線BC的解析式為y=mx+n，把B3,0、C0=3m+n3=n解得m=?1n=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，設直線BC與拋物線對稱軸相交于點M，點P坐標為12把x=12代入y=?x+3得，∴M1∴PM=5∴S△BCP∵S△ABC∴2S∴2×3即52解得p=32或∴點P的坐標為12,37．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3過點A(?1，0)，B（3，0），與y（1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內的拋物線y=ax2+bx+3圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD=2，當△PCD（3）拋物線y=ax2+bx+3的頂點為Q，直線y=kx與拋物線交于點E，F，M是線段EF的中點，當0<k<2【思路點撥】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵.（1）依據題意，把點A?10,B(3,0)代入y=a（2）依據題意，先求出點C和點D的坐標，然后連接OP，設點P的坐標為(m,?m2+2m+3)，根據S△PCD=S（3）依據題意可得點Q的坐標是(1，4)，又把y=?x2+2x+3與y=kx聯立方程組，得x2+k?2x?3=0,可得xM=x【解題過程】（1）由題意,把點.A?10得a?b+3=09a+3b+3=0∴a=?1∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3.（2）解：當x=0時，y=3，∴點C的坐標為(0,3∵x軸正半軸上有一點D，且OD=2，∴點D的坐標為(2,0連接OP，設點P的坐標為(m,?m2+2m+3)，則S△PCD解得：m1=3∴點P的坐標為(32,（3）解：∵點C的坐標是(0,3∴OC=3.又∵y=?x2+2x+3=?∴點Q的坐標是(1,4把y=?x2+2x+3與y=kx聯立方程組，得x2+∴x如圖,連接OQ.S四邊形MCQB=S△OCQ+∵3當k=12時，S8．（23-24九年級上·廣東湛江·期中）如圖，二次函數y=x2+bx+c圖象的對稱軸為直線x=4，圖象過點A、B、C，B點的坐標為6,0（1）求二次函數的表達式；（2）當點M位于x軸下方的拋物線上時，過點M作x軸的垂線，交BC于點Q，求線段MQ的最大值．（3）在（2）的條件下，當點M位于x軸下方的拋物線上時，求△CBM的最大面積．【思路點撥】（1）根據拋物線對稱軸，求得b=?8，再將點B6,0代入二次函數y=x2（2）先求出點C坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，設Ma,a2?8a+12，則Qa,?2a+12（3）先求出點A的坐標，令Ma,a2?8a+12，進而得到a的取值范圍，利用待定系數法求出直線CM的解析式，得到N的坐標，從而得到BN的長，由S△CBM=S【解題過程】（1）解：∵二次函數y=x2+bx+c∴?b∴b=?8，將點B6,0代入二次函數y=x2解得：c=12，∴二次函數的表達式為y=x（2）解：∵二次函數y=x2?8x+12與y令x=0，則y=12，∴C0,12設直線BC的解析式為y=kx+m，則m=126k+m=0，解得：k=?2∴直線BC的解析式為y=?2x+12，∵MQ⊥x軸，∴設Ma,a2∴MQ=?2a+12?a∴當a=3時，MQ有最大值，最大值為9；（3）解：∵二次函數y=x2?8x+12與x軸交于點A令y=0，則x2解得：x1=2，∴A2,0，B如圖，令CM與x軸的交點為N，令Ma,∵點M位于x軸下方的拋物線上，∴2<a<6，設直線CM的解析式為y=k則m1=12a∴直線BC的解析式為y=a?8令y=0，則a?8x+12=0，解得：x=∴N12∴ON=12∴BN=6?12∵S∴==3×=24a?3=?3=?3a?3∴當a=3時，S△CBM有最大值，最大值為279．（23-24九年級下·安徽阜陽·期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B3,0，與y軸交于點C，且

