第08講函數與方程(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（2024上·天津·高一校聯考期末）函數的零點所在的區間是（

）A． B． C． D．2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）用二分法求函數的零點時，初始區間可選為（

）A． B． C． D．3．（2024上·江西吉安·高一統考期末）下列區間內存在方程的根的是（

）A． B． C． D．4．（2024上·河南新鄉·高一統考期末）已知函數在內的一個零點附近的函數值如下表：則該零點所在的區間為（

）A． B． C． D．5．（2024上·福建龍巖·高一校聯考期末）美國生物學家和人口統計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規律．若剛栽種時該植物的高為1米，經過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．66．（2024下·河北保定·高一河北安國中學校聯考開學考試）函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024下·山東濟寧·高三校考開學考試）是定義在上的函數，對于任意的，都有且時，有，則函數的所有零點之和為（

）A．10 B．13 C．22 D．268．（2024·廣東·珠海市第一中學校聯考模擬預測）已知定義在R上的函數滿足：且，，則方程在區間上的所有實根之和為（）A． B． C． D．0二、多選題9．（2024下·廣東湛江·高二校考開學考試）已知函數的圖象與直線有兩個不同交點，則正實數a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．110．（2024上·河南安陽·高一林州一中校考期末）已知函數，，，，是函數的4個零點，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C．的取值范圍為 D．的最大值是三、填空題11．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學校考期末）已知函數，且時，，則的取值范圍是.12．（2024上·河南駐馬店·高一統考期末）給定函數，若在其定義域內存在使得，則稱為“函數”，為該函數的一個“點”．設函數，若是的一個“點”，則實數的值為．若為“函數”，則實數的取值范圍為．B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中學校聯考開學考試）已知函數，若存在，使得，則下列結論不正確的是（

）A． B．C．在內有零點 D．若在內有零點，則2．（2024·全國·高一專題練習）已知函數是定義在上的偶函數，且對任意的，都有，當時，，則函數的零點個數是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2024·山西呂梁·校考模擬預測）用[]表示不大于實數a的最大整數，如[1.68]=1，設分別是方程及的根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）已知，符號表示不大于的最大整數，比如，，若函數有且僅有個零點，則實數的取值范圍是．5．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知定義在上的函數滿足：①的圖象關于直線對稱，②函數為偶函數；③當時，，若關于x的不等式的整數解有且僅有個，則實數的取值范圍是．C綜合素養6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）設為給定的實常數，若函數在其定義域內存在實數，使得成立，則稱函數為“函數”．(1)若函數為“函數”，求實數的值；(2)證明：函數為“函數”；(3)若函數為“函數”，求實數的取值范圍．7．（2024上·湖南郴州·高一統考期末）對于滿足一定條件的連續函數，存在實數，使得，我們就稱該函數為“不動點”函數，實數為該函數的不動點.若函數，，若存在，使得，則稱為函數的穩定點.(1)證明：函數不動點一定是函數的穩定點.(2)已知函數，（Ⅰ）當時，求函數的不動點和穩定點；（Ⅱ）若存在，使函數有三個不同的不動點，求的值和實數的取值范圍.8．（2024上·江蘇徐州·高一統考期末）已知函數的定義域為，若存在常數，使得對內的任意，，都有，則稱是“-利普希茲條件函數”.(1)判斷函數，是否為“2-利普希茲條件函數”，并說明理由；(2)若函數是“-利普希茲條件函數”，求的最小值；(3)設，若是“2024-利普希茲條件函數”，且的零點也是的零點，.證明：方程在區間上有解.第08講函數與方程(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（2024上·天津·高一校聯考期末）函數的零點所在的區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在求得函數定義域上，根據函數的單調性和某區間的端點函數值異號即可判定.【詳解】因函數的定義域為，且在上單調遞增，由，根據零點存在定理該函數的零點所在的區間是.故選：A.2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）用二分法求函數的零點時，初始區間可選為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出，結合零點存在性定理得到答案.【詳解】，則，即初始區間可選．故選：D．3．（2024上·江西吉安·高一統考期末）下列區間內存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的零點個數與方程的實根個數的關系，利用零點存在定理結合圖形判斷即得.【詳解】令，顯然函數在R上連續，因，故在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根．

如圖，作出函數和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以在區間上存在零點，即方程在區間上有實數根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.4．（2024上·河南新鄉·高一統考期末）已知函數在內的一個零點附近的函數值如下表：則該零點所在的區間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判定函數的單調性，然后將表中數據按照從小到大排列，根據函數零點存在性定理即可求解.【詳解】因為函數和都是上的單調增函數，所以函數為單調遞增函數.將表格中數據按照從小到大排列如下：由表格可得：.由函數零點存在性定理可得：函數有唯一零點，所在的區間為.故選：C.5．（2024上·福建龍巖·高一校聯考期末）美國生物學家和人口統計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規律．若剛栽種時該植物的高為1米，經過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題設有，即可求參數、的值，進而判斷的單調性且，即可判斷植物的高度超過至少需要多少年.【詳解】依題意可得，則，解得，∴，因為在定義域上單調遞減，且，又在上單調遞減，所以在上單調遞增，而，，即，∴該植物的高度超過，至少需要年.故選：C.6．（2024下·河北保定·高一河北安國中學校聯考開學考試）函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】當時，解二次方程得函數零點，當時，把函數零點個數轉化為函數與函數的交點個數，即可求解.【詳解】當時，令，解得或；當時，令，則，畫出函數與函數的圖象，可知在上有一個公共點.故的零點個數為3.故選：C7．（2024下·山東濟寧·高三校考開學考試）是定義在上的函數，對于任意的，都有且時，有，則函數的所有零點之和為（