（1）求拋物線的解析式；（2）若DE是該拋物線的對稱軸，點D是頂點，點P是第一象限內對稱軸右側拋物線上的一個動點．（?。┤鐖D2，連接BP，若△PCB的面積為3，求點P的坐標；（ⅱ）如圖3，連接BC，與DE交于點G，連接PC，PG，PD，求2S【思路點撥】（1）由拋物線的對稱軸為直線x=1和點B3,0，得點A?1,0．由點B3,0，OB=OC（2）（?。┯牲cB3,0，C0,3，得直線BC的解析式,過點P作PF∥y軸交BC于點F．設點Pm,?m2+2m+3，則點Fm,?m+3，得關于m的方程，解出即可；（ⅱ）由拋物線y=?x2+2x+3求出頂點D的坐標為1,4．由（?。┲本€BC的解析式為y=?x+3，則點G1,2．設直線CP交DE于點F，設點Pm,?m【解題過程】（1）解：由拋物線的對稱軸為直線x=1和點B3,0，得點A由點B3,0，OB=OC，得點C由拋物線經過點A，B，得y=ax+1把點C0,3代入，得3=a解得a=?1，∴拋物線的解析式為y=?x+1（2）解：（ⅰ）由點B3,0，C0,3，得直線BC的解析式為如圖1，過點P作PF∥y軸交BC于點F．設點Pm,?m2∴PF=?m由題意，得S△BCP整理，得m2解得m=1（舍去）或m=2，則?m∴點P的坐標為2,3．

（ⅱ）由拋物線y=?x2+2x+3知，頂點D由（ⅰ）知直線BC的解析式為y=?x+3，則點G1,2如圖2，設直線CP交DE于點F，設點Pm,?由直線PC經過點C0,3設直線PC的解析式為y=kx+3，把點Pm,?得?m解得m=0（舍去）或m=?k+2，即k=?m+2，∴直線PC的解析式為y=?m+2當x=1時，y=?m+2x+3=5?m，即∴2=2×==?m?2即2S△PCG10．（24-25九年級上·安徽六安·階段練習）如圖1，拋物線y=ax2+bx?3經過A?1,0，B3,0兩點，與y

（1）求拋物線的函數表達式；（2）設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點P作PM⊥x軸于點M，連接AC，AP，AP與y軸交于點N．當∠MPA=2∠PAC時，求直線AP的函數表達式及點P的坐標．【思路點撥】（1）將A?1,0，B3,0代入（2）過點P作PM⊥x軸于點N，P為第四象限內拋物線上一點，設點Pm,m2?2m?30<m<3，則PN=?m2（3）由題意得到∠NAC=∠NCA，則AN=CN，設N(0,n)，由1+n2=(n+3)2，求出N0,?4【解題過程】（1）解：將A?1,0，B3,0代入∴a?b?3=09a+3b?3=0∴a=1b=?2∴y=x（2）解：過點P作PN⊥x軸于點N，如圖所示，

令x=0，則y=∴C0,?3∴OC=3，∵P為第四象限內拋物線上一點，設點Pm,∴PN=?m2?2m?3∵B(3,0)，∴OB=3，∴BN=3?m，∴S====?=?3∵?∴當m=32時，S有最大值，（3）解：設AP交y軸于點N，如圖，

∵ON⊥x軸，PM⊥x軸，∴ON∥∴∠ANO=∠APM，∵∠MPA=2∠PAC，∴∠ANO=2∠PAC，∴∠NAC=∠NCA，∴AN=CN，設N(0,n)，則AN=CN=n??3∴1+n∴n=?4∴N0,?設直線AP的解析式為y=kx+b，把N0,?43b=?4∴k=?4∴y=?4令?4解得：x1=?1，∴點P的橫坐標為53把x=53代入y=?4∴點P的坐標為5311．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一拋物線y=x24，直線y=kx（k≠0）與拋物線相交于點A，直線y=?（1）當k=2時，求A，B兩點坐標．（2）在（1）的條件下，第一象限一點P在拋物線上，當SΔPAB=（3）試探究直線AB是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）當k=2時，聯立y=x24和y=2x，可求出A點坐標，聯立y=x2（2）先求出直線AB的解析式為y=12x+12．設P(m,m24)，過P點作PC⊥x軸，交直線AB于E點，則E(（3）由x24=kx得A(4k,4k2)，由x24=?3kx得【解題過程】（1）解：當k=2時，聯立y=x得x1=0y∴A(8,16)．聯立y=x得x1=0y∴B(?6,9)．（2）解：如圖，過P點作PC⊥x軸，交直線AB于E點，設直線AB的表達式為y=kx+b，則8k+b=16?6k+b=9，解得k=∴AB：y=1設P(m,m24∴PE=m∵==7∴m∴m∴m①當m2解得m1=1+51②當m2解得m3=1+47∴P點的橫坐標為1+51或1+（3）解：由x24=kx，得x∴A(4k,4k由x24=?3k∴B?設直線AB的解析式為y=mx+n，則4km+n=4k解得m=k?3k，∴直線AB的解析式為y=k?∴直線AB經過定點0,12．12．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），C，D兩點的坐標分別為?4,5（1）則點A坐標為；點B坐標為；（2）若二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象經過點C，點P是二次函數圖象上x（3）若二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD【思路點撥】（1）在y=ax2+2ax?3a中，令y=0得0=ax2（2）由二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象經過點C?4,5，求出a=54，設（3）分①當a>0時和②當a<0時兩種情況分析即可；本題考查了二次函數的圖象與性質，解一元二次方程，二次函數圖象與線段的交點，二次函數最值問題，解題的關鍵是掌握知識點的應用及分類討論思想和數形結合思想的應用．【解題過程】（1）在y=ax2+2ax?3a中，令y=0得0=ax解得x=?3或x=1，∴A?3,0故答案為：?3,0，（2）∵二次函數y=ax2+2ax?3a∴16a+2a×?4?3a=5，解得：∴二次函數解析式為y=5設Pm,由（1）得A?3,0∴AB=4，∵點P是二次函數圖象上x軸下方一動點，∴△ABP面積為12∵?5∴當m=?1時，△ABP面積有最大值，為10；（3）∵y=ax∴拋物線y=ax2+2ax?3a的對稱軸為直線x=?1，頂點坐標為?1,?4a①當a>0時，?3a<0，?4a<0，∴拋物線y=ax2+2ax?3a與y軸交點在D如圖：在y=ax2+2ax?3a中，令x=?4∵C?4∴5a=5，即a=1時拋物線過點C，由圖可知，當a≥1時，二次函數y=ax2+2ax?3a②當a<0時，若頂點在線段CD時，如圖：此時?4a=5解得a=?5若頂點在直線y=5上方，即?4a>5時，如圖：∵二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD只有一個交點，C∴5a<5?3a>5解得a<?5此時滿足?4a>5，∴a<?5綜上所述，二次函數y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD只有一個交點，a的取值范圍是a≥1或a=?13．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點A，點B6,0（點A位于點B左側），與（1）求b，（2）連接BC，點P是直線BC下方拋物線上的一點，連接AC，（ⅰ）如圖2，AP與BC交于點M，若S△ACM?S（ⅱ）如圖3，過點P作PQ∥AC交BC于點Q，連接AQ，求S△PAQ【思路點撥】本題主要考查了二次函數與幾何圖形的綜合應用，主要涉及了求二次函數解析式、利用面積的轉化求三角形面積、在坐標系中求線段的長度，解題的關鍵是正確設出點的坐標，表示出線段長度．（1）由B點坐標和OB=OC可以求出c的值，再將點B6,0代入拋物線中即可求出b（2）（ⅰ）設點P的坐標為t,12t2?2t?6，再將S△ACM?S△PBM轉化為S△ABC?S△ABP即可求出結果；（ⅱ）連接PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，由PQ【解題過程】（1）解：∵B6,0∴OB=OC=6，∵點C位于原點下方，∴C0,?6∴c=?6，把點B6,0代入拋物線y=得0=1解得b=?2，故b，c的值分別為（2）（?。┯桑?）可知拋物線的解析式為y=1當y=0時，12解得x1∴A?2,0∴AB=6??2設點P的坐標為t,12t則S△ACM整理，得t2解得t1=?22當t=22+2時，∴此時點P的坐標為22（ⅱ）如圖，連接PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，∵PQ∥∴S∴S設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B6,0和點C0=6k+b?6=b∴直線BC的解析式為y=x?6，設點P的坐標為m,12m∴PE=m?6∴S∵?3∴當m=3時，S△PAQ+S14．（23-24九年級下·山東濟寧·開學考試）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，B2,0兩點，直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若P是拋物線上的點且在直線l的下方，連接PA，PD，當△PAD的面積最大時，求出點P的坐標及該面積的最大值；（3）若Q是y軸上的點，且∠ADQ=45°，請直接寫出點Q的坐標【思路點撥】本題主要考查二次函數和一次函數的結合、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形等知識點，求得二次函數的性質和一次函數解析式是解題的關鍵．