）A．10 B．13 C．22 D．26【答案】C【分析】根據函數的對稱性可得函數的周期為4，進而根據函數圖象，結合對稱性即可求解.【詳解】因為對于任意的，都有，，所以為的一條對稱軸，為的一個對稱中心，故所以為的周期，由得，又由時，有，可以畫出與的圖象，如圖:由于也關于對稱，且當時，，

由圖象可得，函數共有11個零點，故所有零點之和為.故選:C8．（2024·廣東·珠海市第一中學校聯考模擬預測）已知定義在R上的函數滿足：且，，則方程在區間上的所有實根之和為（）A． B． C． D．0【答案】B【分析】首先利用函數的性質畫出兩個函數的圖象，再結合對稱性求所有實數根的和.【詳解】由題意知，關于點對稱，函數的周期為2，則函數，在區間上的圖象如下圖所示：由圖形可知函數，在區間上的交點為，易知點的橫坐標為,若設的橫坐標為，則點的橫坐標為，所以方程在區間上的所有實數根之和為.故選：B二、多選題9．（2024下·廣東湛江·高二校考開學考試）已知函數的圖象與直線有兩個不同交點，則正實數a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】BC【分析】在同一坐標系中作出兩函數的圖象，觀察圖象可得到a的取值范圍.【詳解】在同一坐標系中作出函數與的大致圖象，如圖所示，兩圖象都經過，易知只有時才能在的區域有第二個交點，故的取值范圍.故選：BC

10．（2024上·河南安陽·高一林州一中校考期末）已知函數，，，，是函數的4個零點，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C．的取值范圍為 D．的最大值是【答案】BD【分析】作出函數的圖象，結合圖象判斷A，對方程化簡，利用基本不等式求出范圍判斷B，由對數的運算性質得出，利用函數單調性和基本不等式可判斷C，D.【詳解】作出函數的圖象，如圖所示：對選項A，由條件，函數有4個零點，即有4個不等實數根，即與的圖象有四個交點，由圖象知，故選項A錯誤；對選項B，因為，，，是函數的4個零點，且，所以，，所以，所以，，由，所以，即，所以，因為，當且僅當時等號成立，又因為，所以，即，所以，所以，即，故選項B正確；對選項C，因為，，，所以由圖可知，，由，，得，因為，所以，所以，所以，

即，所以

，因為，且在單調遞減，所以，即的取值范圍不為，故選項C錯誤；對選項D，由選項B可得，，所以，由選項C可知，，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以的最大值是，故選項D正確.故選：BD.三、填空題11．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學校考期末）已知函數，且時，，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題意畫出圖形，得出各自的范圍以及關系，進一步即可求解.【詳解】

，結合圖形可得，，，∵，∴，∴，∴，∴.故答案為：.12．（2024上·河南駐馬店·高一統考期末）給定函數，若在其定義域內存在使得，則稱為“函數”，為該函數的一個“點”．設函數，若是的一個“點”，則實數的值為．若為“函數”，則實數的取值范圍為．【答案】3【分析】對于第一空，由題可知，代入相應解析式可得答案；對于第二空，為“函數”，則函數，與函數圖象有交點，據此可得答案.【詳解】對于第一空，因是的一個“點”，則；對于第二空，由題可知為“函數”，即函數在定義域內的圖像中，存在中心對稱的兩點，即函數的圖象，與函數關于原點對稱的函數的圖象有交點，即方程有大于0的解.，當且僅當，即時取等號，故答案為：.故答案為：3；.四、解答題13．（2024上·廣東茂名·高一統考期末）已知二次函數滿足，且，為偶函數，且當時，．

(1)求的解析式；(2)在給定的坐標系內畫出的圖象；(3)討論函數（）的零點個數．【答案】(1)(2)作圖見解析(3)答案見解析【分析】（1）設出解析式，根據題目條件得到方程組，求出，得到解析式；（2）根據函數的奇偶性得到的解析式，從而畫出函數圖象；（3）在（2）的基礎上，得到函數零點個數【詳解】（1）設，則因為，故，所以，解得，因此；（2）當時，，當時，，則，為偶函數，故，故，綜上，，畫出函數圖象如下：

（3）由圖可知，，，當時，函數沒有零點，當時，函數只有兩個零點，當時，函數有四個零點，當時，函數有三個零點，當時，函數有兩個零點14．（2024上·江蘇南京·高一統考期末）已知函數.(1)若函數為奇函數，求的值；(2)當時，用函數單調性的定義證明：函數在上單調遞增；(3)若函數有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據得到方程，求出，驗證后得到答案；（2）定義法求解函數單調性步驟：取點，作差，判號，下結論；（3）換元后得到在有兩個不同的實數解，由根的判別式和對稱軸得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為R，且為奇函數，由，得，此時.因為，所以為奇函數，故.（2）當時，.任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以函數在上單調遞增.（3）有兩個不同的零點，等價于有兩個不同的實數解.令，則在有兩個不同的實數解，令，其中，所以，解得.所以的取值范圍為.B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中學校聯考開學考試）已知函數，若存在，使得，則下列結論不正確的是（

）A． B．C．在內有零點 D．若在內有零點，則【答案】A【分析】根據函數的單調性結合零點存在定理逐項判斷即可得結論.【詳解】因為在上單調遞增，且，，所以，，根據零點存在定理可得函數在內有零點，故C正確；又因為，所以，故B正確；又因為，則可能大于，故A不正確；若函數在內有零點，則，故D正確.故選：A.2．（2024·全國·高一專題練習）已知函數是定義在上的偶函數，且對任意的，都有，當時，，則函數的零點個數是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由函數偶函數性質及結合得到函數的周期，然后求出的在上的解析式，則求的零點就等價于函數與函數圖象的交點，作出相關圖形，從而可求解.【詳解】由函數為偶函數，所以，因為對任意，都有，即，所以函數的周期，當時，，則，對于函數的零點等價于函數與函數圖象的交點，如圖所示，一共有10個交點，故C正確.故選：C.3．（2024·山西呂梁·校考模擬預測）用[]表示不大于實數a的最大整數，如[1.68]=1，設分別是方程及的根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】用零點存在性定理確定兩個根的取值范圍即可.【詳解】因為分別是方程，的根，則分別是函數及的零點，而函數是單調遞增函數，又，，則，函數在上單調遞增，，，則，因此，所以.故選：C【點睛】方法點睛：利用零點存在性定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.4．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）已知，符號表示不大于的最大整數，比如，，若函數有且僅有個零點，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】問題轉化為直線與函數在上的圖象有兩個交點，數形結合可得出實數的取值范圍.【詳解】當時，由可得，問題轉化為直線與函數在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：

當直線經過點時，則有，可得；當直線經過點時，則有，可得.由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.5．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知定義在上的函數滿足：①的圖象關于直線對稱，②函數為偶函數；③當時，，若關于x的不等式的整數解有且僅有個，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據函數性質可知函數關于，對稱，且周期為4，再利用上的解析式，畫出函數圖象，有數形結合即可求得實數的取值范圍.【詳解】由函數為偶函數可知，函數關于對稱，且，即，又因為關于對稱，所以，即，可得函數的周期，當時，可得其圖象如下所示：由對稱性可知，當時滿足不等式的整數解有3個即可，根據圖示可得，解得，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：函數圖象在方程、不等式中的應用策略(1)研究兩函數圖象的交點個數：在同一坐標系中分別作出兩函數的圖象，數形結合求解；(2)確定方程根的個數：當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程的根就是函數圖象與軸的交點的橫坐標，方程的根就是函數與圖象交點的橫坐標；(3)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數法求解但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解.C綜合素養6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）設為給定的實常數，若函數在其定義域內存在實數，使得成立，則稱函數為“函數”．(1)若函數為“函數”，求實數的值；(2)證明：函數為“函數”；(3)若函數為“函數”，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見詳解；(3)【分析】（1）根據新定義函數的性質，寫出f(x)滿足的等式進而求解出結果；（2）令，得，設，，根據圖象可知有解，得證；（3）根據題意得，，進而整理得存在實數使得，再結合和討論求解即可.【詳解】（1）由為“函數”，得，即，解得，故實數的值為；（2）由，則，，令，得，設，，如圖可知，兩函數由一個交點，即存在實數，使得成立，所以函數為“函數”；【詳解】（1）證明：若實數是的一個不動點，則，所以，故函數不動點一定是函數的穩定點.（2）（Ⅰ）當時，，∴，解得：或所以函數的不動點為1和；又∴解得：或，或或所以函數的穩定點為1和；解法2：所以函數的不動點為1和；由得即，由（Ⅰ）可知函數的不動點1和一定是穩定點，故可令，從而由待定系數法可求得，，所以，解得或，或或所以函數的穩定點為1和；（Ⅱ）若存在，使函數有三個不同的不動點，當時，令，當且僅當時取等號，又，由，可化為，關于的方程有三個不等實根，令，，由于非負數，如果有兩個不同正根，方程必有四個解即四個不同的不動點，與題設矛盾；如果有且只有一個正根，只有兩個不動點，與題設矛盾；所以必有一根為正根和一個零