（1）利用待定系數法將點A、點B和點D代入y=ax（2）利用待定系數法求得直線AD的解析式為y=x+4，過點P作PH⊥x軸交AD于點H，設點Pn,n2+2n?8，則點（3）根據直線AD的解析式為y=x+4，求得點D0,4，則∠OAC=∠ACO=45°，分類討論①若點Q位于直線AD上面；②若點Q位于直線AD【解題過程】（1）解：∵二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，∴0=16a?4b+c0=4a+2b+c7=9a+3b+c，解得則二次函數y=x（2）解：設直線AD的解析式為y=kx+bk≠0則0=?4k+b7=3k+b，解得k=1∴直線AD的解析式為y=x+4，過點P作PH⊥x軸交AD于點H，如圖，設點Pn,n2∴S=?=?則當n=?12時，點P?12（3）解：①若點Q位于直線AD上面，如圖：過點D作DQ⊥y軸交于點Q,∵∠ADQ=45°，∴∠DCQ=∠ADQ=45°，∴CQ=DQ,∵D3,7，∴CQ=DQ=3,∵直線AD的解析式為y=x+4，∴點C0,4，即OC=4∵A?4,0∴OA=4,∴AO=CO，根據題意設點Q0,m，則m=OC+CQ=4+3=7∴Q0,7②若點Q位于直線AD下面，∵∠ADQ=45°，∠OAC=45°，∴點Q位于與y軸平行的直線上，與題意矛盾，不符合題意．綜上，點Q的坐標Q0,715．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知拋物線y＝?x2+bx+c過點A?72,（1）求該拋物線的解析式；（2）點M是x軸上的一個動點，當MA+MC的值最小時，求點M的坐標；（3）如圖2，連接AB，在AB上方的拋物線上是否存在一動點D，使△ABD面積取得最大值，若存在，求出D點坐標，并求△ABD的最大面積．【思路點撥】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求得直線A'C的解析式為y=2514x+4，又兩點之間線段最短，得此時MA+MC取最小值，最小值為線段A（3）過點D作DE⊥x軸，交x軸于點E，過點A作AF⊥x軸，交x軸于點F．如圖2所示．先求出直線AB的解析式為y=?12x+12．設點D的坐標為t,?t2?3t+4，則點【解題過程】（1）解：將點A?72,9?解得b=?3,∴該拋物線的解析式為y=?x（2）解：如圖1，作A關于x軸對稱點A'?72,?9y=?x2?3x+4中，令x=0∴C0設直線A'C的解析式為把A'?72,4=n?解得m=25∴直線A'C的解析式為∵兩點之間線段最短，∴此時MA+MC取最小值，最小值為線段A'令y=0，25∴x=?56∴點M的坐標為?56（3）解：過點D作DE⊥x軸，交x軸于點E，過點A作AF⊥x軸，交x軸于點F．如圖2所示．設直線AB的解析式為y=mx+n（m≠0），∵點A?72∴?72∴直線AB的解析式為y=?1∵該拋物線的解析式為y=?x∴設點D的坐標為t,?t∴點E的坐標為t,0，點F的坐標為?7∴S==?=?9∵?9∴當t=?54時，點D的坐標為?54,16．（2023·山東東營·二模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點，與y（1）求拋物線的解析式．（2）點P是第三象限拋物線上一點，當△BCP的面積為12時，求P點坐標．（3）拋物線上是否存在點Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）將A、C兩點的坐標代入y=?12x2+bx+c（2）先求出B點的坐標為(4,0)，再求出BC的表達式為y=?12x+2．過P點做y軸的平行線交BC的延長線與M點，設P(m,?12m2+3（3）根據題意當點Q在第一象限時，利用二次函數的對稱性求解；當點Q在第四象限時，設CQ與x軸交于點E，首先根據勾股定理求出點E的坐標，然后求出CE的解析式，最后聯立直線CE和拋物線即可求出點Q的坐標．【解題過程】（1）解：將A(?1,0)，C(0,2)代入y=?1∴c=2?解得b=3∴拋物線的解析式y=?1（2）解：

由y=?1x1=?1，∵A(?1,0)，∴B(4,0)．設BC的表達式為：y=kx+b，則b=24k+b=0，解得k=?∴BC:y=?1過P點做y軸的平行線交BC的延長線與M點，設P(m,?12m則PM=?∵S△BCP∴12得PM=6，∴12解得m1=?2，∴P(?2,?3)．（3）解：存在，如圖所示，當點Q在第一象限拋物線上時，∵∠QCB=∠CBO，∴CQ∥OB，∴點Q和點C關于對稱軸對稱，∵A?1,0，B∴拋物線的對稱軸為x=?1+4∵C0,2∴點Q的坐標為3,2；如圖所示，當點Q在第四象限的拋物線上時，設CQ與x軸交于點E．∵∠QCB=∠CBO，∴EC=EB，∴設EC=EB=x，∵C0,2，B∴OC=2，OE=4?x，∴在Rt△OEC中，O即22解得x=5∴OE=3∴E3∴設直線CE的解析式為y=k將C0,2，E32∴解得b1∴y=?4∴聯立直線CE和拋物線得，y=?4∴解得x1=0（舍去0），∴將x2=173代入∴點Q的坐標為173綜上所述，點Q的坐標為3,2或17317．（23-24九年級上·全國·開學考試）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于點A，B（A在y軸右側，B在y軸左側），C為拋物線與y軸的交點，已知OC=3（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得PO+PC的值最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低點，點Q是直線AC下方的拋物線上的一個動點，求△ACQ【思路點撥】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數的解析式，一次函數與坐標軸的交點，配方法求二次函數的最大值，利用點Q和點F的坐標求得QF的長，從而得到△ACQ的面積與a的函數關系式是解題的關鍵．（1）由題意可求點A，點B，點C坐標，用待定系數法可求解析式；（2）先求出點O關于對稱軸對稱的點M坐標，連接MC，交對稱軸于點P，用待定系數法可求CM解析式，即可求點P坐標；（3）設點Qa,a2?2a?3，則點Fa,a?3，求出QF【解題過程】（1）（1）∵OC=3，且OA=OC=3OB．∴OA=3，OB=1，且A在y軸右側，B在y軸左側，∴點A3,0，點B?1,0，點C設拋物線解析式為y=a(x?3)(x+1)，若點C0,?3∴?3=a×(?3)×1∴a=1，∴拋物線解析式為：y=(x?3)(x+1)=x若點C0,3∴3=a×(?3)×1∴a=?1，∴拋物線解析式為：y=?1×(x?3)(x+1)=?x（2）∵點A3,0，點B∴拋物線對稱軸為直線x=1，∴點O0,0關于對稱軸x=1的對稱點為M連接MC，交直線x=1的交點為P點，∵點C0,3∴設直線MC解析式為y=kx+若C0,3，M2,0解得b則直線MC解析式為：y=?3∴當x=1時，y=∴點P1若點C0,?3同理可得直線EC解析式為：y=3∴當x=1時，y=?∴點P1,?（3）如圖，過點Q作QE⊥AB，交AC于點F，∵若y=ax∴y=x∵點A3,0，點C∴直線AC的解析式y=x?3，設點Qa,a2∴QF=a?3?(a∴S∴當a=32時，△ACQ面積的最大值為27818．（23-24九年級下·重慶南岸·開學考試）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=?2，點B的坐標為（1）求拋物線的解析式；（2）動點P和動點Q同時出發，點P從點A以每秒2個單位長度的速度沿AC運動到點C，點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿CO運動到點O，連接PQ，當點P到達點C時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P（3）將原拋物線沿射線CA方向平移22個單位長度，在平移后的拋物線的對稱軸上存在點G，使得∠ACG=15°，請寫出所有符合條件的點G【思路點撥】此題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數的平移等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵（1）利用對稱性求出點A的坐標，利用待定系數法解答即可；（2）求出OA=OC=6，得到∠CAO=45°，得到P2t?6,2t，（3）求出平移后的解析式為y=?12x+42=6，得到拋物線的對稱軸為直線x=?4，分兩種情況：當點G在直線AC【解題過程】（1）∵對稱軸為直線x=?2，點B的坐標為2,0，∴A將點A和點B的坐標代入y=ax4a+2b+6=0解得a=?∴y=?（2）當x=0時，y=?∴點C的坐標為0,6，∴CO=6，∵A∴OA=OC=6，∴∠CAO=45°，∵點P從點A以每秒2個單位長度的速度沿AC運動到點C，∴AP=2t∴P2∵點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿CO運動到點O，∴CQ=t∴Q∴S△CPQ∴當t=322時，S△CPQ的最大值為9（3）∵原拋物線沿射線CA方向平移22∴拋物線向x軸負方向平移2個單位，向y軸負方向平移2個單位，∴平移后的解析式為y=?1∴拋物線的對稱軸為直線x=?4當點G在直線AC下方時，如圖1，設CG與x軸交于點E，∵∠ACE=15°，∠ACO=45°∴∠OCE=30°∴EO=2∴E?2設直線CE的解析式為y=kx+6∴0=?2∴k=∴直